【正文】 2 1 1 2T T W? ? ?得 y C A a x M mg F FOx FOy O ? 45176。 再由定軸轉(zhuǎn)動微分方程得 232 ( 2 2 2 )22m R M k R R Ra ? ? ?解得 222 ( 0 . 5 8 5 9 )3M k RmRa??22 ( 0 .5 8 5 9 )3CxM k RaRmRa?? ? ? ?)(3 4 22 kRm gRMmRRa Cy ?????? ??c os 45C x O xma F F??sin 45Cy O ym a F m g F? ? ?代入加速度解得 2 0 . 1 9 5 33OxMF k RR? ? ?3 .6 6 7 1 .0 4 3 4 .1 8 9Oy MF m g k r R? ? ?y C A a x M mg F FOx FOy O ? 45176。 y x an C at C aCx aCy 由質(zhì)心運動微分方程得 例 17 均質(zhì)細桿長為 l， 質(zhì)量為 m， 靜止直立于光滑水平面上 。 當桿受微小干擾而倒下時 ， 求桿剛剛到達地面時的角速度和地面約束力 。 解：由于地面光滑 ， 直桿沿水平方向不受力 ， 倒下過程中質(zhì)心將鉛直下落 。 桿運動到任一位置 (與水平方向夾角為 ? )時的角速度為 2c o sCCvvC P l? ???此時桿的動能為 2222 )c os311(212121CCC vmJmvT ?? ????初動能為零 ， 此過程只有重力作功 ， 由 )s i n1(2)c os3 11(21 22 ?? ??? lmgvm C當 ?＝ 0176。 時解出 glv C 321? lg3??2 1 1 2T T W? ? ?P A C ? ? vC vA 桿剛剛達到地面時受力及加速度如圖所示 ， 由剛體平面運動微分方程 ， 得 ( 1 )ACmg F ma??21 ( 2 )2 1 2AClF J m lee?? 桿作平面運動 ， 以 A為基點 ， 則 C點的加速度為 tnC A CA CA? ? ?a a a a沿鉛垂方向投影 ， 得 t ( 3 )2C C Alaa a??聯(lián)立求解方程 (1)~(3)， 得 14AF m g?A C a aC mg FA A C aC a ? an CA aA at CA O D (b) 例 18 圖示三棱柱體 ABC的質(zhì)量為 m1， 放在光滑的水平面上 ， 可以無摩擦地滑動 。 質(zhì)量為 m2的均質(zhì)圓柱體 O由靜止沿斜面 AB向下滾動而不滑動 。 如斜面的傾角為 ?， 求三棱柱體的加速度 。 ? A C B O vr ? D a v ve vD vOD vD a 解：整體系統(tǒng)在水平方向上受力為零 ， 所以系統(tǒng)的動量在水平方向上守恒 。 設某瞬時三棱柱的速度是 v， 圓柱體的角速度是 ?。 求圓柱體的動量需要用 O點的絕對速度 ， 該速度可用兩種方法求得： ② 基點法：取圓柱體與三棱柱的接觸點 D為基點 ，分析圓柱體中心 O點的速度 ， 如圖 (b)所示 ,O D O D D O Dv v v r ?? ? ? ?v v v① 復合運動法：取圓柱體中心 O為動點 ， 動系與三棱柱固連 ， 則 O點的速度分析如圖 (a)所示 ,a e r e rv v v r ?? ? ? ?v v v(a) c osOxv v r ??? ? ?c osOxv v r ??? ? ?? x y a ar ae m2g FS FN O D 0 1 1 20 , ( c os )xxp p m v m v r ??? ? ? ? ? ?由動量守恒定理 : 1 0 1 2 ( c os ) 0xxp p m v m v r ??? ? ? ? ? ? ?兩邊對時間 t求導得 1 2 2( ) c os 0 ( * )m m a m r a?? ? ? ?欲求 a需先求出 a， 取圓柱體分析如圖 (c)所示 ， 由平面運動微分方程得 ()OOJMa ?? F 2212 Sm r F ra ?從中解出 2 c o s 2 sin3agr??a ??221 2 2s in 23 2 s inmgam m m??? ??求出系統(tǒng)動量的水平分量： 22( ) sinc os Smmra gFa? ????2 O x xm a F????x39。 y39。 代入 (*)式得 c o sc o sO x r ea a ara?a?????167。 134 功率 功率方程 機械效率 1. 功 率 力的功率 － 力所作之功對時間的變化率 vFttWP ?d ?????? vFrF ddd力的功率等于切向力與其作用點速度的標積。 ?jd MdtdMtWP ???? d 作用在轉(zhuǎn)動剛體上的力矩或力偶矩的功率等于 力矩或力偶矩與剛體轉(zhuǎn)動角速度的標積。 2. 功 率 方 程 質(zhì)點系動能定理的微分形式 ?iiWT dd ＝等式兩邊同除以 dt ???iiii PtWtTdddd ＝ 質(zhì)點系動能對時間的一階導數(shù)等于作用在系統(tǒng)上所有有功力的功率之代數(shù)和。 —— 功率方程 無用有用輸入 －－＝ PPPtTdd輸入P有用P無用P—— 輸入功率 —— 有用功率，輸出功率 —— 無用功率，損耗功率 3. 機 械 效 率 輸入功率有效功率??dtdTP ??有用有效功率n???? ???? ?21—— 系統(tǒng)的總效率 例 題 19 車床電動機的功率 P輸入＝ kW 。傳動零件之間的磨擦損耗功率為輸入功率的 30％ 。工件的直徑 d＝ 100 mm。求：轉(zhuǎn)速n=42 r/min 和 n =112 r/min 的允許最大切削力。 解：車床正常工作時，工件勻速旋轉(zhuǎn)，動能無變化 0dd ＝tT 無用輸入有用 －＝ PPPkW45 .＝輸入P kW62130 .% ??輸入無用 ＝ PP其中 kW783 .?無用輸入有用 －＝ PPP切削力 F 與工件在切削力作用點的速度 v 同向 30π2ndFFvP ????? vF＝有用 有用PdnF π60?切削力 F 與工件在切削力作用點的速度 v 同向 30π2ndFFvP ????? vF＝有用 有用PdnF π60?當 n = 42 r/min 時 60 .. ?????F當 n = 112 r/min 時 60 .. ?????F167。 135 勢力場 勢能 機械能守恒定律 1. 勢 力 場 如果一物體在某空間任一位置都受到一個大小和方向完全由所在位置確定的力作用，則這部分空間稱為 —— 力場。 如果物體在某力場內(nèi)運動，作用于物體的力所作的功只與力作用點的初始位置和終了位置有關(guān)，而與該點的軌跡形狀無關(guān)，這種力場稱為 —— 勢力場（保守力場）。 2. 勢 能 在勢力場中，質(zhì)點從點 M運動到任選的點 M0，有勢力所作的功稱為質(zhì)點在點 M相對于點 M0的勢能，以 V 表示為 ?? ????? 00 )(MMMM Z d zY d yXd xdV rFa. 重力場中的勢能 b. 彈性力場中的勢能 取 M0為零勢能點，則點 M 的勢能為： )( 00 zzmgm g d zV zz ???? ?)(2 202 dd ?? kV取彈簧自然位置為零勢能點，則有： 22 dkV ?c. 萬有引力場中的勢能 )11(122022100rrmmfdrrmfmdrmfmdV1rr 21AAAA1??????????? rrrF取無窮遠處為零勢能點，則有： rmmfV 1 2??★ 有勢力所作的功等于質(zhì)點系在運動過程的初始與終了位置的勢能的差。 12 1W V V??3. 機械能守恒定律 ● 保守系統(tǒng) — 僅在有勢力作用下的系統(tǒng)。 ● 機械能 — 系統(tǒng)所具有的動能與勢能的總稱。 ● 機械能守恒 — 系統(tǒng)僅在有勢力作用下運動時， 其機械能保持恒定。 2211 VTVT ＋＝＋常數(shù)??? EVT