【正文】 下面舉例說明 。若作用在質(zhì)點(diǎn)系上的非有勢(shì)力作功，則用動(dòng)能定理求解。 普遍定理綜合應(yīng)用 動(dòng)力學(xué)普遍定理綜合應(yīng)用有兩方面含義：其一 ，對(duì)一個(gè)問題可用不同的定理求解；其二 ， 對(duì)一個(gè)問題需用幾個(gè)定理才能求解 。 2012AT m v?D A B 2v0 C v0 2 2 200211( ) ( )22CC CvT M r M vr??22001 ( 2 ) 22BT m v m v??2107 1 04A B C DMmT T T T T v?? ? ? ? ?2 2 2 20001 1 1 3( ) ( )2 2 2 4DD DvT M v M r M vr? ? ? 系統(tǒng)受力如圖所示 ， 設(shè)重物 A下降 h高度時(shí) ， 其速度增大一倍 。時(shí)彈簧不伸長(zhǎng) ， 一力 F＝ 10 N作用在 AB的 A點(diǎn) ， 該系統(tǒng)由靜止釋放 ， 試求 ? ＝ 0186。系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)過程中所有力所作的功為 sgmRsMW ???? as i n2112系統(tǒng)在初始及終了兩狀態(tài)的動(dòng)能分別為 01 ?T 2 2 22 1 1 2 21 1 12 2 2CCT I m v I??? ? ?a FN FS m2g m1g FOx FOy M O C 其中 21 1 1I m R? 22212CI m R?11 RvC??22 RvC??于是 )32(4 2122 mmvT C ??由 1212 WTT ???得 sgmRsMmmv C ????? as i n0)32(4 21212解之得 )32()s i n(221112mmRsgRmMvC ??? aa FN FS m2g m1g FOx FOy M O C 例 9 在對(duì)稱連桿的 A點(diǎn) ， 作用一鉛垂方向的常力 F， 開始時(shí)系統(tǒng)靜止 ， 如圖 。 bbl?解得 lblgv )( 222??解 :鏈條在初始及終了兩狀態(tài)的動(dòng)能分別為 01 ?T222 21 lvT ?? 在運(yùn)動(dòng)過程中所有的力所作的功為 )(21)(21)()( 2212 blgblblgblgbW ??????? ???由 1212 WTT ???例 7 已知： m ， R, f ， j 。 ? 光滑鉸支座和固定端約束 ， 其約束力也不作功 。 試求當(dāng)桿 AB與鉛垂線的夾角為 j 時(shí) ， 桿的動(dòng)能 。?＝ vC ,于是得 222121 ?CC JmvT ?? 平面運(yùn)動(dòng)剛體的動(dòng)能等于隨質(zhì)心平動(dòng)的動(dòng)能與繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能的和 。 常見力的功 3) 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上作用力的功 設(shè)作用在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上 A點(diǎn)的力為 F, 將該力分解為 Ft、 Fn和 Fb， 常見力的功 當(dāng)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，轉(zhuǎn)角 j與弧長(zhǎng) s的關(guān)系為 t c osF ??FddsR j?R為力作用點(diǎn) A到軸的垂距 。力 F在微小弧段上所作的功稱為力的元功 , 記為 dW, 于是有 δ c os dW F s??? 力的功 M39。 不同于動(dòng)量定理和動(dòng)量矩定理 ， 動(dòng)能定理是從能量的角度來分析質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)力學(xué)問題 ， 有時(shí)是更為方便和有效的 。本章以功和動(dòng)能為基礎(chǔ) ， 建立質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能的改變和力的功之間的關(guān)系 ， 即動(dòng)能定理 。 變力的功 設(shè)質(zhì)點(diǎn) M在變力 F的作用下沿曲線運(yùn)動(dòng) ， 如圖 。 設(shè)彈簧原長(zhǎng)為 l0 , 則彈性力為 00()k r l? ? ?Fr22111 2 0 0d ( ) dAAW k r l? ? ? ? ???F r = r rA1 A2 r2 r1 l0 O r0 r A d F A0 dr 常見力的功 于是 21221 2 0 1 0 2 01( ) d ( ) ( )2rrW k r l r k r l r l??? ? ? ? ? ? ????或 )(21 222112 dd ?? kW因?yàn)? 2011d d d ( ) d d22 rrr r r? ? ? ? ? ? ?rr r r r r彈性力作的功只與彈簧在初始和末了位置的變形量有關(guān) ， 與力的作用點(diǎn) A的軌跡形狀無關(guān) 。 (1) 平動(dòng)剛體的動(dòng)能 質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能 222212121CiCii MvmvvmT ????? (2) 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能 2 2 22 2 211221122i i i ii i zT m v m rm r J???? ? ? ?? ? ? (3) 平面運(yùn)動(dòng)剛體的動(dòng)能 212 PTJ ??因?yàn)?JP＝ JC + md 2 所以 2222 )(2121)(21 ??? ????? dmJmdJTCC因?yàn)?d 首先對(duì)運(yùn)動(dòng)進(jìn)行分析 ， O1是 AB的速度瞬心 ， 因 : 1 2 c osA A Bv O A a a? j ? ?? ? ? ? ?222122A A AmaT m v ???A B O C j ? vC vB vA ?AB 1 2 sin 3B A Bv O B a a? j ? ?? ? ? ? ?2221322B B BmaT m v ???1c ABv O C OC??? ? ? ?AB????運(yùn)動(dòng)分析 系統(tǒng)分析 A B vA vC O C j O1 ? vB ?AB 對(duì)于曲柄 OC： 2213O O CI m a m a??規(guī)尺作平面運(yùn)動(dòng)，用繞速度瞬心轉(zhuǎn)動(dòng)的公式求動(dòng)能： 2112 2 21812 32 ( 2 ) 2O C ABI I m O Cm a m a ma? ? ?? ? ? ? ? ?2 2 2 2 2 2 2 2221 3 1 42 2 6 372A B OC ABT T T T Tma ma ma mama? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ??2 2 21126O C OT I m a????2 2 211423A B O A BT I m a????系統(tǒng)的總動(dòng)能為： B j A 例 5 滑塊 A以速度 vA在滑道內(nèi)滑動(dòng) ， 其上鉸接一質(zhì)量為 m， 長(zhǎng)為 l的均質(zhì)桿 AB， 桿以角速度 ? 繞 A轉(zhuǎn)動(dòng) ， 如圖 。 動(dòng)能定理 動(dòng)能定理 3. 理想約束及內(nèi)力作功 ? 對(duì)于光滑固定面和一端固定的繩索等約束 ， 其約束力都垂直于力作用點(diǎn)的位移 ， 約束力不作功 。 求當(dāng)末端滑離桌面時(shí) ， 鏈條的速度 。 解：以系統(tǒng)為研究對(duì)象，受力如圖。 假設(shè)兩桿與光滑地面的夾角 ? ＝ 60186。 繩索不能伸長(zhǎng) ， 其質(zhì)量忽略不計(jì) 。 但應(yīng)注意 ， 在有些情況下質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力也要作功 ， 應(yīng)用時(shí)要具體分析 。若質(zhì)點(diǎn)系僅受有勢(shì)力的作用或非有勢(shì)力不作功，則用機(jī)械能守恒定律求解。 對(duì)于復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)問題 ， 不外乎是上述幾種情況的組合 ， 可以根據(jù)各定理的特點(diǎn)聯(lián)合應(yīng)用 。 假設(shè)不計(jì)繩的質(zhì)量和軸承摩擦 ， 繩與滑輪之間無相對(duì)滑動(dòng) ， 試求物塊 A的加速度和軸承 O的約束反力 。 解：以整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象 ， 受力如圖 ， 運(yùn)動(dòng)分析如圖 。 再由定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程得 232 ( 2 2 2 )22m R M k R R Ra ? ? ?解得 222 ( 0 . 5 8 5 9 )3M k RmRa??22 ( 0 .5 8 5 9 )3CxM k RaRmRa?? ? ? ?)(3 4 22 kRm gRMmRRa Cy ?????? ??c os 45C x O xma F F??sin 45Cy O ym a F m g F? ? ?代入加速度解得 2 0 . 1 9 5 33OxMF k RR? ? ?3 .6 6 7 1 .0 4 3 4 .1 8 9Oy MF m g k r R? ? ?y C A a x M mg F FOx FOy O ? 45176。 ? A C B O vr ? D a v ve vD vOD vD a 解：整體系統(tǒng)在水平方向上受力為零 ， 所以系統(tǒng)的動(dòng)量在水平方向上守恒 。 ?jd MdtdMtWP ???? d 作用在轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上的力矩或力偶矩的功率等于 力矩或力偶矩與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)角速度的標(biāo)積。勢(shì)能 183