【正文】 點系所受外力的主矢為零或在某軸上的投影為零，則可用動量守恒定律求解。若質點系僅受有勢力的作用或非有勢力不作功，則用機械能守恒定律求解。 (4) 如果問題是要求加速度或角加速度，可用動能定理求出速度 (或角速度 ) ，然后再對時間求導，求出加速度 (或角加速度 ) 。在用動能定理或功率方程求解時，不作功的未知力在方程中不出現，給問題的求解帶來很大的方便。 對于剛體的平面運動問題 ， 可用平面運動微分方程求解 。 對于復雜的動力學問題 ， 不外乎是上述幾種情況的組合 ， 可以根據各定理的特點聯合應用 。 普遍定理綜合應用 例 14 如圖 ， 均質桿質量為 m， 長為 l， 可繞距端點 l/3的轉軸 O轉動 ， 求桿由水平位置靜止開始轉動到任一位置時的角速度 、 角加速度以及軸承 O的約束反力 。 01 ?T桿作定軸轉動 ， 轉動到任一位置時的動能為 222222 181)32(1212121 ?? mlllmmlJTO ??????? ????在此過程中所有的力所作的功為 js i n6112 m glm ghW ???j C O mg 解法 1：用動能定理求運動 以桿為研究對象 。 t n 23c o s s in ( 1 3 s in )4C y C Cga a aj j j? ? ? ? ? ?t n 3s in c o s s in c o s4C x C Cga a aj j j j? ? ? ? ?質心加速度有切向和法向分量： at C an C t c o s4Cga O C aj? ? ?n2 s in2Cga O C ?j? ? ?將其向直角坐標軸上投影得： C O mg x y aCx aCy FOy FOx 23 ( 1 3 s in )4Oymg F m gj? ? ? ?3 s in c o s4 Oxmg Fjj??由質心運動定理 得： 解得： 3 si n 28OxmgF j??2( 1 9 sin )4OymgF j??,Cx x Cy ym a F m a F? ? ? ?B A 例 15 物塊 A和 B的質量分別為 m m2， 且 m1＞ m2 ，分別系在繩索的兩端 ， 繩跨過一定滑輪 ， 如圖 。 假設不計繩的質量和軸承摩擦 ， 繩與滑輪之間無相對滑動 ， 試求物塊 A的加速度和軸承 O的約束反力 。 分別以物塊 A、 B和滑輪為研究對象 ， 受力如圖 。B F39。 解：以整個系統(tǒng)為研究對象 ， 受力如圖 ， 運動分析如圖 。 解：以整個系統(tǒng)為研究對象 ， 受力如圖 ， 運動分析如圖 。 B A m1g a m2g a FOx FOy O mg e 由 得 d()d OOLMt ?? F12122 ( )dd 2 ( )mmvagt m m m????? 例 16 如圖所示 ， 均質圓盤可繞 O軸在鉛垂面內轉動 ， 圓盤的質量為 m， 半徑為 R。 試求圓盤到達最高位置時 ， 軸承O的約束反力 。 21222 0 ( 2 2 2 )22 kW M m gR R RM m gR k R????? ? ? ? ???? ? ?M O C A C A a y x M mg F FOx FOy O ? 45176。 再由定軸轉動微分方程得 232 ( 2 2 2 )22m R M k R R Ra ? ? ?解得 222 ( 0 . 5 8 5 9 )3M k RmRa??22 ( 0 .5 8 5 9 )3CxM k RaRmRa?? ? ? ?)(3 4 22 kRm gRMmRRa Cy ?????? ??c os 45C x O xma F F??sin 45Cy O ym a F m g F? ? ?代入加速度解得 2 0 . 1 9 5 33OxMF k RR? ? ?3 .6 6 7 1 .0 4 3 4 .1 8 9Oy MF m g k r R? ? ?y C A a x M mg F FOx FOy O ? 45176。 當桿受微小干擾而倒下時 ， 求桿剛剛到達地面時的角速度和地面約束力 。 桿運動到任一位置 (與水平方向夾角為 ? )時的角速度為 2c o sCCvvC P l? ???此時桿的動能為 2222 )c os311(212121CCC vmJmvT ?? ????初動能為零 ， 此過程只有重力作功 ， 由 )s i n1(2)c os3 11(21 22 ?? ??? lmgvm C當 ?＝ 0176。 質量為 m2的均質圓柱體 O由靜止沿斜面 AB向下滾動而不滑動 。 ? A C B O vr ? D a v ve vD vOD vD a 解：整體系統(tǒng)在水平方向上受力為零 ， 所以系統(tǒng)的動量在水平方向上守恒 。 求圓柱體的動量需要用 O點的絕對速度 ， 該速度可用兩種方法求得： ② 基點法：取圓柱體與三棱柱的接觸點 D為基點 ，分析圓柱體中心 O點的速度 ， 如圖 (b)所示 ,O D O D D O Dv v v r ?? ? ? ?v v v① 復合運動法：取圓柱體中心 O為動點 ， 動系與三棱柱固連 ， 則 O點的速度分析如圖 (a)所示 ,a e r e rv v v r ?? ? ? ?v v v(a) c osOxv v r ??? ? ?c osOxv v r ??? ? ?? x y a ar ae m2g FS FN O D 0 1 1 20 , ( c os )xxp p m v m v r ??? ? ? ? ? ?由動量守恒定理 : 1 0 1 2 ( c os ) 0xxp p m v m v r ??? ? ? ? ? ? ?兩邊對時間 t求導得 1 2 2( ) c os 0 ( * )m m a m r a?? ? ? ?欲求 a需先求出 a， 取圓柱體分析如圖 (c)所示 ， 由平面運動微分方程得 ()OOJMa ?? F 2212 Sm r F ra ?從中解出 2 c o s 2 sin3agr??a ??221 2 2s in 23 2 s inmgam m m??? ??求出系統(tǒng)動量的水平分量： 22( ) sinc os Smmra gFa? ????2 O x xm a F????x39。 代入 (*)式得 c o sc o sO x r ea a ara?a?????167。功率方程 ?jd MdtdMtWP ???? d 作用在轉動剛體上的力矩或力偶矩的功率等于 力矩或力偶矩與剛體轉動角速度的標積。 —— 功率方程 無用有用輸入 －－＝ PPPtTdd輸入P有用P無用P—— 輸入功率 —— 有用功率，輸出功率 —— 無用功率，損耗功率 3. 機 械 效 率 輸入功率有效功率??dtdTP ??有用有效功率n???? ???? ?21—— 系統(tǒng)的總效率 例 題 19 車床電動機的功率 P輸入＝ kW 。工件的直徑 d＝ 100 mm。 解：車床正常工作時，工件勻速旋轉，動能無變化 0dd ＝tT 無用輸入有用 －＝ PPPkW45 .＝輸入P kW62130 .% ??輸入無用 ＝ PP其中 kW783 .?無用輸入有用 －＝ PPP切削力 F 與工件在切削力作用點的速度 v 同向 30π2ndFFvP ????? vF＝有用 有用PdnF π60?切削力 F 與工件在切削力作用點的速度 v 同向 30π2ndFFvP ????? vF＝有用 有用PdnF π60?當 n = 42 r/min 時 60 .. ?????F當 n = 112 r/min 時 60 .. ?????F167。勢能 如果物體在某力場內運動，作用于物體的力所作的功只與力作用點的初始位置和終了位置有關，而與該點的軌跡形狀無關，這種力場稱為 —— 勢力場（保守力場）。 12 1W V V??3. 機械能守恒定律 ● 保守系統(tǒng) — 僅在有勢力作用下的系統(tǒng)。 ● 機械能守恒 — 系統(tǒng)僅在有勢力作用下運動時， 其機械能保持恒