【正文】 而且根據(jù)哥德爾不完全性定理 ， ZFC公理系統(tǒng)本身不可能證明自己是無矛盾的 ， 即它的無矛盾性只有借助外系統(tǒng)來證明 。 ? 自然數(shù)公理化方法的建立有幾種類型 ， 其中最著名的是意大利數(shù)學(xué)家皮亞諾在他 1889年發(fā)表的 《 算術(shù)原理：新的論述方法 》 中所提出的公理化方法 。即 ? ?? ?xx ??? 1 這條公理保證了自然數(shù)集有首元素，即自 然數(shù)集 是一個(gè)良序集。 對(duì)皮亞諾公理系統(tǒng)邏輯特征的補(bǔ)充說明 前面我們?cè)岬竭^哥德爾不完備性定理 ， 從理論上證明了皮亞諾公理系統(tǒng)是一個(gè)不完備的公理系統(tǒng) ， 最近英國青年數(shù)學(xué)家巴黎斯等人 ， 在組合論中發(fā)現(xiàn)了皮亞諾公理系統(tǒng)中既不能肯定又不能否定的一個(gè)純粹組合問題 ， 從而也就為哥德爾不完全備定理找到了一個(gè)具體實(shí)例 。 數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)方法 ? 20世紀(jì)初 ， 法國一批杰出的年輕數(shù)學(xué)家在愛爾朗根計(jì)劃的啟示下 ， 于 1933年成立了以尼古拉 ?布爾巴基為名的數(shù)學(xué)家集體 ， 其行動(dòng)目標(biāo)就是 從整個(gè)數(shù)學(xué)全局出發(fā) ， 以集合論為基礎(chǔ) ，運(yùn)用形式公理化方法 ， 重新整理各個(gè)數(shù)學(xué)分支 ，從內(nèi)容結(jié)構(gòu)上給以徹底改造 。 數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)方法 那些流淌著的青春的學(xué)術(shù)的激情，那些靈光四射的智慧的火焰，真理在 “ 瘋子們 ” 的激辯中蕩漾著七彩的光芒 ?? 這種學(xué)術(shù)上的原生態(tài)狀況，使布爾巴基學(xué)派在很長(zhǎng)時(shí)間里保持著旺盛的創(chuàng)造力，培育了眾多泰斗級(jí)的數(shù)學(xué)精英，主要成員中不斷有人獲得沃爾夫數(shù)學(xué)獎(jiǎng)和菲爾茲獎(jiǎng) —— 其主要成員先后有讓 數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)方法 ? 這個(gè)集體不僅要求正式成員數(shù)學(xué)素質(zhì)要好 ，善于創(chuàng)新 ， 而且年齡不能超過 50歲 ， 他們經(jīng)常組織討論班和研究會(huì) ， 集思廣益 ， 協(xié)作探索 ，1936年正式向法國政府申請(qǐng)科學(xué)基金 ， 并以布爾巴基名義發(fā)表眾多成果和出版系列專著 《 數(shù)學(xué)原理 》 ， 他們著作的獨(dú)特觀點(diǎn)和風(fēng)格贏得了布爾巴基學(xué)派稱號(hào) ， 其思想即是結(jié)構(gòu)主義 ， 是用結(jié)構(gòu)方法處理數(shù)學(xué) 。 數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)方法 ? 正如他們所說： “ 數(shù)學(xué)好比一座大城市 ，城市中心有些巨大建筑物 ， 就好比是一個(gè)個(gè)已經(jīng)建成的數(shù)學(xué)理論體系 ， 城市的郊區(qū)正在不斷地并且多少有點(diǎn)雜亂無章地向外伸展 ， 他們就好像是一些尚未發(fā)育成型的正在成長(zhǎng)著的數(shù)學(xué)分支 ， 與此同加時(shí) ， 市中心又在時(shí)時(shí)重建 ， 每次都是根據(jù)構(gòu)思更清晰的計(jì)劃和更加合理的布局 ， 在拆毀掉舊的迷宮似的斷街小巷的同時(shí) ，將修筑起新的更直 、 更寬 、 更加方便的林蔭大道通向四方 ， …… ”。 pp （ 2）整數(shù) “ 按模素?cái)?shù) ” 的乘法 ：兩數(shù)的“ 乘積 ” 定義為兩數(shù)通常的乘積除以 的余數(shù)。這種表達(dá)的優(yōu)點(diǎn)在于，在推理的過程中不必考慮元素的性質(zhì)，唯一需要關(guān)心的是，元素的運(yùn)算 具有性質(zhì) “ (i)、 (ii)、 (iii)” 這個(gè)前提。 因此 ， 關(guān)系是重要的 ， 它就代表一種結(jié)構(gòu) 。 數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)方法 序?qū)? 在代數(shù)運(yùn)算 下的象記作 ，顯然， 中的二元代數(shù)運(yùn)算 給出了 中的一個(gè)三元關(guān)系： ? ?ba, ? ba?X ? Xcba ?? 當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，三元序組滿足這個(gè)關(guān)系。G例、群結(jié)構(gòu) 二元序?qū)? 稱為群，是指它滿足如下公理： GGcba ?? , ? ? ? ? 。 數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)方法 例如 自然數(shù)集中的整除關(guān)系是半序關(guān)系，因?yàn)?n能被自身整除；若 n能整除 m,m能整除 n,則 m=n。 可見，序結(jié)構(gòu)是由對(duì)象集、次序關(guān)系及其公理組所構(gòu)成的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)。 即 X 中一個(gè)點(diǎn)的兩個(gè)鄰域的交仍為其鄰域。 ? 從三種基本結(jié)構(gòu)出發(fā) ， 通過增加一個(gè)或幾個(gè)新公理 ， 就可以得到許許多多的特殊結(jié)構(gòu) 。 今天 ， 有了公理化方法 ， 有了結(jié)構(gòu)概念以后 ， 數(shù)學(xué)家一旦在他所研究的元素之間認(rèn)識(shí)到滿足某個(gè)已知類型公理的關(guān)系時(shí) ， 就可以自由地支配屬于該類結(jié)構(gòu)的整個(gè)定理庫 。 ? ?11。事實(shí)上，設(shè)；與代數(shù)；代數(shù)、例 xexfRR ??? ?11 2 1 2x x x xf R R e e e?? ??這 時(shí) 是 與 的 雙 射 。僅是滿射，而不是單射這是因?yàn)?f 167。；到，；是即 ??? RAf ?? ?，其內(nèi)加法為，；設(shè)、例 RbabiaA ???3? ? ? ? ? ? ? ?idbcadicbia ???????? ? ? ? ? ?內(nèi)的一同態(tài)映射。A 12:f A A?并且對(duì)于 中任意的 ,有 1A 12,xx ? ? ? ? ? ?1 1 2 1 2 2 .f x x f x f x? 代數(shù)到其自身的同構(gòu)映射叫做這個(gè)代數(shù)的自同構(gòu)。 三、同構(gòu)、同態(tài)及其方法論意義 我們通常要研究賦予一定結(jié)構(gòu)的集合到賦予同類結(jié)構(gòu)的集合內(nèi)的映射，如具有某種結(jié)構(gòu)的代數(shù) 到具有同類結(jié)構(gòu)的代數(shù) 的映射，有序集到有序集的映射，拓?fù)淇臻g到拓?fù)淇臻g內(nèi)的映射等。 167。 注 公理 (iv)保證了 X 中的每個(gè)點(diǎn)至少有一個(gè)這樣的鄰域，在該鄰域內(nèi)所有的點(diǎn)都有鄰域。 Uy?x Ux BBV? Vy? UV ?（ iv）Ｘ中的元素 ，對(duì) 中任一含 的 ，若有 ， 則必存在 ，使 ，且 。但自然數(shù)集Ｎ關(guān)于整除關(guān)系不構(gòu)成全序結(jié)構(gòu)。 數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)方法 半序集：如果Ａ的元素之間定義了一個(gè)關(guān)系 “ ＜ ” ，它滿足如下公理： （ i）自反性，對(duì)Ａ中的一切元素 ,有 aaa? (ii) 反對(duì)稱性，若 則 , , ,a b A a b b a? ? ?且ab? （ iii）傳遞性，若 則 , , , , ,a b c A a b b c? ? ?ac?則稱Ａ為半序集，這個(gè)關(guān)系為半序關(guān)系。 ? 再以群為例具體說明之； 167。最常用的代數(shù)運(yùn)算是二元代數(shù)運(yùn)算，也即習(xí)慣上的代數(shù)運(yùn)算。 這就是研究結(jié)構(gòu)意義之所在 。 數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)方法 （ i）對(duì)于所有的元素 有 , zyx? ? ? ? zyxzyx ???? ?(ii)存在一個(gè)元素 ， 使得對(duì)于每一個(gè)元素 ，有 exxexxe ?? ??x(iii) 對(duì)應(yīng)于每一元素 ， 存在一個(gè)元素 ，使得 x?x x x x e?????? 167。 167。 167。 格羅申第克和讓 — 皮埃爾 ”“ 在我心中永遠(yuǎn)保留的回憶是，數(shù)學(xué)家們多年的無私合作，各不相同的個(gè)性能朝向共同的目標(biāo)，在數(shù)學(xué)史上也許是絕無僅有的。 數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)方法 ? 對(duì)于數(shù)學(xué)的局部?jī)?nèi)容 ， 這個(gè)想法 是 可以實(shí)現(xiàn)的 ， 如希爾伯特 的 《 幾何基礎(chǔ) 》 、 范德瓦爾登的《 近世代數(shù) 》 的出版； ZFC的集合論公理系統(tǒng)的問世； 德國數(shù)學(xué)家克萊茵利用 “ 群論 ” 觀點(diǎn)統(tǒng)一處理了各種幾何學(xué) （ 此即愛爾朗根綱領(lǐng) ） ， 美國數(shù)學(xué)家伯克霍夫用 “ 格 ” 的概念統(tǒng)一處理了代數(shù)系統(tǒng)的理論 。 也就是說自然數(shù)集 與自然數(shù)集 相等 。 即 ? ?? ?? ?xyyx ???? 這條公理表明 ， 自然數(shù)具有離散性 ， 此性質(zhì)是自然數(shù)的一個(gè)重要特征 。 ? 自然數(shù)公理化方法的建立有幾種類型 ， 其中最著名的是意大利數(shù)學(xué)家皮亞諾在他 1889年發(fā)表的 《 算術(shù)原理：新的論述方法 》 中所提出的公理化方法 。 由此可見 ， 只要 ZFC公理系統(tǒng)無矛盾 ， 那么實(shí)數(shù)理論也就無矛盾 。 167。 ? 簡(jiǎn)言之 ， 《 原本 》 是實(shí)質(zhì)性公理系統(tǒng) ， 即“ 對(duì)象－公理－演繹 ” 系統(tǒng)； 《 幾何基礎(chǔ) 》 是形式化公理系統(tǒng) ， 即 “ 假設(shè)－演繹 ” 。 公理組共有 18條公理 （ 其中結(jié)合公理 6條 、 順序公理 4條 、 合同公理 5條 、 平行公理 1條 、 連續(xù)公理 2條 ） 。 方法 的邏輯特征、意義和作用 由于公理化方法主要突出了邏輯思維，而且它主要用于 “ 回顧 ” 性的 “ 總結(jié) ” ，對(duì) “ 探索 ” 性的 “ 展望 ” 作用較少。 167。對(duì)于形式系統(tǒng)來說，“可證”是可以機(jī)械地實(shí)現(xiàn)的，“真”則需要進(jìn)一步的思想能動(dòng)性以及超窮工具。在第一不完全性定理的基礎(chǔ)上，哥德爾進(jìn)一步證明了： 在真的但不能由公理來證明的命題中，包括了這些公理是相容的（無矛盾性）這一論斷本身。1 eaa ?? ?則稱 G對(duì)代數(shù)運(yùn)算 作成一個(gè)群。 方法 的邏輯特征、意義和作用 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?221g x g x f x f x g x g x??? ? ? ???即? ? 0gx ?若 ， 定 理 獲 證 。 方法 的邏輯特征、意義和作用 ? ? ? ? 11 22 ???? xgxfRx ，有、定理? ?1 0 ?推 論 、? ? ? ?2 3 0 ? ?推 論 、 公 理 等 價(jià) 于? ? ? ? ? ? ? ?00 00 l im l im 1 .0xxg x g g xg xx?? ?? ? ? ??這 是 因 為? ? ? ?? ? ? ?31 1 .f x g xf x g x??推 論 、 、 都 是 有 界 函 數(shù) ， 即，167。 方法 的邏輯特征、意義和作用 三、初等函數(shù)的公理化定義 冪函數(shù)的公理化定義 對(duì)于 x和 y的一切正實(shí)數(shù)值滿足方程 ? ? ? ? ? ?yxfyfxf ???的唯一不恒等于零的連續(xù)函數(shù) ? ? ? ?? ? 為常數(shù)。 167。 167。邏輯思維能力是一種重要的數(shù)學(xué)能力。它賦與數(shù)學(xué)內(nèi)在的統(tǒng)一性，有助于人們了解數(shù)學(xué)各分支、各部門之間的本質(zhì)聯(lián)系。 “ 能夠成為數(shù)學(xué)的思考對(duì)象的任何事物 ， 在一個(gè)理論的建立一旦成熟時(shí) ， 就開始服從于公理化方法 ， 從而進(jìn)入了數(shù)學(xué) 。 ? 獨(dú)立性從理論上講 ， 從完美簡(jiǎn)煉上講 ， 應(yīng)該要求 ， 因?yàn)楣砗投ɡ碓谡麄€(gè)系統(tǒng)中處的地位不同 ， 公理是出發(fā)點(diǎn) ， 定理是推出的 ， 不能混在一塊 。 167。 167。 其 基本思想如下： ? 將公理系的每一不定義的概念與對(duì)象的某一集合相對(duì)應(yīng)，而且要求對(duì)應(yīng)于不同概念的集合沒有公共元素，然后，使公理系 T的每一關(guān)系對(duì)應(yīng)著對(duì)應(yīng)集合元素間的某一確定的關(guān)系。 ? 公理化方法本身及其在數(shù)學(xué)理論和實(shí)踐應(yīng)用中的巨大作用 ， 隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展還在繼續(xù)向前發(fā)展 。 167。現(xiàn)代數(shù)理邏輯出現(xiàn)后，至少在下列兩個(gè)方面發(fā)揮了巨大作用。 ? 所謂形式公理化方法，是指在一個(gè)公理系統(tǒng)中，基本概念規(guī)定為不加定義的原始概念，它的涵義、特征和范圍不是先于公理而確定，而是由公理組隱含確定。 非歐幾何的創(chuàng)立，標(biāo)志著公理化方法進(jìn)入到其 完善階段。 ? ⑶非歐幾何的創(chuàng)立使數(shù)學(xué)喪失了真理性，但卻使數(shù)學(xué)獲得了自由。 167。于是 ， 反過來歐氏幾何的相容性可借助非歐幾何協(xié)調(diào)性給以保證 。 167。 ） 的羅巴切夫斯基幾何系統(tǒng)就產(chǎn)生了 。雖然這些結(jié)果實(shí)際上并不包含任何矛盾，但薩克利認(rèn)為它們太不合情理，便以為自己導(dǎo)出了矛盾而判定銳角假設(shè)是不真實(shí)的。 167。 ? 在公理化方法的初期階段，它的 “ 嚴(yán)格性 ” 也只是相對(duì)當(dāng)時(shí)的情況而言的。 ? ⑵ 抽象化的內(nèi)容。 當(dāng)然，現(xiàn)在看來由于受當(dāng)時(shí)整個(gè)科學(xué)水平的限制，這種公理化方法還是很原始的 ，其公理體系還是不完備的 。 167。 ? 兩種方法均是用來構(gòu)建數(shù)學(xué)理論體系的，一個(gè)是局部，一個(gè)是整體。 ? 公理化方法的歷史考察 ? 眾所周知 ， 在長(zhǎng)達(dá)一千多年的光輝燦爛的希臘文化中 ，哲學(xué) 、 邏輯學(xué) 、 幾何學(xué)得到了很大的發(fā)展 ， 特別是哲學(xué)家和邏輯學(xué)家亞里斯多德 ， 總結(jié)了前人所發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)立的邏輯知識(shí) ， 以完全三段論作為出發(fā)點(diǎn) ， 用演繹的方法推導(dǎo)出其余十九個(gè)不同格式的所有三段論 ， 創(chuàng)立了人類歷史上第一個(gè)公理化方法 ， 即邏輯公理化方法 ， 從而為數(shù)學(xué)公理化方法創(chuàng)造了條件 。 ? 歐幾里德 《 幾何原本 》 孕育了一種理性精神，成為展示人類智慧和認(rèn)識(shí)能力的一個(gè)光輝典范。如在 《 原本 》 中研究了 “ 所有的 ” 矩形（即抽象的矩形概念）的性質(zhì)，但不研究任何一個(gè)具體的矩形的實(shí)物大小； 《 原本 》 中研究了自然數(shù)的若干性質(zhì)，但卻一點(diǎn)也不涉及具體的自然數(shù)的計(jì)算及應(yīng)用。 ? 特別是 《 原本 》 中 第五公設(shè)的陳述從字面上看很不自明，所以人們從兩個(gè)方面對(duì)它產(chǎn)生了懷疑：第一