【正文】 也無矛盾 。 從而就證明了兩種幾何是互相協(xié)調(diào)的 ， 第五公設(shè)的獨立性問題得到解決 。它是獨立的命題，所以可以采用一個與之相反的公理并發(fā)展成為全新的幾何。 ? ⑶ 非歐幾何系統(tǒng)已經(jīng)不是像 《 原本 》 那樣依賴于感性直觀的實質(zhì)性公理系統(tǒng)。 167。數(shù)學(xué)家能夠而且應(yīng)該探索任何可能的問題，探索任何可能的公理系統(tǒng)，只要這種研究具有一定的意義。例如， 1916年愛因斯坦發(fā)現(xiàn)的廣義相對論的研究中，必須用一種非歐幾何來描述這樣的物理空間，這種非歐幾何便是黎曼幾何。 167。 167。 167。 167。 167。 希爾伯特建立的元數(shù)學(xué)是以形式系統(tǒng)為研究對象的一門新數(shù)學(xué)，它包括對形式系統(tǒng)的描述、定義、也包括對形式系統(tǒng)性質(zhì)的研究。 ? 純形式公理化方法的特征是具有高度的形式化和抽象化，系統(tǒng)的基本概念、基本關(guān)系用抽象的符號表示，命題由符號組成的公式表示，命題的證明用一個公式串表達。 ? 其二 ， 為數(shù)學(xué)應(yīng)用于現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)開辟了前景 。 167。 ? 如何證明給定的公理系統(tǒng)的無矛盾性呢？若想通過 “ 由這一公理系作出全部可能的推論并指出其中沒有矛盾 ” 來證明是不可能的。 167。 、意義和作用 解釋域及其性質(zhì)常常是另一數(shù)學(xué)理論 的研究對象， 本身同樣可以是公理化的，所以說，用解釋法能證明公理系 的相對相容性，即能作出 “ 如果 相容，即么 也相容 ” 的判斷。 、意義和作用 ? 正是由于羅氏幾何的相容性要由歐氏幾何的相容性來得證 ， 本來并無疑問的歐氏幾何相容性問題也引起了人們的懷疑 ， 迫使人們再去尋找歐氏幾何相容性的證明 ， 由于解析幾何可以看成是實數(shù)系統(tǒng)中歐氏幾何的一個解釋模型 ，于是歐氏幾何相容性證明轉(zhuǎn)化為實數(shù)系統(tǒng)的無矛盾性的證明 ， 而實數(shù)系統(tǒng)可建立在 ZFC公理化集合論的基礎(chǔ)上 ， 因此 ， 實數(shù)系統(tǒng)的無矛盾性又化歸為集合論的無矛盾性證明 ， 而后者經(jīng)過幾代數(shù)學(xué)家們的努力 ， 至今尚未得到徹底解決 。 167。 、意義和作用 （ 3） 完備性 ? 完備性要求在一個公理系統(tǒng)中 ， 公理組的選取能保證由公理組推出該系統(tǒng)的全部真命題 ， 所以 ， 公理不能過少 ， 否則就推不出某些真命題 ，這是關(guān)于完備性的古典定義 。 X與 Y是某兩個集合 ， R與 S分別是這兩個集合中的關(guān)系 ）間存在一個雙射 時成立。 但是 ， 獨立性要求有時可降低 。 、意義和作用 二 、 公理化方法的意義和作用 ? 對于公理化方法的作用和意義 ， 希爾伯特曾評論道： “ 不管在哪個領(lǐng)域 ， 對于任何嚴肅的研究精神來說 ， 公理化方法都是并且始終是一個合適的不可缺少的手段；它在邏輯上是無懈可擊的 ，同時也是富有成果的；因此 ， 它保證了研究的完全自由 。 通過突進到公理的更深層次 …… 我們能夠獲得科學(xué)思維的更深入的洞察力 ， 并弄清我們的知識的統(tǒng)一性 。 167。 167。從而有利于完善已有理論，創(chuàng)建新的理論。而公理化方法使邏輯思維在數(shù)學(xué)中的作用得以充分發(fā)揮，大大提高了數(shù)學(xué)教育的成效，實現(xiàn)高度的思維經(jīng)濟，這無疑對培養(yǎng)和熏陶學(xué)生的邏輯思維能力有其十分重要的作用和意義。 但正如蘇聯(lián)數(shù)學(xué)教育家斯托利亞爾所言：“ 在學(xué)校中普通能夠?qū)崿F(xiàn)的 ， 只是有實際內(nèi)容的公理體系 ” 。 、意義和作用 ? 平面幾何公理七條： ? ⑴ 經(jīng)過兩點有一條直線 ， 并且只有一條直線 。 ⑸ 邊角邊公理：有兩邊和它們的夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等 。 、意義和作用 ? 立體幾何公理六條： ? ⑴ 如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi) ， 那么這條直線上的所有點都在這個平面內(nèi) 。 ⑸ 長方體的體積等于其長 、 寬 、 高的積 。式中冪函數(shù)是?? .0xXfxxf????? 指數(shù)函數(shù)的公理化定義 對于 x和 y的一切正實數(shù)值滿足方程 167。為不等于式中函數(shù)是對數(shù) og0axxfxxfa?????167。 方法 的邏輯特征、意義和作用 ? ?2 fx定 理 、 是 偶 函 數(shù) 。 1證 ：由 定 理 有 ， ? ? ? ? ,10202 ?? xgxf? ? ? ?.1 002022 yxfyxg ????則? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?0000001 ygxgyfxfyxf ???有由公理? ? ? ? ? ?0000 yfxfyxf ??于是，? ? ? ? ? ?? ?? ? 。? ? ? ? ? ? ? ?2f x g x g x g x??? ? ???? ? ? ? ? ? ? ?f x g x g x g x? ? ?????? ? ? ? ? ? ? ?220 0 .g x g x g x g x? ? ? ? ?若 ， 則 由 ， 知? ? ? ? ? ?2 , 3 2 0g x g x x g x? ? ? ?????因 為 由 定 理 可 知 。cbacba ???? ?（ 2） G中有元素 e，叫做 G的左單位元，它對 G中每一個元素 a都有 。 ?1?a（ 3） 對 G中每個元素 a，在 G中都有元素 ，叫做 a的左逆元，使 167。 這一定理被稱為哥德爾第一不完全性定理。也就是說，如果一個足以包含自然數(shù)算術(shù)的公理系統(tǒng)是相容的，那么這種相容性在該系統(tǒng)內(nèi)是不可證明的。其對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)產(chǎn)生的巨大影響而在 20世紀數(shù)學(xué)史上寫下了濃重的一筆。這一切突破了人們對數(shù)學(xué)真理的傳統(tǒng)理解，將對數(shù)學(xué)真理的認識推向了嶄新的層次。 167。 、意義和作用 167。如果一個新的數(shù)學(xué)分支剛剛誕生就要強調(diào)它的邏輯嚴密性、系統(tǒng)性，不但沒有好處，反而對它的發(fā)展可能起到束縛作用。公理化方法若不與實驗方法相結(jié)合，則不會更好地解決問題；若不與其它的科學(xué)方法相結(jié)合，也不會更好地發(fā)現(xiàn)問題。 一 、 希爾伯特 《 幾何基礎(chǔ) 》 的公理系統(tǒng) 167。 這里要指出的是 ， 希爾伯特公理 體 系 對歐幾里德 公理 體 系 的最重要的補充是順序公理中的點與線的順序公理及連續(xù)公理 。 ? 希爾伯特在 《 幾何基礎(chǔ) 》 中所采用的是形式公理化方法 ， 即對象的直觀背景完全被舍棄了他所從事的已不再是某種特定的對象的研究 ，而只是由給定的公理 （ 更準確地說是假設(shè) ） 出發(fā)去進行演繹 。 ? 這里我們要特別指出的是 ， 若將 希爾伯特公理 體 系 中的平行公理換成相反的公理 ， 我們就得到羅氏幾何的公理體系 。 二 、 集合論公理系統(tǒng) —— ZFC公理系統(tǒng) ZFC公理系統(tǒng)形成簡介 ? 自從集合論中的羅素悖論出現(xiàn)后 ， 很多邏輯學(xué)家和數(shù)學(xué)家致力于集合論的改進工作 ， 特別突出的是著名德國數(shù)學(xué)家策梅羅 ， 他于 1908年首先提出他的改進方案 ， 即策 梅 羅集合論公理系統(tǒng) 。 二 、 集合論公理系統(tǒng) —— ZFC公理系統(tǒng) ZFC公理系統(tǒng)形成簡介 策梅羅 (德 , 18711953) 費蘭 克爾 (德 , 18911965) 斯克朗 (挪 , 18871963) 167。 即 :如果兩個集合 A與 B包含有完全相同的元素，則它們必相等 . 167。 然而 ， 盡管至今 ZFC公理系統(tǒng)尚未發(fā)現(xiàn)矛盾 ， 但這種無矛盾性還沒有得到嚴格的理論證明 。 然而 ，由自然數(shù)的產(chǎn)生直到十九世紀末 ， 在這個漫長的歷史時期卻很少有人對自然數(shù)的理論奠基工作進行過專門的研究 。 皮亞諾 (意 , 18581932) 167。 （ ii） 原始關(guān)系：后繼數(shù) （ 例如 3是 2的后繼數(shù) ） 或后繼函數(shù) 。 （ ii） 1不是任何自然數(shù)的后繼數(shù) 。即 ? ?? ? ? ?? ?yxyxyx ??????? （ iv） 每一個自然數(shù)都不直接后繼多于一個自然數(shù) ， 即 ? ?? ? ? ?? ?yxyxyx ??????? 167。 MMNMx? Mx ??167。 167。 那么 ， 對于整個數(shù)學(xué)而言 ， 能否采用某種統(tǒng)一觀點將其重新整理呢 ？ 167。 數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)方法 數(shù)學(xué)大師 (Armand Borel)在回顧參與布爾巴基活動的往事時說： “ 布爾巴基并沒有實現(xiàn)他的所有夢想，達成全部的目標。 ” 167。 嘉當（以上兩人為沃爾夫數(shù)學(xué)獎得主），克勞德 塞爾（后三人均曾獲菲爾茲獎）等 ?? H. 嘉當 (法 , 1904 ) 布爾巴基學(xué)派 (法 , 1935 ) 迪多內(nèi) (法 , 1906 1992) 謝瓦萊 (法 , 19091984) 德爾薩特 (法 , 19031968) 韋伊 (法 , 19061998) 167。 數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)方法 ? 顯然 ， 結(jié)構(gòu)主義可以看作是現(xiàn)代形式公理方法的一種發(fā)展 ， 因為 ， 形式公理化方法 是著眼于某一門數(shù)學(xué)的形式公理化或者結(jié)構(gòu)化；結(jié)構(gòu)主義的思想方法 則是以現(xiàn)代形式 公理化方法為工具 ， 著眼于整個數(shù)學(xué)全局去看待各個數(shù)學(xué)分支 ， 即不僅要在數(shù)學(xué)大范圍內(nèi)分析研究每一門數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu) ， 而且還要分析研究各數(shù)學(xué)分支之間結(jié)構(gòu)的差異及其內(nèi)在聯(lián)系 。 數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)方法 集合論 代數(shù)結(jié)構(gòu) 序結(jié)構(gòu) 拓撲結(jié)構(gòu) 布爾代數(shù)結(jié)構(gòu) 分析結(jié)構(gòu) 序拓撲結(jié)構(gòu) … … … … … 結(jié)構(gòu)層次框圖如下 : … 167。 但引進了運算和變換 ， 就形成了結(jié)構(gòu) 。 數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)方法 首先讓我們考察三種運算： （ 1）實數(shù)的加法：實數(shù)的和按通常的方法確定。 數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)方法 yx??yx, 在三種不同的運算中，用統(tǒng)一符號 “ ”表示運算，用 表示兩個元素 通過運算后確定的第三個元素，那么具體分析這三種不同運算的 “ 運算性質(zhì) ” ，會發(fā)現(xiàn)它們之間具有一種 “ 明顯的平行性 ” （即類似性、對應(yīng)性）。 數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)方法 ? ?xezyx ?, ?yx? 由此看出記號 可以用相同的方式表達它們，對這三種不同的運算，借助于統(tǒng)一的之間的 “ 平行的 ” 運算性質(zhì)。 數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)方法 ? 群結(jié)構(gòu)就是在某一集合中確定了某種運算 ， 且具有三個性質(zhì) (i)、 (ii)、 (iii)的一種結(jié)構(gòu) 。 ? 由上述分析看出 ， 具體而言 結(jié)構(gòu)是集合中元素間滿足一定條件 （ 公理 ） 的某種關(guān)系 ， 一個抽象的集合只不過是一組元素而已 ， 無所謂結(jié)構(gòu) ， 但引進了關(guān)系 ，就形成了結(jié)構(gòu) 。但對于積集合 ， SSS ?? ? ?cba 、? ? ? ? ? ? ? ? ? ?acbbacabcbcacab ，、這些元素就互相有區(qū)別了。 167。 167。 數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)方法 ? ??。 （ 2） 序結(jié)構(gòu) ? 常見的序結(jié)構(gòu)有兩種：半序結(jié)構(gòu)和全序結(jié)構(gòu) ， 建立了這兩種序結(jié)構(gòu)的集分別稱為半序集和全序集 （ 也稱半序結(jié)構(gòu)和全序結(jié)構(gòu) ） 。 167。 167。 ? ?3 , 9 , 2 7 , 8 1A ? 又如 自然數(shù)集Ｎ關(guān)于 “ ≤” 關(guān)系構(gòu)成一全序結(jié)構(gòu)。 Ｘ的一些子集組成的集族 稱為鄰域族，若此集族滿足如下鄰域公理，此時，就稱 為 X的一個拓撲結(jié)構(gòu)； ? ?UB ?? ?UB ? 167。 即 X 中每一點至少有一鄰域。 數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)方法 xx 根據(jù)上述四條公理 ,特別是公理 (ii)與公理 (iv)能保證在數(shù)學(xué)分析的論域內(nèi)任一點 ,能選取一連串越來越小的鄰域，使之點 為極限。顯然，實數(shù)域的開區(qū)間都具有這個性質(zhì)。又如 ， 實數(shù)結(jié)構(gòu)就是在全體實數(shù)集的基礎(chǔ)上由代數(shù)結(jié)構(gòu) 、 序結(jié)構(gòu)及拓撲結(jié)構(gòu)三個母結(jié)構(gòu)交叉產(chǎn)生的一個綜合性的子結(jié)構(gòu) ， 也是一個完備的阿基米德全序域 。 數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)方法 ? 結(jié)構(gòu)的意義還在于它可以使數(shù)學(xué)家實現(xiàn)一種重要的 “ 思維經(jīng)濟 ” ， 以往數(shù)學(xué)家為了解決一個具體的數(shù)學(xué)問題 ， 必須根據(jù)具體問題的特性 ， 為之探索適合于該問題的工具 。 數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)方法 從結(jié)構(gòu)的觀點出發(fā)來分析問題，同構(gòu)的概念是一個非常重要的概念。同構(gòu)、同態(tài)就是代數(shù) 到同類代數(shù) 的特殊映射。A ? ?22。 ? ? ? ? ? ? ，同構(gòu)。事實上，；與，；，則通常的矩陣加法與乘法 ??? RA ?的一個雙射。；到；是，則，：令 ????? RAfabiafR