【正文】 ● 機(jī)械能守恒 — 系統(tǒng)僅在有勢(shì)力作用下運(yùn)動(dòng)時(shí)， 其機(jī)械能保持恒定。 如果物體在某力場(chǎng)內(nèi)運(yùn)動(dòng)，作用于物體的力所作的功只與力作用點(diǎn)的初始位置和終了位置有關(guān)，而與該點(diǎn)的軌跡形狀無關(guān)，這種力場(chǎng)稱為 —— 勢(shì)力場(chǎng)（保守力場(chǎng)）。 解：車床正常工作時(shí)，工件勻速旋轉(zhuǎn)，動(dòng)能無變化 0dd ＝tT 無用輸入有用 －＝ PPPkW45 .＝輸入P kW62130 .% ??輸入無用 ＝ PP其中 kW783 .?無用輸入有用 －＝ PPP切削力 F 與工件在切削力作用點(diǎn)的速度 v 同向 30π2ndFFvP ????? vF＝有用 有用PdnF π60?切削力 F 與工件在切削力作用點(diǎn)的速度 v 同向 30π2ndFFvP ????? vF＝有用 有用PdnF π60?當(dāng) n = 42 r/min 時(shí) 60 .. ?????F當(dāng) n = 112 r/min 時(shí) 60 .. ?????F167。 —— 功率方程 無用有用輸入 －－＝ PPPtTdd輸入P有用P無用P—— 輸入功率 —— 有用功率，輸出功率 —— 無用功率，損耗功率 3. 機(jī) 械 效 率 輸入功率有效功率??dtdTP ??有用有效功率n???? ???? ?21—— 系統(tǒng)的總效率 例 題 19 車床電動(dòng)機(jī)的功率 P輸入＝ kW 。功率方程 求圓柱體的動(dòng)量需要用 O點(diǎn)的絕對(duì)速度 ， 該速度可用兩種方法求得： ② 基點(diǎn)法：取圓柱體與三棱柱的接觸點(diǎn) D為基點(diǎn) ，分析圓柱體中心 O點(diǎn)的速度 ， 如圖 (b)所示 ,O D O D D O Dv v v r ?? ? ? ?v v v① 復(fù)合運(yùn)動(dòng)法：取圓柱體中心 O為動(dòng)點(diǎn) ， 動(dòng)系與三棱柱固連 ， 則 O點(diǎn)的速度分析如圖 (a)所示 ,a e r e rv v v r ?? ? ? ?v v v(a) c osOxv v r ??? ? ?c osOxv v r ??? ? ?? x y a ar ae m2g FS FN O D 0 1 1 20 , ( c os )xxp p m v m v r ??? ? ? ? ? ?由動(dòng)量守恒定理 : 1 0 1 2 ( c os ) 0xxp p m v m v r ??? ? ? ? ? ? ?兩邊對(duì)時(shí)間 t求導(dǎo)得 1 2 2( ) c os 0 ( * )m m a m r a?? ? ? ?欲求 a需先求出 a， 取圓柱體分析如圖 (c)所示 ， 由平面運(yùn)動(dòng)微分方程得 ()OOJMa ?? F 2212 Sm r F ra ?從中解出 2 c o s 2 sin3agr??a ??221 2 2s in 23 2 s inmgam m m??? ??求出系統(tǒng)動(dòng)量的水平分量： 22( ) sinc os Smmra gFa? ????2 O x xm a F????x39。 質(zhì)量為 m2的均質(zhì)圓柱體 O由靜止沿斜面 AB向下滾動(dòng)而不滑動(dòng) 。 當(dāng)桿受微小干擾而倒下時(shí) ， 求桿剛剛到達(dá)地面時(shí)的角速度和地面約束力 。 21222 0 ( 2 2 2 )22 kW M m gR R RM m gR k R????? ? ? ? ???? ? ?M O C A C A a y x M mg F FOx FOy O ? 45176。 B A m1g a m2g a FOx FOy O mg e 由 得 d()d OOLMt ?? F12122 ( )dd 2 ( )mmvagt m m m????? 例 16 如圖所示 ， 均質(zhì)圓盤可繞 O軸在鉛垂面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng) ， 圓盤的質(zhì)量為 m， 半徑為 R。 解：以整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象 ， 受力如圖 ， 運(yùn)動(dòng)分析如圖 。 分別以物塊 A、 B和滑輪為研究對(duì)象 ， 受力如圖 。 t n 23c o s s in ( 1 3 s in )4C y C Cga a aj j j? ? ? ? ? ?t n 3s in c o s s in c o s4C x C Cga a aj j j j? ? ? ? ?質(zhì)心加速度有切向和法向分量： at C an C t c o s4Cga O C aj? ? ?n2 s in2Cga O C ?j? ? ?將其向直角坐標(biāo)軸上投影得： C O mg x y aCx aCy FOy FOx 23 ( 1 3 s in )4Oymg F m gj? ? ? ?3 s in c o s4 Oxmg Fjj??由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理 得： 解得： 3 si n 28OxmgF j??2( 1 9 sin )4OymgF j??,Cx x Cy ym a F m a F? ? ? ?B A 例 15 物塊 A和 B的質(zhì)量分別為 m m2， 且 m1＞ m2 ，分別系在繩索的兩端 ， 繩跨過一定滑輪 ， 如圖 。 普遍定理綜合應(yīng)用 例 14 如圖 ， 均質(zhì)桿質(zhì)量為 m， 長(zhǎng)為 l， 可繞距端點(diǎn) l/3的轉(zhuǎn)軸 O轉(zhuǎn)動(dòng) ， 求桿由水平位置靜止開始轉(zhuǎn)動(dòng)到任一位置時(shí)的角速度 、 角加速度以及軸承 O的約束反力 。 對(duì)于剛體的平面運(yùn)動(dòng)問題 ， 可用平面運(yùn)動(dòng)微分方程求解 。 (4) 如果問題是要求加速度或角加速度，可用動(dòng)能定理求出速度 (或角速度 ) ，然后再對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，求出加速度 (或角加速度 ) 。若質(zhì)點(diǎn)系所受外力的主矢為零或在某軸上的投影為零，則可用動(dòng)量守恒定律求解。 下面就只用一個(gè)定理就能求解的題目，如何選擇定理，說明如下： (1 )與路程有關(guān)的問題用動(dòng)能定理，與時(shí)間有關(guān)的問題用動(dòng)量定理或動(dòng)量矩定理。 但每一定理又只反映了這種關(guān)系的一個(gè)方面 ， 即每一定理只能求解質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力學(xué)某一方面的問題 。 在此過程中 ， 所有的力所作的功為 ? ?12 2( 1 2 )W m h M h f m g hM f m h g?? ? ? ? ??? ? ?由 1212 WTT ???得 ? ?203 ( 7 1 0 ) ( 1 2 )4 M m v M f m h g?? ? ? ?解得 ? ?203 ( 7 1 0 )4 ( 1 2 )v M mhg M f m?????速度增大一倍時(shí)的動(dòng)能為 220( 7 10 )T M m v??D A B C mg Mg Mg mg FN FS FOy FOx 例 13 圖示機(jī)構(gòu) ， 均質(zhì)桿質(zhì)量為 m＝ 10 kg， 長(zhǎng)度為 l＝ 60 cm， 兩端與不計(jì)重量的滑塊鉸接 ， 滑塊可在光滑槽內(nèi)滑動(dòng) ， 彈簧的彈性系數(shù)為 k＝ 360 N/m。 設(shè)重物 A和 B的質(zhì)量均為 m， 滑輪 D和 C的質(zhì)量均為M， 且為均質(zhì)圓盤 。時(shí)AB桿的角速度 。求軸 Ⅰ 的角加速度。 求連桿 OA運(yùn)動(dòng)到水平位置時(shí)的角速度 。設(shè)斜坡的傾角為 α，圓柱只滾不滑。求純滾動(dòng)時(shí)盤心的加速度。 例 6 一長(zhǎng)為 l， 質(zhì)量密度為 ρ 的鏈條放置在光滑的水平桌面上 ， 有長(zhǎng)為 b的一段懸掛下垂 ， 如圖 。 ? 光滑鉸鏈 (中間鉸鏈 )、 剛性二力桿及不可伸長(zhǎng)的細(xì)繩作為系統(tǒng)內(nèi)的約束時(shí) ， 約束力作功之和等于零 。 對(duì)質(zhì)點(diǎn)系中每個(gè)質(zhì)點(diǎn)都可以列出如上的方程 ， 將n個(gè)方程相加 ， 得 21d ( ) δ2 i i im v W? ? ? 動(dòng)能定理 21d ( ) δ2 i i im v W??? ? ?????于是得 d δ iTW?? 質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能的微分 ， 等于作用在質(zhì)點(diǎn)系上所有力所作的元功之和 。 解： AB桿作平面運(yùn)動(dòng) ， 其質(zhì)心 C的速度為 C A C A??v v v 速度合成矢量圖如圖 。 。 質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能 ? C P 動(dòng)能的瞬時(shí)性 C vC 221122CCT m v I ???21 ,2CCI m R v R ???243CmvT ?牢記均質(zhì)圓盤在地面上作純滾動(dòng)時(shí)的動(dòng)能 : 均質(zhì)圓環(huán)在地面上作純滾動(dòng)時(shí)的動(dòng)能 ?見 P292。 先計(jì)算 T 的功： 解：在運(yùn)動(dòng)過程中 ， T 的大小不變 ， 但方向在變 ， 因此 T 的元功為 δ c os dTW T xa?22 15)20()20(c o s ???? xxaT 15 cm B A 20 cm T P F N 因此 T在整個(gè)過程中所作的功為 再計(jì)算 F