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正文內(nèi)容

理論力學(xué)——?jiǎng)幽芏ɡ?留存版)

  

【正文】 g a FOx FOy O mg e 由 得 d()d OOLMt ?? F12122 ( )dd 2 ( )mmvagt m m m????? 例 16 如圖所示 , 均質(zhì)圓盤可繞 O軸在鉛垂面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng) , 圓盤的質(zhì)量為 m, 半徑為 R。 求圓柱體的動(dòng)量需要用 O點(diǎn)的絕對(duì)速度 , 該速度可用兩種方法求得: ② 基點(diǎn)法:取圓柱體與三棱柱的接觸點(diǎn) D為基點(diǎn) ,分析圓柱體中心 O點(diǎn)的速度 , 如圖 (b)所示 ,O D O D D O Dv v v r ?? ? ? ?v v v① 復(fù)合運(yùn)動(dòng)法:取圓柱體中心 O為動(dòng)點(diǎn) , 動(dòng)系與三棱柱固連 , 則 O點(diǎn)的速度分析如圖 (a)所示 ,a e r e rv v v r ?? ? ? ?v v v(a) c osOxv v r ??? ? ?c osOxv v r ??? ? ?? x y a ar ae m2g FS FN O D 0 1 1 20 , ( c os )xxp p m v m v r ??? ? ? ? ? ?由動(dòng)量守恒定理 : 1 0 1 2 ( c os ) 0xxp p m v m v r ??? ? ? ? ? ? ?兩邊對(duì)時(shí)間 t求導(dǎo)得 1 2 2( ) c os 0 ( * )m m a m r a?? ? ? ?欲求 a需先求出 a, 取圓柱體分析如圖 (c)所示 , 由平面運(yùn)動(dòng)微分方程得 ()OOJMa ?? F 2212 Sm r F ra ?從中解出 2 c o s 2 sin3agr??a ??221 2 2s in 23 2 s inmgam m m??? ??求出系統(tǒng)動(dòng)量的水平分量: 22( ) sinc os Smmra gFa? ????2 O x xm a F????x39。 如果物體在某力場(chǎng)內(nèi)運(yùn)動(dòng),作用于物體的力所作的功只與力作用點(diǎn)的初始位置和終了位置有關(guān),而與該點(diǎn)的軌跡形狀無(wú)關(guān),這種力場(chǎng)稱為 —— 勢(shì)力場(chǎng)(保守力場(chǎng))。 解:車床正常工作時(shí),工件勻速旋轉(zhuǎn),動(dòng)能無(wú)變化 0dd =tT 無(wú)用輸入有用 -= PPPkW45 .=輸入P kW62130 .% ??輸入無(wú)用 = PP其中 kW783 .?無(wú)用輸入有用 -= PPP切削力 F 與工件在切削力作用點(diǎn)的速度 v 同向 30π2ndFFvP ????? vF=有用 有用PdnF π60?切削力 F 與工件在切削力作用點(diǎn)的速度 v 同向 30π2ndFFvP ????? vF=有用 有用PdnF π60?當(dāng) n = 42 r/min 時(shí) 60 .. ?????F當(dāng) n = 112 r/min 時(shí) 60 .. ?????F167。 質(zhì)量為 m2的均質(zhì)圓柱體 O由靜止沿斜面 AB向下滾動(dòng)而不滑動(dòng) 。 解:以整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象 , 受力如圖 , 運(yùn)動(dòng)分析如圖 。 對(duì)于剛體的平面運(yùn)動(dòng)問題 , 可用平面運(yùn)動(dòng)微分方程求解 。 但每一定理又只反映了這種關(guān)系的一個(gè)方面 , 即每一定理只能求解質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力學(xué)某一方面的問題 。求軸 Ⅰ 的角加速度。 例 6 一長(zhǎng)為 l, 質(zhì)量密度為 ρ 的鏈條放置在光滑的水平桌面上 , 有長(zhǎng)為 b的一段懸掛下垂 , 如圖 。 。 建立如圖坐標(biāo) , 則 0 , 0 ,x y zF F F m g? ? ? ?代入功的解析表達(dá)式得 211 2 1 2( ) d ( )zzW m g z m g z z? ? ? ?? 常見力的功 力的功 M1 M2 M mg z1 z2 O x y z 對(duì)于質(zhì)點(diǎn)系 , 其重力所作的功為 1 2 1 2121212()()()()i i ii i i iCCCCW m g z zm z m z gMz Mz gMg z z? ? ?? ? ? ?????由此可見 , 重力的功僅與重心的始末位置有關(guān) , 而與重心走過的路徑無(wú)關(guān) 。功率方程 δ dW ??Fr 21dMMW ??? Fr稱為 矢徑法表示的功的計(jì)算公式 。 v A B ? C 解: I 234AT M v?222111 2 2 3IlI m l m m l??? ? ?????2222112 6 s in 3A B I A BmvT I m v??? ? ?? ? 21 9412T M m v??總例 2 均質(zhì)細(xì)桿長(zhǎng)為 l,質(zhì)量為 m,上端 B靠在光滑的墻上,下端 A用鉸與質(zhì)量為 M半徑為 R且放在粗糙地面上的圓柱中心相連,在圖示位置圓柱作純滾動(dòng),中心速度為 v,桿與水平線的夾角 ?=45o,求該瞬時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)能。 ? 滑動(dòng)摩擦力作負(fù)功 。 設(shè)連桿長(zhǎng)均為 l, 質(zhì)量均為 m, 均質(zhì)圓盤質(zhì)量為 m1, 且作純滾動(dòng) 。在圖示位置 , 系統(tǒng)靜止 , 彈簧的伸長(zhǎng)為 20 cm。也可用功率方程、動(dòng)量定理或動(dòng)量矩定理求解。分別由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理和定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的微分方程 , 得 21 ( ) ( 3 )2 ABm r F F ra ??? ? ?m1g FA a m2g FB a A B O r 11 ( 1 )Am a m g F??22 ( 2 )Bm a F m g??0 ( 4 )OxF?0 ( 5 )O y A BF F F m g??? ? ? ? F39。 解:由于地面光滑 , 直桿沿水平方向不受力 , 倒下過程中質(zhì)心將鉛直下落 。傳動(dòng)零件之間的磨擦損耗功率為輸入功率的 30% 。 ● 機(jī)械能 — 系統(tǒng)所具有的動(dòng)能與勢(shì)能的總稱。 134 功率 解:以圓盤為研究對(duì)象 , 受力如圖 , 建立如圖坐標(biāo) 。 由于桿由水平位置靜止開始運(yùn)動(dòng) , 故開始的動(dòng)能為零 , 即 ? 2211 0 si n1 8 6m l m g l?j??由 2 1 1 2T T W? ? ?得 2 3 singl?j? 將前式兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo) , 得 d 3 d2 c o sddgt l t?j?j?3 c o s2glaj?3 singl?j?j C O mg ? 解法 2:用微分方程求運(yùn)動(dòng) C O ()OOJMa ?? Fmg 由定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程 003d c o s d2gl?j? ? j j???即 j?j?002 s i n2321lg? 所以 j? s in3lg?21 c o s96lm l m gaj?得 3 c o s2glaj?即 d d d dd d d dtt? ? j ?a?jj? ? ?又 d3 c o sd2gl??jj ?所以 FOy FOx a j C O ? a x y aCx aCy 現(xiàn)在求約束反力 。 普遍定理綜合應(yīng)用 (3) 如果問題是要求速度或角速度,則要視已知條件而定。 如果重物 A開始時(shí)向下的速度為 v0,試問重物 A下落多大距離 , 其速度增大一倍 。已知鼓輪的半徑為 R1,質(zhì)量為 m1,質(zhì)量分布在輪緣上;圓柱的半徑為 R2,質(zhì)量為 m2,質(zhì)量均勻分布。 動(dòng)能定理 21d( ) δ2 m v W?2. 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理 設(shè)質(zhì)點(diǎn)系由 n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成 , 第 i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為 mi,速度為 vi, 根據(jù)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理的微分形式 , 有 21d ( ) δ2 i i im v W?式中 dWi表示作用在第 i個(gè)質(zhì)點(diǎn)上所有力所作的元功之和 。 所以只需計(jì)算 T 與 F的功 。 它表示力在一段路程上的累積作用效應(yīng) ,因此功為累積量 。 引言 常力的功 設(shè)物體在常力 F作用下沿直線走過路程 s, 如圖 ,則力所作的功 W定義為 cosW F s?? ? ? ?Fs功是代數(shù)量 。 由于 P與 N始終垂直于滑塊位移 , 因此 , 它們所作的功為零 。 積分上式 , 得 212121d ( )2vvm v W??或 122122 2121 Wmvmv ??在質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的某個(gè)過程中 , 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的改變量等于作用于質(zhì)點(diǎn)的力作的功 。 s 1 0T ?力的功: js in12 m g sW ?由動(dòng)能定理得: js in043 2 m gsmv C ??22 43CmvT ?js in32 ga ?解得: 例 8 卷?yè)P(yáng)機(jī)如圖,鼓輪在常力偶 M的
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