【正文】 的功： 由題意： 1 5 c m ??2 5 20 25 c md ? ? ?因此 F在整個過程中所作的功為 2 2 2 21211( ) 0 .5 ( 5 2 5 ) 1 5 0 N c m22FWk dd? ? ? ? ? ? ?因此所有力的功為 200 150 50 N c mTFW W W? ? ? ? ? ?T 15 cm B A 20 cm 2 0 2 0220020c o s d 2 0 d 2 0 0 N c m( 2 0 ) 1 5TxW T x xxa ?? ? ? ?????1. 質點的動能 設質點的質量為 m， 速度為 v， 則質點的動能為 221 mvT ?動能是標量 ， 在國際單位制中動能的單位是焦耳 (J)。 力 F的元功為 ttδ d d d dzW F s F R Mjj? ? ? ?F r =Ft F r Fb Fn O z O1 A ? 力 F在剛體從角 j1轉到 j2所作的功為 2112 dzWMjj j? ?Mz可視為作用在剛體上的力偶 a 例 1 如圖所示滑塊重 P＝ N， 彈簧剛度系數 k＝ N/cm， 滑塊在 A位置時彈簧對滑塊的拉力為 N，滑塊在 20 N的繩子拉力作用下沿光滑水平槽從位置 A運動到位置 B， 求作用于滑塊上所有力的功的和 。 建立如圖坐標 ， 則 0 , 0 ,x y zF F F m g? ? ? ?代入功的解析表達式得 211 2 1 2( ) d ( )zzW m g z m g z z? ? ? ?? 常見力的功 力的功 M1 M2 M mg z1 z2 O x y z 對于質點系 ， 其重力所作的功為 1 2 1 2121212()()()()i i ii i i iCCCCW m g z zm z m z gMz Mz gMg z z? ? ?? ? ? ?????由此可見 ， 重力的功僅與重心的始末位置有關 ， 而與重心走過的路徑無關 。 M1 M2 ? ds M dr F 力在全路程上作的功等于元功之和 0 c o s dsW F s?? ?上式稱為 自然法表示的功的計算公式 。 在國際單位制中 ， 功的單位為： J (焦耳 ), 1J＝ 1 N同時 ， 它還可以建立機械運動與其它形式運動之間的聯(lián)系 。功率方程 機械效率 前兩章是以動量和沖量為基礎 ， 建立了質點或質點系運動量的變化與外力及外力作用時間之間的關系 。 在介紹動能定理之前 ， 先介紹有關的物理量：功與動能 。m 。 δ dW ??Fr 21dMMW ??? Fr稱為 矢徑法表示的功的計算公式 。 常見力的功 2) 彈力的功 物體受到彈性力的作用 , 作用點的軌跡為圖示曲線 A1A2, 在彈簧的彈性極限內 , 彈性力的大小與其變形量 d 成正比 。 分析：滑塊在任一瞬時受力如圖 。 2. 質點系的動能 質點系內各質點動能的算術和稱為質點系的動能 ， 即 221ii vmT ?? 質點和質點系的動能 剛體是工程實際中常見的質點系 ， 當剛體的運動形式不同時 ， 其動能的表達式也不同 。 v A B ? C 解： I 234AT M v?222111 2 2 3IlI m l m m l??? ? ?????2222112 6 s in 3A B I A BmvT I m v??? ? ?? ? 21 9412T M m v??總例 2 均質細桿長為 l，質量為 m，上端 B靠在光滑的墻上，下端 A用鉸與質量為 M半徑為 R且放在粗糙地面上的圓柱中心相連，在圖示位置圓柱作純滾動，中心速度為 v，桿與水平線的夾角 ?=45o，求該瞬時系統(tǒng)的動能。 解：在橢圓規(guī)系統(tǒng)中滑塊 A和 B作平動 ， 曲柄OC作定軸轉動 ， 規(guī)尺 AB作平面運動 。 由余弦定理 2 2 222 11222 2 2142 c os( 18 0 )( ) 2 c osc osC A CA A CAAAAAv v v v vv l v lv l l vj? ? j? ? j? ? ? ?? ? ?? ? ?則桿的動能 2211222 2 2 2 21 1 1 12 4 2 122 2 21123( c os ) ( )( c os )CCAAAAT m v Jm v l l v m lm v l l v?? ? j ?? ? j??? ? ? ?? ? ?vA ? j B A l vA vCA vC vA ? 運動分析 系統(tǒng)分析 1. 質點的動能定理 取質點運動微分方程的矢量形式 ddm t ?v F在方程兩邊點乘 dr， 得 d dddm t ? ? ?v r F r因 dr＝ v dt， 于是上式可寫成 ddm ? ? ?v v F r或 21d( ) δ2 m v W? 動能定理 質點動能的增量等于作用在質點上的力的元功 。 對上式積分 ， 得 1212 WTT ??? 質點系在某一運動過程中 ， 起點和終點的動能的改變量 ， 等于作用于質點系的全部力在這一過程中所作的功之和 。 ? 滑動摩擦力作負功 。 初始鏈條靜止 ， 在自重的作用下運動 。 j C FN mg vC ? F 解：取系統(tǒng)為研究對象，假設圓盤中心向下產生位移 s時速度達到 vc。系統(tǒng)從靜止開始運動，求圓柱中心 C經過路程 S 時的速度。 設連桿長均為 l， 質量均為 m， 均質圓盤質量為 m1， 且作純滾動 。 Ⅰ Ⅱ M1 M2 解：取系統(tǒng)為研究對象 2222112121210?? JJTT???21121221jj?? ???RRi由運動學可知： 21212212 )(21 ?iJJT ??主動力的功： 11221221112 )( jjj iMMMMW ????由動能定理得： 112212121221 )(0)(21 j?iMMiJJ ????將上式對時間求導，并注意 1111 , ?ja? ??dtddtd解得： )()( 2122112211 iJJiMM ???aⅠ Ⅱ M1 M2 例 11 兩根完全相同的均質細桿 AB和 BC用鉸鏈 B連接在一起 ， 而桿 BC則用鉸鏈 C連接在 C點上 ， 每根桿重 P＝ 10 N， 長 l＝ 1 m， 一彈簧常數 k＝ 120 N/m的彈簧連接在兩桿的中心 ， 如圖所示 。 A ? C B O D vA vD vB F ?BC ?AB 解： AB桿作平面運動 ， BC桿作定軸轉動 ， 找出 AB桿的速度瞬心在 O點 ， 由幾何關系知 OB＝ BC＝ l， 因此由 B A B B Cv O B B C??? ? ? ?得 AB BC? ? ???同時還可以得出結論 ， 當 θ＝ 0186。 重物 B與水平面間的動摩擦系數為 f 39。在圖示位置 ， 系統(tǒng)靜止 ， 彈簧的伸長為 20 cm。 動量定理和動量矩定理是矢量形式 ， 因質點系的內力不能改變系統(tǒng)的動量和動量矩 ， 應用時只需考慮質點系所受的外力；動能定理是標量形式 ， 在很多問題中約束反力不作功 ， 因而應用它分析系統(tǒng)速度變化是比較方便的 。 (2 )已知主動力求質點系的運動用動能定理，已知質點系的運動求約束反力用動量定理或質心運動定理或動量矩定理。若質點系所受外力對某固定軸的矩的代數和為零，則可用對該軸動量矩守恒定律求解。也可用功率方程、動量定理或動量矩定理求解。 有時一個問題 ， 幾個定理都可以求解 ， 此時可選擇最合適的定理 ， 用最簡單的方法求解 。 解：本題已知主動力求運動和約束反力 。 滑輪的質量為 m， 并可看成是半徑為 r的均質圓盤 。分別由質心運動定理和定軸轉動的微分方程 ， 得 21 ( ) ( 3 )2 ABm r F F