【正文】 勢能 ? A C B O vr ? D a v ve vD vOD vD a 解：整體系統(tǒng)在水平方向上受力為零 ， 所以系統(tǒng)的動量在水平方向上守恒 。 解：以整個系統(tǒng)為研究對象 ， 受力如圖 ， 運動分析如圖 。 對于復(fù)雜的動力學(xué)問題 ， 不外乎是上述幾種情況的組合 ， 可以根據(jù)各定理的特點聯(lián)合應(yīng)用 。 但應(yīng)注意 ， 在有些情況下質(zhì)點系的內(nèi)力也要作功 ， 應(yīng)用時要具體分析 。 假設(shè)兩桿與光滑地面的夾角 ? ＝ 60186。 求當(dāng)末端滑離桌面時 ， 鏈條的速度 。 首先對運動進行分析 ， O1是 AB的速度瞬心 ， 因 : 1 2 c osA A Bv O A a a? j ? ?? ? ? ? ?222122A A AmaT m v ???A B O C j ? vC vB vA ?AB 1 2 sin 3B A Bv O B a a? j ? ?? ? ? ? ?2221322B B BmaT m v ???1c ABv O C OC??? ? ? ?AB????運動分析 系統(tǒng)分析 A B vA vC O C j O1 ? vB ?AB 對于曲柄 OC： 2213O O CI m a m a??規(guī)尺作平面運動，用繞速度瞬心轉(zhuǎn)動的公式求動能： 2112 2 21812 32 ( 2 ) 2O C ABI I m O Cm a m a ma? ? ?? ? ? ? ? ?2 2 2 2 2 2 2 2221 3 1 42 2 6 372A B OC ABT T T T Tma ma ma mama? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ??2 2 21126O C OT I m a????2 2 211423A B O A BT I m a????系統(tǒng)的總動能為： B j A 例 5 滑塊 A以速度 vA在滑道內(nèi)滑動 ， 其上鉸接一質(zhì)量為 m， 長為 l的均質(zhì)桿 AB， 桿以角速度 ? 繞 A轉(zhuǎn)動 ， 如圖 。 設(shè)彈簧原長為 l0 , 則彈性力為 00()k r l? ? ?Fr22111 2 0 0d ( ) dAAW k r l? ? ? ? ???F r = r rA1 A2 r2 r1 l0 O r0 r A d F A0 dr 常見力的功 于是 21221 2 0 1 0 2 01( ) d ( ) ( )2rrW k r l r k r l r l??? ? ? ? ? ? ????或 )(21 222112 dd ?? kW因為 2011d d d ( ) d d22 rrr r r? ? ? ? ? ? ?rr r r r r彈性力作的功只與彈簧在初始和末了位置的變形量有關(guān) ， 與力的作用點 A的軌跡形狀無關(guān) 。本章以功和動能為基礎(chǔ) ， 建立質(zhì)點或質(zhì)點系動能的改變和力的功之間的關(guān)系 ， 即動能定理 。力 F在微小弧段上所作的功稱為力的元功 , 記為 dW, 于是有 δ c os dW F s??? 力的功 M39。?＝ vC ,于是得 222121 ?CC JmvT ?? 平面運動剛體的動能等于隨質(zhì)心平動的動能與繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動的動能的和 。 ? 光滑鉸支座和固定端約束 ， 其約束力也不作功 。系統(tǒng)在運動過程中所有力所作的功為 sgmRsMW ???? as i n2112系統(tǒng)在初始及終了兩狀態(tài)的動能分別為 01 ?T 2 2 22 1 1 2 21 1 12 2 2CCT I m v I??? ? ?a FN FS m2g m1g FOx FOy M O C 其中 21 1 1I m R? 22212CI m R?11 RvC??22 RvC??于是 )32(4 2122 mmvT C ??由 1212 WTT ???得 sgmRsMmmv C ????? as i n0)32(4 21212解之得 )32()s i n(221112mmRsgRmMvC ??? aa FN FS m2g m1g FOx FOy M O C 例 9 在對稱連桿的 A點 ， 作用一鉛垂方向的常力 F， 開始時系統(tǒng)靜止 ， 如圖 。 2012AT m v?D A B 2v0 C v0 2 2 200211( ) ( )22CC CvT M r M vr??22001 ( 2 ) 22BT m v m v??2107 1 04A B C DMmT T T T T v?? ? ? ? ?2 2 2 20001 1 1 3( ) ( )2 2 2 4DD DvT M v M r M vr? ? ? 系統(tǒng)受力如圖所示 ， 設(shè)重物 A下降 h高度時 ， 其速度增大一倍 。若作用在質(zhì)點系上的非有勢力作功，則用動能定理求解。 解一：取單個物體為研究對象 。 y x an C at C aCx aCy 由質(zhì)心運動微分方程得 例 17 均質(zhì)細桿長為 l， 質(zhì)量為 m， 靜止直立于光滑水平面上 。 2. 功 率 方 程 質(zhì)點系動能定理的微分形式 ?iiWT dd ＝等式兩邊同除以 dt ???iiii PtWtTdddd ＝ 質(zhì)點系動能對時間的一階導(dǎo)數(shù)等于作用在系統(tǒng)上所有有功力的功率之代數(shù)和。 2211 VTVT ＋＝＋常數(shù)??? EVT。機械效率 1. 功 率 力的功率 － 力所作之功對時間的變化率 vFttWP ?d ?????? vFrF ddd力的功率等于切向力與其作用點速度的標積。 1 0T ?2 2 221324OT J m R????132 2 222OJ m R m R m R? ? ? ?2 2 23 2 0 .3 4 3 14 m R M m g R k R??? ? ?解得 )(3 4 22 kRm gRMmR ??? ??由 2 1 1 2T T W? ? ?得 y C A a x M mg F FOx FOy O ? 45176。 滑輪的質(zhì)量為 m， 并可看成是半徑為 r的均質(zhì)圓盤 。若質(zhì)點系所受外力對某固定軸的矩的代數(shù)和為零，則可用對該軸動量矩守恒定律求解。 重物 B與水平面間的動摩擦系數(shù)為 f 39。系統(tǒng)從靜止開始運動，求圓柱中心 C經(jīng)過路程 S 時的速度。 對上式積分 ， 得 1212 WTT ??? 質(zhì)點系在某一運動過程中 ， 起點和終點的動能的改變量 ， 等于作用于質(zhì)點系的全部力在這一過程中所作的功之和 。 2. 質(zhì)點系的動能 質(zhì)點系內(nèi)各質(zhì)點動能的算術(shù)和稱為質(zhì)點系的動能 ， 即 221ii vmT ?? 質(zhì)點和質(zhì)點系的動能 剛體是工程實際中常見的質(zhì)點系 ， 當(dāng)剛體的運動形式不同時 ， 其動能的表達式也不同 。m 。同時 ， 它還可以建立機械運動與其它形式運動之間的聯(lián)系 。 力 F的元功為 ttδ d d d dzW F s F R Mjj? ? ? ?F r =Ft F r Fb Fn O z O1 A ? 力 F在剛體從角 j1轉(zhuǎn)到 j2所作的功為 2112 dzWMjj j? ?Mz可視為作用在剛體上的力偶 a 例 1 如圖所示滑塊重 P＝ N， 彈簧剛度系數(shù) k＝ N/cm， 滑塊在 A位置時彈簧對滑塊的拉力為 N，滑塊在 20 N的繩子拉力作用下沿光滑水平槽從位置 A運動到位置 B， 求作用于滑塊上所有力的功的和 。 解： AB桿作平面運動 ， 其質(zhì)心 C的速度為 C A C A??v v v 速度合成矢量圖如圖 。求純滾動時盤心的加速度。時AB桿的角速度 。 下面就只用一個定理就能求解的題目，如何選擇定理，說明如下： (1 )與路程有關(guān)的問題用動能定理，與時間有關(guān)的問題用動量定理或動量矩定理。 普遍定理綜合應(yīng)用 例 14 如圖 ， 均質(zhì)桿質(zhì)量為 m， 長為 l， 可繞距端點 l/3的轉(zhuǎn)軸 O轉(zhuǎn)動 ， 求桿由水平位置靜止開始轉(zhuǎn)動到任一位置時的角速度 、 角加速度以及軸承 O的約束反力 。 B A m1g a m2