【正文】 g a FOx FOy O mg e 由 得 d()d OOLMt ?? F12122 ( )dd 2 ( )mmvagt m m m????? 例 16 如圖所示 ， 均質(zhì)圓盤可繞 O軸在鉛垂面內(nèi)轉(zhuǎn)動 ， 圓盤的質(zhì)量為 m， 半徑為 R。 求圓柱體的動量需要用 O點的絕對速度 ， 該速度可用兩種方法求得： ② 基點法：取圓柱體與三棱柱的接觸點 D為基點 ，分析圓柱體中心 O點的速度 ， 如圖 (b)所示 ,O D O D D O Dv v v r ?? ? ? ?v v v① 復(fù)合運動法：取圓柱體中心 O為動點 ， 動系與三棱柱固連 ， 則 O點的速度分析如圖 (a)所示 ,a e r e rv v v r ?? ? ? ?v v v(a) c osOxv v r ??? ? ?c osOxv v r ??? ? ?? x y a ar ae m2g FS FN O D 0 1 1 20 , ( c os )xxp p m v m v r ??? ? ? ? ? ?由動量守恒定理 : 1 0 1 2 ( c os ) 0xxp p m v m v r ??? ? ? ? ? ? ?兩邊對時間 t求導(dǎo)得 1 2 2( ) c os 0 ( * )m m a m r a?? ? ? ?欲求 a需先求出 a， 取圓柱體分析如圖 (c)所示 ， 由平面運動微分方程得 ()OOJMa ?? F 2212 Sm r F ra ?從中解出 2 c o s 2 sin3agr??a ??221 2 2s in 23 2 s inmgam m m??? ??求出系統(tǒng)動量的水平分量： 22( ) sinc os Smmra gFa? ????2 O x xm a F????x39。 如果物體在某力場內(nèi)運動，作用于物體的力所作的功只與力作用點的初始位置和終了位置有關(guān)，而與該點的軌跡形狀無關(guān)，這種力場稱為 —— 勢力場（保守力場）。 解：車床正常工作時，工件勻速旋轉(zhuǎn)，動能無變化 0dd ＝tT 無用輸入有用 －＝ PPPkW45 .＝輸入P kW62130 .% ??輸入無用 ＝ PP其中 kW783 .?無用輸入有用 －＝ PPP切削力 F 與工件在切削力作用點的速度 v 同向 30π2ndFFvP ????? vF＝有用 有用PdnF π60?切削力 F 與工件在切削力作用點的速度 v 同向 30π2ndFFvP ????? vF＝有用 有用PdnF π60?當(dāng) n = 42 r/min 時 60 .. ?????F當(dāng) n = 112 r/min 時 60 .. ?????F167。 質(zhì)量為 m2的均質(zhì)圓柱體 O由靜止沿斜面 AB向下滾動而不滑動 。 解：以整個系統(tǒng)為研究對象 ， 受力如圖 ， 運動分析如圖 。 對于剛體的平面運動問題 ， 可用平面運動微分方程求解 。 但每一定理又只反映了這種關(guān)系的一個方面 ， 即每一定理只能求解質(zhì)點系動力學(xué)某一方面的問題 。求軸 Ⅰ 的角加速度。 例 6 一長為 l， 質(zhì)量密度為 ρ 的鏈條放置在光滑的水平桌面上 ， 有長為 b的一段懸掛下垂 ， 如圖 。 。 建立如圖坐標(biāo) ， 則 0 , 0 ,x y zF F F m g? ? ? ?代入功的解析表達(dá)式得 211 2 1 2( ) d ( )zzW m g z m g z z? ? ? ?? 常見力的功 力的功 M1 M2 M mg z1 z2 O x y z 對于質(zhì)點系 ， 其重力所作的功為 1 2 1 2121212()()()()i i ii i i iCCCCW m g z zm z m z gMz Mz gMg z z? ? ?? ? ? ?????由此可見 ， 重力的功僅與重心的始末位置有關(guān) ， 而與重心走過的路徑無關(guān) 。功率方程 δ dW ??Fr 21dMMW ??? Fr稱為 矢徑法表示的功的計算公式 。 v A B ? C 解： I 234AT M v?222111 2 2 3IlI m l m m l??? ? ?????2222112 6 s in 3A B I A BmvT I m v??? ? ?? ? 21 9412T M m v??總例 2 均質(zhì)細(xì)桿長為 l，質(zhì)量為 m，上端 B靠在光滑的墻上，下端 A用鉸與質(zhì)量為 M半徑為 R且放在粗糙地面上的圓柱中心相連，在圖示位置圓柱作純滾動，中心速度為 v，桿與水平線的夾角 ?=45o，求該瞬時系統(tǒng)的動能。 ? 滑動摩擦力作負(fù)功 。 設(shè)連桿長均為 l， 質(zhì)量均為 m， 均質(zhì)圓盤質(zhì)量為 m1， 且作純滾動 。在圖示位置 ， 系統(tǒng)靜止 ， 彈簧的伸長為 20 cm。也可用功率方程、動量定理或動量矩定理求解。分別由質(zhì)心運動定理和定軸轉(zhuǎn)動的微分方程 ， 得 21 ( ) ( 3 )2 ABm r F F ra ??? ? ?m1g FA a m2g FB a A B O r 11 ( 1 )Am a m g F??22 ( 2 )Bm a F m g??0 ( 4 )OxF?0 ( 5 )O y A BF F F m g??? ? ? ? F39。 解：由于地面光滑 ， 直桿沿水平方向不受力 ， 倒下過程中質(zhì)心將鉛直下落 。傳動零件之間的磨擦損耗功率為輸入功率的 30％ 。 ● 機(jī)械能 — 系統(tǒng)所具有的動能與勢能的總稱。 134 功率 解：以圓盤為研究對象 ， 受力如圖 ， 建立如圖坐標(biāo) 。 由于桿由水平位置靜止開始運動 ， 故開始的動能為零 ， 即 ? 2211 0 si n1 8 6m l m g l?j??由 2 1 1 2T T W? ? ?得 2 3 singl?j? 將前式兩邊對時間求導(dǎo) ， 得 d 3 d2 c o sddgt l t?j?j?3 c o s2glaj?3 singl?j?j C O mg ? 解法 2：用微分方程求運動 C O ()OOJMa ?? Fmg 由定軸轉(zhuǎn)動微分方程 003d c o s d2gl?j? ? j j???即 j?j?002 s i n2321lg? 所以 j? s in3lg?21 c o s96lm l m gaj?得 3 c o s2glaj?即 d d d dd d d dtt? ? j ?a?jj? ? ?又 d3 c o sd2gl??jj ?所以 FOy FOx a j C O ? a x y aCx aCy 現(xiàn)在求約束反力 。 普遍定理綜合應(yīng)用 (3) 如果問題是要求速度或角速度，則要視已知條件而定。 如果重物 A開始時向下的速度為 v0，試問重物 A下落多大距離 ， 其速度增大一倍 。已知鼓輪的半徑為 R1，質(zhì)量為 m1，質(zhì)量分布在輪緣上；圓柱的半徑為 R2，質(zhì)量為 m2，質(zhì)量均勻分布。 動能定理 21d( ) δ2 m v W?2. 質(zhì)點系的動能定理 設(shè)質(zhì)點系由 n個質(zhì)點組成 ， 第 i個質(zhì)點的質(zhì)量為 mi，速度為 vi， 根據(jù)質(zhì)點的動能定理的微分形式 ， 有 21d ( ) δ2 i i im v W?式中 dWi表示作用在第 i個質(zhì)點上所有力所作的元功之和 。 所以只需計算 T 與 F的功 。 它表示力在一段路程上的累積作用效應(yīng) ，因此功為累積量 。 引言 常力的功 設(shè)物體在常力 F作用下沿直線走過路程 s， 如圖 ，則力所作的功 W定義為 cosW F s?? ? ? ?Fs功是代數(shù)量 。 由于 P與 N始終垂直于滑塊位移 ， 因此 ， 它們所作的功為零 。 積分上式 ， 得 212121d ( )2vvm v W??或 122122 2121 Wmvmv ??在質(zhì)點運動的某個過程中 ， 質(zhì)點動能的改變量等于作用于質(zhì)點的力作的功 。 s 1 0T ?力的功： js in12 m g sW ?由動能定理得： js in043 2 m gsmv C ??22 43CmvT ?js in32 ga ?解得： 例 8 卷揚(yáng)機(jī)如圖，鼓輪在常力偶 M的