【正文】 ) ( 1 2 )4 M m v M f m h g?? ? ? ?解得 ? ?203 ( 7 1 0 )4 ( 1 2 )v M mhg M f m?????速度增大一倍時的動能為 220( 7 10 )T M m v??D A B C mg Mg Mg mg FN FS FOy FOx 例 13 圖示機構(gòu) ， 均質(zhì)桿質(zhì)量為 m＝ 10 kg， 長度為 l＝ 60 cm， 兩端與不計重量的滑塊鉸接 ， 滑塊可在光滑槽內(nèi)滑動 ， 彈簧的彈性系數(shù)為 k＝ 360 N/m。時AB桿的角速度 。 求連桿 OA運動到水平位置時的角速度 。求純滾動時盤心的加速度。 ? 光滑鉸鏈 (中間鉸鏈 )、 剛性二力桿及不可伸長的細繩作為系統(tǒng)內(nèi)的約束時 ， 約束力作功之和等于零 。 解： AB桿作平面運動 ， 其質(zhì)心 C的速度為 C A C A??v v v 速度合成矢量圖如圖 。 質(zhì)點和質(zhì)點系的動能 ? C P 動能的瞬時性 C vC 221122CCT m v I ???21 ,2CCI m R v R ???243CmvT ?牢記均質(zhì)圓盤在地面上作純滾動時的動能 : 均質(zhì)圓環(huán)在地面上作純滾動時的動能 ?見 P292。 力 F的元功為 ttδ d d d dzW F s F R Mjj? ? ? ?F r =Ft F r Fb Fn O z O1 A ? 力 F在剛體從角 j1轉(zhuǎn)到 j2所作的功為 2112 dzWMjj j? ?Mz可視為作用在剛體上的力偶 a 例 1 如圖所示滑塊重 P＝ N， 彈簧剛度系數(shù) k＝ N/cm， 滑塊在 A位置時彈簧對滑塊的拉力為 N，滑塊在 20 N的繩子拉力作用下沿光滑水平槽從位置 A運動到位置 B， 求作用于滑塊上所有力的功的和 。 M1 M2 ? ds M dr F 力在全路程上作的功等于元功之和 0 c o s dsW F s?? ?上式稱為 自然法表示的功的計算公式 。同時 ， 它還可以建立機械運動與其它形式運動之間的聯(lián)系 。機械效率 前兩章是以動量和沖量為基礎(chǔ) ， 建立了質(zhì)點或質(zhì)點系運動量的變化與外力及外力作用時間之間的關(guān)系 。m 。 常見力的功 2) 彈力的功 物體受到彈性力的作用 , 作用點的軌跡為圖示曲線 A1A2, 在彈簧的彈性極限內(nèi) , 彈性力的大小與其變形量 d 成正比 。 2. 質(zhì)點系的動能 質(zhì)點系內(nèi)各質(zhì)點動能的算術(shù)和稱為質(zhì)點系的動能 ， 即 221ii vmT ?? 質(zhì)點和質(zhì)點系的動能 剛體是工程實際中常見的質(zhì)點系 ， 當剛體的運動形式不同時 ， 其動能的表達式也不同 。 解：在橢圓規(guī)系統(tǒng)中滑塊 A和 B作平動 ， 曲柄OC作定軸轉(zhuǎn)動 ， 規(guī)尺 AB作平面運動 。 對上式積分 ， 得 1212 WTT ??? 質(zhì)點系在某一運動過程中 ， 起點和終點的動能的改變量 ， 等于作用于質(zhì)點系的全部力在這一過程中所作的功之和 。 初始鏈條靜止 ， 在自重的作用下運動 。系統(tǒng)從靜止開始運動，求圓柱中心 C經(jīng)過路程 S 時的速度。 Ⅰ Ⅱ M1 M2 解：取系統(tǒng)為研究對象 2222112121210?? JJTT???21121221jj?? ???RRi由運動學(xué)可知： 21212212 )(21 ?iJJT ??主動力的功： 11221221112 )( jjj iMMMMW ????由動能定理得： 112212121221 )(0)(21 j?iMMiJJ ????將上式對時間求導(dǎo)，并注意 1111 , ?ja? ??dtddtd解得： )()( 2122112211 iJJiMM ???aⅠ Ⅱ M1 M2 例 11 兩根完全相同的均質(zhì)細桿 AB和 BC用鉸鏈 B連接在一起 ， 而桿 BC則用鉸鏈 C連接在 C點上 ， 每根桿重 P＝ 10 N， 長 l＝ 1 m， 一彈簧常數(shù) k＝ 120 N/m的彈簧連接在兩桿的中心 ， 如圖所示 。 重物 B與水平面間的動摩擦系數(shù)為 f 39。 動量定理和動量矩定理是矢量形式 ， 因質(zhì)點系的內(nèi)力不能改變系統(tǒng)的動量和動量矩 ， 應(yīng)用時只需考慮質(zhì)點系所受的外力；動能定理是標量形式 ， 在很多問題中約束反力不作功 ， 因而應(yīng)用它分析系統(tǒng)速度變化是比較方便的 。若質(zhì)點系所受外力對某固定軸的矩的代數(shù)和為零，則可用對該軸動量矩守恒定律求解。 有時一個問題 ， 幾個定理都可以求解 ， 此時可選擇最合適的定理 ， 用最簡單的方法求解 。 滑輪的質(zhì)量為 m， 并可看成是半徑為 r的均質(zhì)圓盤 。 系統(tǒng)動能為 2 2 2 2112 22121 1 1 ( ) ( )2 2 21 ( 2 2 )4vT m v m v m rrm m m v? ? ?? ? ?所有力的元功的代數(shù)和為 1 2 1 2δ ( ) d ( ) diW m m g s m m gv t? ? ? ? ?1 2 1 21 ( 2 2 ) d ( ) d2 m m m v v m m g v t? ? ? ?于是可得 B A m1g v m2g v FOx FOy O mg ? 由微分形式的動能定理得 12122 ( )2 ( )mmagm m m????121d ( 2 2 ) d2T m m m v v? ? ? 1 2 1 2( ) ( )Cy O ym m m a F m m m g? ? ? ? ? ?由質(zhì)心坐標公式 1212Cymmaam m m?????于是可得 21212122 ( )()2 ( )OymmF m m m g gm m m?? ? ? ???B A m1g v m2g v FOx FOy mg ? 由 得 ,Cx x Cy ym a F m a F? ? ? ?1212ΣΣi i A B OCim y m y m y m yym m m m?????? 解三：用動量矩定理和質(zhì)心運動定理 (或動量定理 )。 1 0T ?2 2 221324OT J m R????132 2 222OJ m R m R m R? ? ? ?2 2 23 2 0 .3 4 3 14 m R M m g R k R??? ? ?解得 )(3 4 22 kRm gRMmR ??? ??由 2 1 1 2T T W? ? ?得 y C A a x M mg F FOx FOy O ? 45176。 如斜面的傾角為 ?， 求三棱柱體的加速度 。機械效率 1. 功 率 力的功率 － 力所作之功對時間的變化率 vFttWP ?d ?????? vFrF ddd力的功率等于切向力與其作用點速度的標積。 135 勢力場 2211 VTVT ＋＝＋常數(shù)??? EVT。機械能守恒定律 1. 勢 力 場 如果一物體在某空間任一位置都受到一個大小和方向完全由所在位置確定的力作用，則這部分空間稱為 —— 力場。 2. 功 率 方 程 質(zhì)點系動能定理的微分形式 ?iiWT dd ＝等式兩邊同除以 dt ???iiii PtWtTdddd ＝ 質(zhì)點系動能對時間的一階導(dǎo)數(shù)等于作用在系統(tǒng)上所有有功力的功率之代數(shù)和。 設(shè)某瞬時三棱柱的速度是 v， 圓柱體的角速度是 ?。 y x an C at C aCx aCy 由質(zhì)心運動微分方程得 例 17 均質(zhì)細桿長為 l， 質(zhì)量為 m， 靜止直立于光滑水平面上 。 系統(tǒng)對定軸的動量矩為 212121()21 ( 2 2 )2OL m v r m v r mrm m m v r?? ? ?? ? ?1 2 1 2d1 ( 2 2 ) ( )2 dvm m m r m m g rt? ? ? ?然后按解二的方法即可求得軸承 O的約束反力 。 解一：取單個物體為研究對象 。