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理論力學(xué)——動能定理-在線瀏覽

2025-03-05 10:43本頁面
  

【正文】 因此 F在整個過程中所作的功為 2 2 2 21211( ) 0 .5 ( 5 2 5 ) 1 5 0 N c m22FWk dd? ? ? ? ? ? ?因此所有力的功為 200 150 50 N c mTFW W W? ? ? ? ? ?T 15 cm B A 20 cm 2 0 2 0220020c o s d 2 0 d 2 0 0 N c m( 2 0 ) 1 5TxW T x xxa ?? ? ? ?????1. 質(zhì)點的動能 設(shè)質(zhì)點的質(zhì)量為 m, 速度為 v, 則質(zhì)點的動能為 221 mvT ?動能是標(biāo)量 , 在國際單位制中動能的單位是焦耳 (J)。 (1) 平動剛體的動能 質(zhì)點和質(zhì)點系的動能 222212121CiCii MvmvvmT ????? (2) 定軸轉(zhuǎn)動剛體的動能 2 2 22 2 211221122i i i ii i zT m v m rm r J???? ? ? ?? ? ? (3) 平面運動剛體的動能 212 PTJ ??因為 JP= JC + md 2 所以 2222 )(2121)(21 ??? ????? dmJmdJTCC因為 d 質(zhì)點和質(zhì)點系的動能 ? C P 動能的瞬時性 C vC 221122CCT m v I ???21 ,2CCI m R v R ???243CmvT ?牢記均質(zhì)圓盤在地面上作純滾動時的動能 : 均質(zhì)圓環(huán)在地面上作純滾動時的動能 ?見 P292。 A ABT T T??總I 為 AB桿的瞬心 ??? ?? s inlvv IA????運動分析 系統(tǒng)分析 a O r dr O1 ? P A B C 例 3 長為 l, 重為 P的均質(zhì)桿 OA由球鉸鏈O固定 , 并以等角速度 ? 繞鉛直線轉(zhuǎn)動 ,如圖所示 , 如桿與鉛直線的交角為 a,求桿的動能 。 。 首先對運動進行分析 , O1是 AB的速度瞬心 , 因 : 1 2 c osA A Bv O A a a? j ? ?? ? ? ? ?222122A A AmaT m v ???A B O C j ? vC vB vA ?AB 1 2 sin 3B A Bv O B a a? j ? ?? ? ? ? ?2221322B B BmaT m v ???1c ABv O C OC??? ? ? ?AB????運動分析 系統(tǒng)分析 A B vA vC O C j O1 ? vB ?AB 對于曲柄 OC: 2213O O CI m a m a??規(guī)尺作平面運動,用繞速度瞬心轉(zhuǎn)動的公式求動能: 2112 2 21812 32 ( 2 ) 2O C ABI I m O Cm a m a ma? ? ?? ? ? ? ? ?2 2 2 2 2 2 2 2221 3 1 42 2 6 372A B OC ABT T T T Tma ma ma mama? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ??2 2 21126O C OT I m a????2 2 211423A B O A BT I m a????系統(tǒng)的總動能為: B j A 例 5 滑塊 A以速度 vA在滑道內(nèi)滑動 , 其上鉸接一質(zhì)量為 m, 長為 l的均質(zhì)桿 AB, 桿以角速度 ? 繞 A轉(zhuǎn)動 , 如圖 。 解: AB桿作平面運動 , 其質(zhì)心 C的速度為 C A C A??v v v 速度合成矢量圖如圖 。 積分上式 , 得 212121d ( )2vvm v W??或 122122 2121 Wmvmv ??在質(zhì)點運動的某個過程中 , 質(zhì)點動能的改變量等于作用于質(zhì)點的力作的功 。 對質(zhì)點系中每個質(zhì)點都可以列出如上的方程 , 將n個方程相加 , 得 21d ( ) δ2 i i im v W? ? ? 動能定理 21d ( ) δ2 i i im v W??? ? ?????于是得 d δ iTW?? 質(zhì)點系動能的微分 , 等于作用在質(zhì)點系上所有力所作的元功之和 。 動能定理 動能定理 3. 理想約束及內(nèi)力作功 ? 對于光滑固定面和一端固定的繩索等約束 , 其約束力都垂直于力作用點的位移 , 約束力不作功 。 ? 光滑鉸鏈 (中間鉸鏈 )、 剛性二力桿及不可伸長的細繩作為系統(tǒng)內(nèi)的約束時 , 約束力作功之和等于零 。 ? 當(dāng)輪子在固定面上只滾不滑時 , 滑動摩擦力不作功 。 例 6 一長為 l, 質(zhì)量密度為 ρ 的鏈條放置在光滑的水平桌面上 , 有長為 b的一段懸掛下垂 , 如圖 。 求當(dāng)末端滑離桌面時 , 鏈條的速度 。求純滾動時盤心的加速度。 s 1 0T ?力的功: js in12 m g sW ?由動能定理得: js in043 2 m gsmv C ??22 43CmvT ?js in32 ga ?解得: 例 8 卷揚機如圖,鼓輪在常力偶 M的作用下將圓柱上拉。設(shè)斜坡的傾角為 α,圓柱只滾不滑。 解:以系統(tǒng)為研究對象,受力如圖。 求連桿 OA運動到水平位置時的角速度 。 解:分析系統(tǒng) , 初瞬時的動能為 01 ?T 設(shè)連桿 OA運動到水平位置時的角速度為 ?, 由于 OA= AB, 所以桿AB的角速度也為 ?, 且此時 B端為桿AB的速度瞬心 , 因此輪 B的角速度為零 , vB=0。求軸 Ⅰ 的角加速度。 假設(shè)兩桿與光滑地面的夾角 ? = 60186。時AB桿的角速度 。時 O點與A點重合 , 即此時 A為 AB桿的速度瞬心 ,所以 1 0T ?2 2 2 221 1 12 2 3A A B C B CPT J J lg? ? ?? ? ?主動力做功 ( 2 2 c os )FW F s F l l F l?? ? ? ?重力做功 132 s in22PW P l P l?? ? ?彈簧力做功 2 2 2 2121 1 1( ) [ 0 ( ) ]2 2 2 8ElW k k l k ldd? ? ? ? ? ? ?外力所做總功 2123128F P EW W W W F l P l k l? ? ? ? ? ??由動能定理的積分形式得: 2 2 21 3 13 2 8P l F l P l k lg ? ? ? ?3 1 1( ) / 3 . 2 8 r a d /s2 8 3WP W k l lg? ? ? ? ? 因為系統(tǒng)屬理想約束 , 所以約束反力不做功 , 做功的力有主動力 F, 重力 P和彈簧力 , 分別求得如下: 解:取系統(tǒng)分析 , 則運動初瞬時的動能為 例 12 如圖 , 重物 A和 B通過動滑輪 D和定滑輪而運動 。 設(shè)重物 A和 B的質(zhì)量均為 m, 滑輪 D和 C的質(zhì)量均為M, 且為均質(zhì)圓盤 。 繩索不能伸長 , 其質(zhì)量忽略不計 。 在此過程中 , 所有的力所作的功為 ? ?12 2( 1 2 )W m h M h f m g hM f m h g?? ? ? ? ??? ? ?由 1212 WTT ???得 ? ?203 ( 7 1 0 ) ( 1 2 )4 M m v M f m h g?? ? ? ?解得 ? ?203 ( 7 1 0 )4 ( 1 2 )v M mhg M f m?????速度增大一倍時的動能為 220( 7 10 )T M m v??D A B C mg Mg Mg mg FN FS FOy FOx 例 13 圖示機構(gòu) , 均質(zhì)桿質(zhì)量為 m= 10 kg, 長度為 l= 60 cm, 兩端與不計重量的滑塊鉸接 , 滑塊可在光滑槽內(nèi)滑動 , 彈簧的彈性系數(shù)為 k= 360 N/m。 然后無初速釋放 , 求當(dāng)桿到達鉛垂位置時的角速度 。 但每一定理又只反映了這種關(guān)系的一個方面 , 即每一定理只能求解質(zhì)點系動力學(xué)某一方面的問題 。 但應(yīng)注意 , 在有些情況下質(zhì)點系的內(nèi)力也要作功 , 應(yīng)用時要具體分析 。 下面就只用一個定理就能求解的題目,如何選擇定理,說明如下: (1 )與路程有關(guān)的問題用動能定理,與時間有關(guān)的問題用動量定理或動量矩定理。已知外力求質(zhì)點系質(zhì)心運動用質(zhì)心運動定理。若質(zhì)
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