【正文】 )(21 222112 dd ?? kW因為 2011d d d ( ) d d22 rrr r r? ? ? ? ? ? ?rr r r r r彈性力作的功只與彈簧在初始和末了位置的變形量有關 ， 與力的作用點 A的軌跡形狀無關 。 由于 P與 N始終垂直于滑塊位移 ， 因此 ， 它們所作的功為零 。 (1) 平動剛體的動能 質點和質點系的動能 222212121CiCii MvmvvmT ????? (2) 定軸轉動剛體的動能 2 2 22 2 211221122i i i ii i zT m v m rm r J???? ? ? ?? ? ? (3) 平面運動剛體的動能 212 PTJ ??因為 JP＝ JC + md 2 所以 2222 )(2121)(21 ??? ????? dmJmdJTCC因為 d A ABT T T??總I 為 AB桿的瞬心 ??? ?? s inlvv IA????運動分析 系統(tǒng)分析 a O r dr O1 ? P A B C 例 3 長為 l， 重為 P的均質桿 OA由球鉸鏈O固定 ， 并以等角速度 ? 繞鉛直線轉動 ，如圖所示 ， 如桿與鉛直線的交角為 a，求桿的動能 。 首先對運動進行分析 ， O1是 AB的速度瞬心 ， 因 : 1 2 c osA A Bv O A a a? j ? ?? ? ? ? ?222122A A AmaT m v ???A B O C j ? vC vB vA ?AB 1 2 sin 3B A Bv O B a a? j ? ?? ? ? ? ?2221322B B BmaT m v ???1c ABv O C OC??? ? ? ?AB????運動分析 系統(tǒng)分析 A B vA vC O C j O1 ? vB ?AB 對于曲柄 OC： 2213O O CI m a m a??規(guī)尺作平面運動，用繞速度瞬心轉動的公式求動能： 2112 2 21812 32 ( 2 ) 2O C ABI I m O Cm a m a ma? ? ?? ? ? ? ? ?2 2 2 2 2 2 2 2221 3 1 42 2 6 372A B OC ABT T T T Tma ma ma mama? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ??2 2 21126O C OT I m a????2 2 211423A B O A BT I m a????系統(tǒng)的總動能為： B j A 例 5 滑塊 A以速度 vA在滑道內滑動 ， 其上鉸接一質量為 m， 長為 l的均質桿 AB， 桿以角速度 ? 繞 A轉動 ， 如圖 。 積分上式 ， 得 212121d ( )2vvm v W??或 122122 2121 Wmvmv ??在質點運動的某個過程中 ， 質點動能的改變量等于作用于質點的力作的功 。 動能定理 動能定理 3. 理想約束及內力作功 ? 對于光滑固定面和一端固定的繩索等約束 ， 其約束力都垂直于力作用點的位移 ， 約束力不作功 。 ? 當輪子在固定面上只滾不滑時 ， 滑動摩擦力不作功 。 求當末端滑離桌面時 ， 鏈條的速度 。 s 1 0T ?力的功： js in12 m g sW ?由動能定理得： js in043 2 m gsmv C ??22 43CmvT ?js in32 ga ?解得： 例 8 卷揚機如圖，鼓輪在常力偶 M的作用下將圓柱上拉。 解：以系統(tǒng)為研究對象，受力如圖。 解：分析系統(tǒng) ， 初瞬時的動能為 01 ?T 設連桿 OA運動到水平位置時的角速度為 ?， 由于 OA＝ AB， 所以桿AB的角速度也為 ?， 且此時 B端為桿AB的速度瞬心 ， 因此輪 B的角速度為零 ， vB=0。 假設兩桿與光滑地面的夾角 ? ＝ 60186。時 O點與A點重合 ， 即此時 A為 AB桿的速度瞬心 ，所以 1 0T ?2 2 2 221 1 12 2 3A A B C B CPT J J lg? ? ?? ? ?主動力做功 ( 2 2 c os )FW F s F l l F l?? ? ? ?重力做功 132 s in22PW P l P l?? ? ?彈簧力做功 2 2 2 2121 1 1( ) [ 0 ( ) ]2 2 2 8ElW k k l k ldd? ? ? ? ? ? ?外力所做總功 2123128F P EW W W W F l P l k l? ? ? ? ? ??由動能定理的積分形式得： 2 2 21 3 13 2 8P l F l P l k lg ? ? ? ?3 1 1( ) / 3 . 2 8 r a d /s2 8 3WP W k l lg? ? ? ? ? 因為系統(tǒng)屬理想約束 ， 所以約束反力不做功 ， 做功的力有主動力 F， 重力 P和彈簧力 ， 分別求得如下： 解：取系統(tǒng)分析 ， 則運動初瞬時的動能為 例 12 如圖 ， 重物 A和 B通過動滑輪 D和定滑輪而運動 。 繩索不能伸長 ， 其質量忽略不計 。 然后無初速釋放 ， 求當桿到達鉛垂位置時的角速度 。 但應注意 ， 在有些情況下質點系的內力也要作功 ， 應用時要具體分析 。已知外力求質點系質心運動用質心運動定理。若質點系僅受有勢力的作用或非有勢力不作功，則用機械能守恒定律求解。在用動能定理或功率方程求解時，不作功的未知力在方程中不出現，給問題的求解帶來很大的方便。 對于復雜的動力學問題 ， 不外乎是上述幾種情況的組合 ， 可以根據各定理的特點聯合應用 。 01 ?T桿作定軸轉動 ， 轉動到任一位置時的動能為 222222 181)32(1212121 ?? mlllmmlJTO ??????? ????在此過程中所有的力所作的功為 js i n6112 m glm ghW ???j C O mg 解法 1：用動能定理求運動 以桿為研究對象 。 假設不計繩的質量和軸承摩擦 ， 繩與滑輪之間無相對滑動 ， 試求物塊 A的加速度和軸承 O的約束反力 。B F39。 解：以整個系統(tǒng)為研究對象 ， 受力如圖 ， 運動分析如圖 。 試求圓盤到達最高位置時 ， 軸承O的約束反力 。 再由定軸轉動微分方程得 232 ( 2 2 2 )22m R M k R R Ra ? ? ?解得 222 ( 0 . 5 8 5 9 )3M k RmRa??22 ( 0 .5 8 5 9 )3CxM k RaRmRa?? ? ? ?)(3 4 22 kRm gRMmRRa Cy ?????? ??c os 45C x O xma F F??sin 45Cy O ym a F m g F? ? ?代入加速度解得 2 0 . 1 9 5 33OxMF k RR? ? ?3 .6 6 7 1 .0 4 3 4 .1 8 9Oy MF m g k r R? ? ?y C A a x M mg F FOx FOy O ? 45176。 桿運動到任一位置 (與水平方向夾角為 ? )時的角速度為 2c o sCCvvC P l? ???此時桿的動能為 2222 )c os311(212121CCC vmJmvT ?? ????初動能為零 ， 此過程只有重力作功 ， 由 )s i n1(2)c os3 11(21 22 ?? ??? lmgvm C當 ?＝ 0176。 ? A C B O vr ? D a v ve vD vOD vD a 解：整體系統(tǒng)在水平方向上受力為零 ， 所以系統(tǒng)的動量在水平方向上守恒 。 代入 (*)式得 c o sc o sO x r ea a ara?a?????167。 ?jd MdtdMtWP ???? d 作用在轉動剛體上的力矩或力偶矩的功率等于 力矩或力偶矩與剛體轉動角速度的標積。工件的直徑 d＝ 100 mm。勢能 12 1W V V??3. 機械能守恒定律 ● 保守系統(tǒng) — 僅在有勢力作用下的系