【正文】 面分別介紹了動力學(xué)普遍定理 (動量定理 、 動量矩定理和動能定理 ) ， 它們從不同角度研究了質(zhì)點或質(zhì)點系的運動量 (動量 、 動量矩 、 動能 )的變化與力的作用量 (沖量 、 力矩 、 功等 )的關(guān)系 。 普遍定理綜合應(yīng)用 (3) 如果問題是要求速度或角速度，則要視已知條件而定。 普遍定理綜合應(yīng)用 (5) 對于定軸轉(zhuǎn)動問題 ， 可用定軸轉(zhuǎn)動的微分方程求解 。 由于桿由水平位置靜止開始運動 ， 故開始的動能為零 ， 即 ? 2211 0 si n1 8 6m l m g l?j??由 2 1 1 2T T W? ? ?得 2 3 singl?j? 將前式兩邊對時間求導(dǎo) ， 得 d 3 d2 c o sddgt l t?j?j?3 c o s2glaj?3 singl?j?j C O mg ? 解法 2：用微分方程求運動 C O ()OOJMa ?? Fmg 由定軸轉(zhuǎn)動微分方程 003d c o s d2gl?j? ? j j???即 j?j?002 s i n2321lg? 所以 j? s in3lg?21 c o s96lm l m gaj?得 3 c o s2glaj?即 d d d dd d d dtt? ? j ?a?jj? ? ?又 d3 c o sd2gl??jj ?所以 FOy FOx a j C O ? a x y aCx aCy 現(xiàn)在求約束反力 。A FOx FOy O mg a ara?由以上方程聯(lián)立求解得： 12122 ( )2 ( )mmagm m m????0OxF ?21212122 ( )()2 ( )OymmF m m m g gm m m?? ? ? ???注意到 解二：用動能定理和質(zhì)心運動定理 。 解：以圓盤為研究對象 ， 受力如圖 ， 建立如圖坐標(biāo) 。 時解出 glv C 321? lg3??2 1 1 2T T W? ? ?P A C ? ? vC vA 桿剛剛達到地面時受力及加速度如圖所示 ， 由剛體平面運動微分方程 ， 得 ( 1 )ACmg F ma??21 ( 2 )2 1 2AClF J m lee?? 桿作平面運動 ， 以 A為基點 ， 則 C點的加速度為 tnC A CA CA? ? ?a a a a沿鉛垂方向投影 ， 得 t ( 3 )2C C Alaa a??聯(lián)立求解方程 (1)~(3)， 得 14AF m g?A C a aC mg FA A C aC a ? an CA aA at CA O D (b) 例 18 圖示三棱柱體 ABC的質(zhì)量為 m1， 放在光滑的水平面上 ， 可以無摩擦地滑動 。 134 功率 求：轉(zhuǎn)速n=42 r/min 和 n =112 r/min 的允許最大切削力。 ● 機械能 — 系統(tǒng)所具有的動能與勢能的總稱。 2. 勢 能 在勢力場中，質(zhì)點從點 M運動到任選的點 M0，有勢力所作的功稱為質(zhì)點在點 M相對于點 M0的勢能，以 V 表示為 ?? ????? 00 )(MMMM Z d zY d yXd xdV rFa. 重力場中的勢能 b. 彈性力場中的勢能 取 M0為零勢能點，則點 M 的勢能為： )( 00 zzmgm g d zV zz ???? ?)(2 202 dd ?? kV取彈簧自然位置為零勢能點，則有： 22 dkV ?c. 萬有引力場中的勢能 )11(122022100rrmmfdrrmfmdrmfmdV1rr 21AAAA1??????????? rrrF取無窮遠處為零勢能點，則有： rmmfV 1 2??★ 有勢力所作的功等于質(zhì)點系在運動過程的初始與終了位置的勢能的差。傳動零件之間的磨擦損耗功率為輸入功率的 30％ 。 y39。 解：由于地面光滑 ， 直桿沿水平方向不受力 ， 倒下過程中質(zhì)心將鉛直下落 。 在圓盤的質(zhì)心 C上連結(jié)一剛性系數(shù)為 k的水平彈簧 ， 彈簧的另一端固定在 A點 ， CA＝ 2R為彈簧的原長 ， 圓盤在常力偶矩 M的作用下 ， 由最低位置無初速地繞 O軸向上轉(zhuǎn) 。分別由質(zhì)心運動定理和定軸轉(zhuǎn)動的微分方程 ， 得 21 ( ) ( 3 )2 ABm r F F ra ??? ? ?m1g FA a m2g FB a A B O r 11 ( 1 )Am a m g F??22 ( 2 )Bm a F m g??0 ( 4 )OxF?0 ( 5 )O y A BF F F m g??? ? ? ? F39。 解：本題已知主動力求運動和約束反力 。也可用功率方程、動量定理或動量矩定理求解。 (2 )已知主動力求質(zhì)點系的運動用動能定理，已知質(zhì)點系的運動求約束反力用動量定理或質(zhì)心運動定理或動量矩定理。在圖示位置 ， 系統(tǒng)靜止 ， 彈簧的伸長為 20 cm。 A ? C B O D vA vD vB F ?BC ?AB 解： AB桿作平面運動 ， BC桿作定軸轉(zhuǎn)動 ， 找出 AB桿的速度瞬心在 O點 ， 由幾何關(guān)系知 OB＝ BC＝ l， 因此由 B A B B Cv O B B C??? ? ? ?得 AB BC? ? ???同時還可以得出結(jié)論 ， 當(dāng) θ＝ 0186。 設(shè)連桿長均為 l， 質(zhì)量均為 m， 均質(zhì)圓盤質(zhì)量為 m1， 且作純滾動 。 j C FN mg vC ? F 解：取系統(tǒng)為研究對象，假設(shè)圓盤中心向下產(chǎn)生位移 s時速度達到 vc。 ? 滑動摩擦力作負功 。 由余弦定理 2 2 222 11222 2 2142 c os( 18 0 )( ) 2 c osc osC A CA A CAAAAAv v v v vv l v lv l l vj? ? j? ? j? ? ? ?? ? ?? ? ?則桿的動能 2211222 2 2 2 21 1 1 12 4 2 122 2 21123( c os ) ( )( c os )CCAAAAT m v Jm v l l v m lm v l l v?? ? j ?? ? j??? ? ? ?? ? ?vA ? j B A l vA vCA vC vA ? 運動分析 系統(tǒng)分析 1. 質(zhì)點的動能定理 取質(zhì)點運動微分方程的矢量形式 ddm t ?v F在方程兩邊點乘 dr， 得 d dddm t ? ? ?v r F r因 dr＝ v dt， 于是上式可寫成 ddm ? ? ?v v F r或 21d( ) δ2 m v W? 動能定理 質(zhì)點動能的增量等于作用在質(zhì)點上的力的元功 。 v A B ? C 解： I 234AT M v?222111 2 2 3IlI m l m m l??? ? ?????2222112 6 s in 3A B I A BmvT I m v??? ? ?? ? 21 9412T M m v??總例 2 均質(zhì)細桿長為 l，質(zhì)量為 m，上端 B靠在光滑的墻上，下端 A用鉸與質(zhì)量為 M半徑為 R且放在粗糙地面上的圓柱中心相連，在圖示位置圓柱作純滾動，中心速度為 v，桿與水平線的夾角 ?=45o，求該瞬時系統(tǒng)的動能。 分析：滑塊在任一瞬時受力如圖 。 δ dW ??Fr 21dMMW ??? Fr稱為 矢徑法表示的功的計算公式 。 在介紹動能定理之前 ， 先介紹有關(guān)的物理量：功與動能 。功率方程 在國際單位制中 ， 功的單位為： J (焦耳 ), 1J＝ 1 N 建立如圖坐標(biāo) ， 則 0 , 0 ,x y zF F F m g? ? ? ?代入功的解析表達式得 211 2 1 2( ) d ( )zzW m g z m g z z? ? ? ?? 常見力的功 力的功 M