【文章內(nèi)容簡介】 2222 2 2 2 2 211221 1 1 1 1( ) ( )2 3 2 3 3OBT I Im l m l m l??? ? ???? ? ?O a A F B ? vA vB 系統(tǒng)受力如圖所示 ， 在運動過程中所有的力所作的功為 12 2( si n ) si n2( ) si nlW m g Flm g F laaa? ? ???221 0 ( ) sin3 m l m g F l?a? ? ?解得 3 ( ) s inm g Flma? ??O a A F B mg mg FS FN m1g FOx FOy 1212 WTT ???由 得 例 10 已知： J1 ， J2 ， R1 ， R2 ， i12 = R2 / R1 M1 ， M2 。求軸 Ⅰ 的角加速度。 Ⅰ Ⅱ M1 M2 解：取系統(tǒng)為研究對象 2222112121210?? JJTT???21121221jj?? ???RRi由運動學可知： 21212212 )(21 ?iJJT ??主動力的功： 11221221112 )( jjj iMMMMW ????由動能定理得： 112212121221 )(0)(21 j?iMMiJJ ????將上式對時間求導(dǎo)，并注意 1111 , ?ja? ??dtddtd解得： )()( 2122112211 iJJiMM ???aⅠ Ⅱ M1 M2 例 11 兩根完全相同的均質(zhì)細桿 AB和 BC用鉸鏈 B連接在一起 ， 而桿 BC則用鉸鏈 C連接在 C點上 ， 每根桿重 P＝ 10 N， 長 l＝ 1 m， 一彈簧常數(shù) k＝ 120 N/m的彈簧連接在兩桿的中心 ， 如圖所示 。 假設(shè)兩桿與光滑地面的夾角 ? ＝ 60186。時彈簧不伸長 ， 一力 F＝ 10 N作用在 AB的 A點 ， 該系統(tǒng)由靜止釋放 ， 試求 ? ＝ 0186。時AB桿的角速度 。 A ? C B O D vA vD vB F ?BC ?AB 解： AB桿作平面運動 ， BC桿作定軸轉(zhuǎn)動 ， 找出 AB桿的速度瞬心在 O點 ， 由幾何關(guān)系知 OB＝ BC＝ l， 因此由 B A B B Cv O B B C??? ? ? ?得 AB BC? ? ???同時還可以得出結(jié)論 ， 當 θ＝ 0186。時 O點與A點重合 ， 即此時 A為 AB桿的速度瞬心 ，所以 1 0T ?2 2 2 221 1 12 2 3A A B C B CPT J J lg? ? ?? ? ?主動力做功 ( 2 2 c os )FW F s F l l F l?? ? ? ?重力做功 132 s in22PW P l P l?? ? ?彈簧力做功 2 2 2 2121 1 1( ) [ 0 ( ) ]2 2 2 8ElW k k l k ldd? ? ? ? ? ? ?外力所做總功 2123128F P EW W W W F l P l k l? ? ? ? ? ??由動能定理的積分形式得： 2 2 21 3 13 2 8P l F l P l k lg ? ? ? ?3 1 1( ) / 3 . 2 8 r a d /s2 8 3WP W k l lg? ? ? ? ? 因為系統(tǒng)屬理想約束 ， 所以約束反力不做功 ， 做功的力有主動力 F， 重力 P和彈簧力 ， 分別求得如下： 解：取系統(tǒng)分析 ， 則運動初瞬時的動能為 例 12 如圖 ， 重物 A和 B通過動滑輪 D和定滑輪而運動 。 如果重物 A開始時向下的速度為 v0，試問重物 A下落多大距離 ， 其速度增大一倍 。 設(shè)重物 A和 B的質(zhì)量均為 m， 滑輪 D和 C的質(zhì)量均為M， 且為均質(zhì)圓盤 。 重物 B與水平面間的動摩擦系數(shù)為 f 39。， 繩索不能伸長 ， 其質(zhì)量忽略不計 。 2012AT m v?D A B 2v0 C v0 2 2 200211( ) ( )22CC CvT M r M vr??22001 ( 2 ) 22BT m v m v??2107 1 04A B C DMmT T T T T v?? ? ? ? ?2 2 2 20001 1 1 3( ) ( )2 2 2 4DD DvT M v M r M vr? ? ? 系統(tǒng)受力如圖所示 ， 設(shè)重物 A下降 h高度時 ， 其速度增大一倍 。 在此過程中 ， 所有的力所作的功為 ? ?12 2( 1 2 )W m h M h f m g hM f m h g?? ? ? ? ??? ? ?由 1212 WTT ???得 ? ?203 ( 7 1 0 ) ( 1 2 )4 M m v M f m h g?? ? ? ?解得 ? ?203 ( 7 1 0 )4 ( 1 2 )v M mhg M f m?????速度增大一倍時的動能為 220( 7 10 )T M m v??D A B C mg Mg Mg mg FN FS FOy FOx 例 13 圖示機構(gòu) ， 均質(zhì)桿質(zhì)量為 m＝ 10 kg， 長度為 l＝ 60 cm， 兩端與不計重量的滑塊鉸接 ， 滑塊可在光滑槽內(nèi)滑動 ， 彈簧的彈性系數(shù)為 k＝ 360 N/m。在圖示位置 ， 系統(tǒng)靜止 ， 彈簧的伸長為 20 cm。 然后無初速釋放 ， 求當桿到達鉛垂位置時的角速度 。 解：以系統(tǒng)為研究對象 ， 則運動初瞬時的動能為 01 ?T 當桿運動到鉛垂位置時 ， 其速度瞬心為桿端 B， 設(shè)此時桿的角速度為 ?， 則系統(tǒng)的動能為 2 2 222 2 21 1 1()2 2 311( 10 0. 6 ) 0. 6 N m23PT J m l??????? ? ? ? ??30B A C mg 30 cm 在系統(tǒng)運動過程中 ， 只有重力和彈力作功 ， 所以在系統(tǒng)運動過程中所有的力所作的功為 2212 1 2221( c os 30 ) ( )2 2 2 3 110 ( ) 360( )2 2 2 2 N mllW m g k dd? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???1212 WTT ???由 得 2 ??所以 1 . 4 61 . 5 6 r a d s0 . 6? ???30B A C mg 30 cm 前面分別介紹了動力學普遍定理 (動量定理 、 動量矩定理和動能定理 ) ， 它們從不同角度研究了質(zhì)點或質(zhì)點系的運動量 (動量 、 動量矩 、 動能 )的變化與力的作用量 (沖量 、 力矩 、 功等 )的關(guān)系 。 但每一定理又只反映了這種關(guān)系的一個方面 ， 即每一定理只能求解質(zhì)點系動力學某一方面的問題 。 動量定理和動量矩定理是矢量形式 ， 因質(zhì)點系的內(nèi)力不能改變系統(tǒng)的動量和動量矩 ， 應(yīng)用時只需考慮質(zhì)點系所受的外力；動能定理是標量形式 ， 在很多問題中約束反力不作功 ， 因而應(yīng)用它分析系統(tǒng)速度變化是比較方便的 。 但應(yīng)注意 ， 在有些情況下質(zhì)點系的內(nèi)力也要作功 ， 應(yīng)用時要具體分析 。 普遍定理綜合應(yīng)用 動力學普遍定理綜合應(yīng)用有兩方面含義：其一 ，對一個問題可用不同的定理求解；其二 ， 對一個問題需用幾個定理才能求解 。 下面就只用一個定理就能求解的題目，如何選擇定理，說明如下： (1 )與路程有關(guān)的問題用動能定理，與時間有關(guān)的問題用動量定理或動量矩定理。 (2 )已知主動力求質(zhì)點系的運動用動能定理，已知質(zhì)點系的運動求約束反力用動量定理或質(zhì)心運動定理或動量矩定理。已知外力求質(zhì)點系質(zhì)心運動用質(zhì)心運動定理。 普遍定理綜合應(yīng)用 (3) 如果問題是要求速度或角速度，則要視已知條件而定。若質(zhì)點系所受外力的主矢為零或在某軸上的投影為零，則可用動量守恒定律求解。若質(zhì)點系所受外力對某固定軸的矩的代數(shù)和為零，則可用對該軸動量矩守恒定律求解。若質(zhì)點系僅受有勢力的作用或非有勢力不作功，則用機