優(yōu)化方法的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)-資料下載頁
2025-01-13 05:58本頁面
【正文】 要理論 ? （ 1）庫恩 — 塔克條件 (KT條件） ? 對于多元函數(shù)不等式的約束優(yōu)化問題： ? m in ( )F x. . ( ) 0 ( 1 , 2 , , )js t g j m??xKT條件 **1*()()0 ( 1 , 2 , , )( ) 0 ( 1 , 2 , , )0 ( 1 , 2 , , )mjjjiijjjgFinxxg j mjm?????? ?? ? ???????????????? xxx?庫恩 — 塔克條件表明：如點 是函數(shù) 的極值點，要么 （此時 ） *( ) 0F??x 0j? ??x ()F x? 要么目標(biāo)函數(shù)的負梯度等于起作用約束梯度的非負線性組合（此時 ）。 0j? ? O x1 x2 極值點處于等值線的中心 極值點處于兩個約束曲線的交點上 x﹡ g1 (x)＝ 0 g2 (x)＝ 0 g3 (x)＝ 0 O x1 x2 x﹡ g1(x)＝ 0 g2(x)＝ 0 起作用約束： ( * ) { | ( * ) 0 ,1 , 2 , }jJ j gjm???xx庫恩 — 塔克條件的幾何意義是 : 在約束極小值點 處，函數(shù) 的負梯度一定能表示成所有起使用約束在該點梯度（法向量）的非負線性組合。 ?x()F x( ) ( ) 0mjjjJFg ????? ? ? ??xxx1 x2 O g2(x)=0 g1(x)=0 F (x)=C ?g2(xk) ?g1(xk) － ?F(xk) xk 可行域 點 xk處的切平面 x1 x2 O g2(x)=0 g1(x)=0 F (x)=C ?g2(xk) ?g1(xk) － ?F (xk) xk 可行域 點 xk處的切平面 (a) (b) 同時具有等式和不等式約束的優(yōu)化問題 : m in ( )F x. . ( ) 0 ( 1 , 2 , , )js t g j m??x( ) 0 ( 1 , 2 , , )kh k l??x10 ( 1 , 2 , , )( ) 0 ( )0 ( )lj kjkj J ki i ijjg hFinx x xg j JjJ??????? ??? ? ? ??? ? ??????????????x?KT條件： KT條件 是多元函數(shù)取得約束極值的 必要條件 ,以用來作為約束極值的判斷條件，又可以來直接求解較簡單的約束優(yōu)化問題。 對于目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)都是凸函數(shù)的情況， 符合 KT條件的點一定是全局最優(yōu)點。 這種情況 KT條件即為多元函數(shù)取得約束極值的充分必要條件。 KT條件是多元函數(shù)取得約束極值的必要條件 ,以用來作為約束極值的判斷條件，又可以來直接求解較簡單的約束優(yōu)化問題。 例庫恩 — 塔克（ KT）條件應(yīng)用舉例 2212( ) ( 2) m inf x x? ? ? ?x21 1 22231( ) 1 0( ) 0( ) 0g x xgxgx? ? ? ?? ? ?? ? ?xxx? ?判斷 [1 0]T是否為約束最優(yōu)點。 1211202( 2) 2()02 xxxfx ?????????? ???? ? ??? ??????x1211022()11i xxxg???????? ??? ? ??? ??????x20()1g? ???? ?????x(1)當(dāng)前點 為可行點，因滿足約束條件 ( 1 ) [1 0 ] T?x(1)1(1)2(1)3( ) 0( ) 0( ) 1 0ggg??? ? ?xxx(3) 各函數(shù)的梯度： （ 2）在 起作用約束為 g1和 g2 , 因 ( 1 ) [1 0 ] T?x (1 )3 ( ) 0g ?x1 1 2 2( ) ( ) ( )f g g??? ? ?? ? ? ? ? ?x x x122 2 00 1 1???? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?121010??????（ 4）求拉格朗日乘子 ?由于拉格朗日乘子均為非負，說明 是一個局部最優(yōu)點，因為它滿足 KT條件。 ( 1 ) [1 0 ] T?x2212m in ( ) ( 2)f x x? ? ?x21 1 22231( ) 1 0( ) 0( ) 0g x xgxgx? ? ? ?? ? ?? ? ?xxx? x1 f ＝ 0 . 2 5 g3( x ) ＝ 0 ? g3 0 1 2 x2 f ＝ 5 f ＝ 4 f ＝ 2 . 2 5 f ＝ 1 g1( x ) ＝ 0 g2( x ) ＝ 0 ? g1 ? g2 － ? f － ? f C ? g2 ? g3 ? g1 A B － ? f 圖 8 應(yīng)用庫恩 — 塔克條件尋找約束極值點
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