【正文】 ) ( 1 2 )4 M m v M f m h g?? ? ? ?解得 ? ?203 ( 7 1 0 )4 ( 1 2 )v M mhg M f m?????速度增大一倍時(shí)的動(dòng)能為 220( 7 10 )T M m v??D A B C mg Mg Mg mg FN FS FOy FOx 例 13 圖示機(jī)構(gòu) ， 均質(zhì)桿質(zhì)量為 m＝ 10 kg， 長(zhǎng)度為 l＝ 60 cm， 兩端與不計(jì)重量的滑塊鉸接 ， 滑塊可在光滑槽內(nèi)滑動(dòng) ， 彈簧的彈性系數(shù)為 k＝ 360 N/m。時(shí)AB桿的角速度 。 求連桿 OA運(yùn)動(dòng)到水平位置時(shí)的角速度 。求純滾動(dòng)時(shí)盤(pán)心的加速度。 ? 光滑鉸鏈 (中間鉸鏈 )、 剛性二力桿及不可伸長(zhǎng)的細(xì)繩作為系統(tǒng)內(nèi)的約束時(shí) ， 約束力作功之和等于零 。 解： AB桿作平面運(yùn)動(dòng) ， 其質(zhì)心 C的速度為 C A C A??v v v 速度合成矢量圖如圖 。 質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能 ? C P 動(dòng)能的瞬時(shí)性 C vC 221122CCT m v I ???21 ,2CCI m R v R ???243CmvT ?牢記均質(zhì)圓盤(pán)在地面上作純滾動(dòng)時(shí)的動(dòng)能 : 均質(zhì)圓環(huán)在地面上作純滾動(dòng)時(shí)的動(dòng)能 ?見(jiàn) P292。 力 F的元功為 ttδ d d d dzW F s F R Mjj? ? ? ?F r =Ft F r Fb Fn O z O1 A ? 力 F在剛體從角 j1轉(zhuǎn)到 j2所作的功為 2112 dzWMjj j? ?Mz可視為作用在剛體上的力偶 a 例 1 如圖所示滑塊重 P＝ N， 彈簧剛度系數(shù) k＝ N/cm， 滑塊在 A位置時(shí)彈簧對(duì)滑塊的拉力為 N，滑塊在 20 N的繩子拉力作用下沿光滑水平槽從位置 A運(yùn)動(dòng)到位置 B， 求作用于滑塊上所有力的功的和 。 M1 M2 ? ds M dr F 力在全路程上作的功等于元功之和 0 c o s dsW F s?? ?上式稱(chēng)為 自然法表示的功的計(jì)算公式 。同時(shí) ， 它還可以建立機(jī)械運(yùn)動(dòng)與其它形式運(yùn)動(dòng)之間的聯(lián)系 。機(jī)械效率 前兩章是以動(dòng)量和沖量為基礎(chǔ) ， 建立了質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動(dòng)量的變化與外力及外力作用時(shí)間之間的關(guān)系 。m 。 常見(jiàn)力的功 2) 彈力的功 物體受到彈性力的作用 , 作用點(diǎn)的軌跡為圖示曲線 A1A2, 在彈簧的彈性極限內(nèi) , 彈性力的大小與其變形量 d 成正比 。 2. 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能 質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的算術(shù)和稱(chēng)為質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能 ， 即 221ii vmT ?? 質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能 剛體是工程實(shí)際中常見(jiàn)的質(zhì)點(diǎn)系 ， 當(dāng)剛體的運(yùn)動(dòng)形式不同時(shí) ， 其動(dòng)能的表達(dá)式也不同 。 解：在橢圓規(guī)系統(tǒng)中滑塊 A和 B作平動(dòng) ， 曲柄OC作定軸轉(zhuǎn)動(dòng) ， 規(guī)尺 AB作平面運(yùn)動(dòng) 。 對(duì)上式積分 ， 得 1212 WTT ??? 質(zhì)點(diǎn)系在某一運(yùn)動(dòng)過(guò)程中 ， 起點(diǎn)和終點(diǎn)的動(dòng)能的改變量 ， 等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的全部力在這一過(guò)程中所作的功之和 。 初始鏈條靜止 ， 在自重的作用下運(yùn)動(dòng) 。系統(tǒng)從靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，求圓柱中心 C經(jīng)過(guò)路程 S 時(shí)的速度。 Ⅰ Ⅱ M1 M2 解：取系統(tǒng)為研究對(duì)象 2222112121210?? JJTT???21121221jj?? ???RRi由運(yùn)動(dòng)學(xué)可知： 21212212 )(21 ?iJJT ??主動(dòng)力的功： 11221221112 )( jjj iMMMMW ????由動(dòng)能定理得： 112212121221 )(0)(21 j?iMMiJJ ????將上式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，并注意 1111 , ?ja? ??dtddtd解得： )()( 2122112211 iJJiMM ???aⅠ Ⅱ M1 M2 例 11 兩根完全相同的均質(zhì)細(xì)桿 AB和 BC用鉸鏈 B連接在一起 ， 而桿 BC則用鉸鏈 C連接在 C點(diǎn)上 ， 每根桿重 P＝ 10 N， 長(zhǎng) l＝ 1 m， 一彈簧常數(shù) k＝ 120 N/m的彈簧連接在兩桿的中心 ， 如圖所示 。 重物 B與水平面間的動(dòng)摩擦系數(shù)為 f 39。 動(dòng)量定理和動(dòng)量矩定理是矢量形式 ， 因質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力不能改變系統(tǒng)的動(dòng)量和動(dòng)量矩 ， 應(yīng)用時(shí)只需考慮質(zhì)點(diǎn)系所受的外力；動(dòng)能定理是標(biāo)量形式 ， 在很多問(wèn)題中約束反力不作功 ， 因而應(yīng)用它分析系統(tǒng)速度變化是比較方便的 。若質(zhì)點(diǎn)系所受外力對(duì)某固定軸的矩的代數(shù)和為零，則可用對(duì)該軸動(dòng)量矩守恒定律求解。 有時(shí)一個(gè)問(wèn)題 ， 幾個(gè)定理都可以求解 ， 此時(shí)可選擇最合適的定理 ， 用最簡(jiǎn)單的方法求解 。 滑輪的質(zhì)量為 m， 并可看成是半徑為 r的均質(zhì)圓盤(pán) 。 系統(tǒng)動(dòng)能為 2 2 2 2112 22121 1 1 ( ) ( )2 2 21 ( 2 2 )4vT m v m v m rrm m m v? ? ?? ? ?所有力的元功的代數(shù)和為 1 2 1 2δ ( ) d ( ) diW m m g s m m gv t? ? ? ? ?1 2 1 21 ( 2 2 ) d ( ) d2 m m m v v m m g v t? ? ? ?于是可得 B A m1g v m2g v FOx FOy O mg ? 由微分形式的動(dòng)能定理得 12122 ( )2 ( )mmagm m m????121d ( 2 2 ) d2T m m m v v? ? ? 1 2 1 2( ) ( )Cy O ym m m a F m m m g? ? ? ? ? ?由質(zhì)心坐標(biāo)公式 1212Cymmaam m m?????于是可得 21212122 ( )()2 ( )OymmF m m m g gm m m?? ? ? ???B A m1g v m2g v FOx FOy mg ? 由 得 ,Cx x Cy ym a F m a F? ? ? ?1212ΣΣi i A B OCim y m y m y m yym m m m?????? 解三：用動(dòng)量矩定理和質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理 (或動(dòng)量定理 )。 1 0T ?2 2 221324OT J m R????132 2 222OJ m R m R m R? ? ? ?2 2 23 2 0 .3 4 3 14 m R M m g R k R??? ? ?解得 )(3 4 22 kRm gRMmR ??? ??由 2 1 1 2T T W? ? ?得 y C A a x M mg F FOx FOy O ? 45176。 如斜面的傾角為 ?， 求三棱柱體的加速度 。機(jī)械效率 1. 功 率 力的功率 － 力所作之功對(duì)時(shí)間的變化率 vFttWP ?d ?????? vFrF ddd力的功率等于切向力與其作用點(diǎn)速度的標(biāo)積。 135 勢(shì)力場(chǎng) 2211 VTVT ＋＝＋常數(shù)??? EVT。機(jī)械能守恒定律 1. 勢(shì) 力 場(chǎng) 如果一物體在某空間任一位置都受到一個(gè)大小和方向完全由所在位置確定的力作用，則這部分空間稱(chēng)為 —— 力場(chǎng)。 2. 功 率 方 程 質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理的微分形式 ?iiWT dd ＝等式兩邊同除以 dt ???iiii PtWtTdddd ＝ 質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)等于作用在系統(tǒng)上所有有功力的功率之代數(shù)和。 設(shè)某瞬時(shí)三棱柱的速度是 v， 圓柱體的角速度是 ?。 y x an C at C aCx aCy 由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)微分方程得 例 17 均質(zhì)細(xì)桿長(zhǎng)為 l， 質(zhì)量為 m， 靜止直立于光滑水平面上 。 系統(tǒng)對(duì)定軸的動(dòng)量矩為 212121()21 ( 2 2 )2OL m v r m v r mrm m m v r?? ? ?? ? ?1 2 1 2d1 ( 2 2 ) ( )2 dvm m m r m m g rt? ? ? ?然后按解二的方法即可求得軸承 O的約束反力 。 解一：取單個(gè)物體為研究對(duì)象 。