【正文】 用幾個定理才能求解 。 解：以系統(tǒng)為研究對象 ， 則運動初瞬時的動能為 01 ?T 當(dāng)桿運動到鉛垂位置時 ， 其速度瞬心為桿端 B， 設(shè)此時桿的角速度為 ?， 則系統(tǒng)的動能為 2 2 222 2 21 1 1()2 2 311( 10 0. 6 ) 0. 6 N m23PT J m l??????? ? ? ? ??30B A C mg 30 cm 在系統(tǒng)運動過程中 ， 只有重力和彈力作功 ， 所以在系統(tǒng)運動過程中所有的力所作的功為 2212 1 2221( c os 30 ) ( )2 2 2 3 110 ( ) 360( )2 2 2 2 N mllW m g k dd? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???1212 WTT ???由 得 2 ??所以 1 . 4 61 . 5 6 r a d s0 . 6? ???30B A C mg 30 cm 前面分別介紹了動力學(xué)普遍定理 (動量定理 、 動量矩定理和動能定理 ) ， 它們從不同角度研究了質(zhì)點或質(zhì)點系的運動量 (動量 、 動量矩 、 動能 )的變化與力的作用量 (沖量 、 力矩 、 功等 )的關(guān)系 。 2012AT m v?D A B 2v0 C v0 2 2 200211( ) ( )22CC CvT M r M vr??22001 ( 2 ) 22BT m v m v??2107 1 04A B C DMmT T T T T v?? ? ? ? ?2 2 2 20001 1 1 3( ) ( )2 2 2 4DD DvT M v M r M vr? ? ? 系統(tǒng)受力如圖所示 ， 設(shè)重物 A下降 h高度時 ， 其速度增大一倍 。 如果重物 A開始時向下的速度為 v0，試問重物 A下落多大距離 ， 其速度增大一倍 。時彈簧不伸長 ， 一力 F＝ 10 N作用在 AB的 A點 ， 該系統(tǒng)由靜止釋放 ， 試求 ? ＝ 0186。 系統(tǒng)此時的動能為 2222 2 2 2 2 211221 1 1 1 1( ) ( )2 3 2 3 3OBT I Im l m l m l??? ? ???? ? ?O a A F B ? vA vB 系統(tǒng)受力如圖所示 ， 在運動過程中所有的力所作的功為 12 2( si n ) si n2( ) si nlW m g Flm g F laaa? ? ???221 0 ( ) sin3 m l m g F l?a? ? ?解得 3 ( ) s inm g Flma? ??O a A F B mg mg FS FN m1g FOx FOy 1212 WTT ???由 得 例 10 已知： J1 ， J2 ， R1 ， R2 ， i12 = R2 / R1 M1 ， M2 。系統(tǒng)在運動過程中所有力所作的功為 sgmRsMW ???? as i n2112系統(tǒng)在初始及終了兩狀態(tài)的動能分別為 01 ?T 2 2 22 1 1 2 21 1 12 2 2CCT I m v I??? ? ?a FN FS m2g m1g FOx FOy M O C 其中 21 1 1I m R? 22212CI m R?11 RvC??22 RvC??于是 )32(4 2122 mmvT C ??由 1212 WTT ???得 sgmRsMmmv C ????? as i n0)32(4 21212解之得 )32()s i n(221112mmRsgRmMvC ??? aa FN FS m2g m1g FOx FOy M O C 例 9 在對稱連桿的 A點 ， 作用一鉛垂方向的常力 F， 開始時系統(tǒng)靜止 ， 如圖 。已知鼓輪的半徑為 R1，質(zhì)量為 m1，質(zhì)量分布在輪緣上；圓柱的半徑為 R2，質(zhì)量為 m2，質(zhì)量均勻分布。 bbl?解得 lblgv )( 222??解 :鏈條在初始及終了兩狀態(tài)的動能分別為 01 ?T222 21 lvT ?? 在運動過程中所有的力所作的功為 )(21)(21)()( 2212 blgblblgblgbW ??????? ???由 1212 WTT ???例 7 已知： m ， R, f ， j 。 ? 變形元件的內(nèi)力 (氣缸內(nèi)氣體壓力 、 彈簧力等 )作功；剛體所有內(nèi)力作功的和等于零 。 ? 光滑鉸支座和固定端約束 ， 其約束力也不作功 。 動能定理 21d( ) δ2 m v W?2. 質(zhì)點系的動能定理 設(shè)質(zhì)點系由 n個質(zhì)點組成 ， 第 i個質(zhì)點的質(zhì)量為 mi，速度為 vi， 根據(jù)質(zhì)點的動能定理的微分形式 ， 有 21d ( ) δ2 i i im v W?式中 dWi表示作用在第 i個質(zhì)點上所有力所作的元功之和 。 試求當(dāng)桿 AB與鉛垂線的夾角為 j 時 ， 桿的動能 。 1 si nrv O B r? ? a? ? ?1ddPmrlg? ? ?22221d d s in d22 rPrT m v rgl? a? ? ? ? ?桿 OA的動能是 2 2 2 22200d s in d s in26ll P r P lT T rg l g?? aa? ? ? ???解：取出微段 dr到球鉸的距離為 r，該微段的速度是 微段的質(zhì)量 微段的動能 運動分析 系統(tǒng)分析 O1 例 4 求橢圓規(guī)的動能 ， 其中 OC、 AB為均質(zhì)細(xì)桿 ， 質(zhì)量為 m和2m， 長為 a和 2a， 滑塊 A和 B質(zhì)量均為 m， 曲柄 OC的角速度為?， j = 60176。?＝ vC ,于是得 222121 ?CC JmvT ?? 平面運動剛體的動能等于隨質(zhì)心平動的動能與繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動的動能的和 。 所以只需計算 T 與 F的功 。 常見力的功 3) 定軸轉(zhuǎn)動剛體上作用力的功 設(shè)作用在定軸轉(zhuǎn)動剛體上 A點的力為 F, 將該力分解為 Ft、 Fn和 Fb， 常見力的功 當(dāng)剛體轉(zhuǎn)動時，轉(zhuǎn)角 j與弧長 s的關(guān)系為 t c osF ??FddsR j?R為力作用點 A到軸的垂距 。 1) 重力的功 設(shè)質(zhì)點的質(zhì)量為 m， 在重力作用下從 M1運動到 M2。力 F在微小弧段上所作的功稱為力的元功 , 記為 dW, 于是有 δ c os dW F s??? 力的功 M39。 它表示力在一段路程上的累積作用效應(yīng) ，因此功為累積量 。 不同于動量定理和動量矩定理 ， 動能定理是從能量的角度來分析質(zhì)點和質(zhì)點系的動力學(xué)問題 ， 有時是更為方便和有效的 。第十三章 動能定理 ? 力的功 ? 質(zhì)點和質(zhì)點系的動能 ? 動能定理 ? 普遍定理的綜合應(yīng)用舉例 ? 功率 本章以功和動能為基礎(chǔ) ， 建立質(zhì)點或質(zhì)點系動能的改變和力的功之間的關(guān)系 ， 即動能定理 。 引言 常力的功 設(shè)物體在常力 F作用下沿直線走過路程 s， 如圖 ，則力所作的功 W定義為 cosW F s?? ? ? ?Fs功是代數(shù)量 。 變力的功 設(shè)質(zhì)點 M在變力 F的作用下沿曲線運動 ， 如圖 。 在直角坐標(biāo)系中 d d d dx y zF F F x y z? ? ? ? ? ?F i j k , r i j kδ d d dx y zW F x F y F z? ? ?21( d d d )M x y zMW F x F y F z? ? ?? 力的功 上兩式可寫成矢量點乘積形式 上式稱為 直角坐標(biāo)法表示的功的計算公式 ， 也稱為 功的解析表達(dá)式 。 設(shè)彈簧原長為 l0 , 則彈性力為 00()k r l? ? ?Fr22111 2 0 0d ( ) dAAW k r l? ? ? ? ???F r = r rA1 A2 r2 r1 l0 O r0 r A d F A0 dr 常見力的功 于是 21221 2 0 1 0 2 01( ) d ( ) ( )2rrW k r l r k r l r l??? ? ? ? ? ? ????或