高中數(shù)學(xué)函數(shù)經(jīng)典例題題詳解-資料下載頁
2025-01-15 09:39本頁面
【正文】 上為減函數(shù),所以 即當(dāng)時(shí), ……………………………12分當(dāng),與題意不合.所以,所求的k的取值范圍為: . ………………………14分 35.（本小題滿分14分）設(shè)關(guān)于x的方程2x2－ax－2=0的兩根為α、β（α＜β），函數(shù)． （Ⅰ）求f (α)f (β)的值；（Ⅱ）證明f (x)是[α，β]上的增函數(shù)；（Ⅲ）當(dāng)a為何值時(shí)，f (x)在區(qū)間[α，β]上的最大值與最小值之差最?。拷猓海á瘢┯深}意知α＋β＝，αβ＝－1，∴α2＋β2＝， ∴f (α)f (β)＝．……………………………………………………… 4分（Ⅱ）證明：當(dāng)α≤x≤β時(shí)， ………… 6分 ∵α、β是方程2x2－ax－2=0的兩根， ∴當(dāng)α≤x≤β時(shí)，恒有2x2－ax－2≤0， ∴≥0，又不是常函數(shù)， ∴是[α，β]上的增函數(shù)．……………………………………………… 9分（Ⅲ）f (x)在區(qū)間[α，β]上的最大值f (β)＞0，最小值f (α)＜0，又∵| f (α)f (β) |＝4， ……………………………………………………… 10分∴f (β)－f (α)＝| f (β)|＋| f (α)|≥當(dāng)且僅當(dāng)| f (β)|＝| f (α)|＝2時(shí)取“＝”號(hào)，此時(shí)f (β)＝2，f (α)＝－2 …… 11分 ∴ ……………………………………… 13分 由（1）、（2）得 ，∴a＝0為所求．…………………………………………………… 14分，過點(diǎn)作曲線的兩條切線、切點(diǎn)分別為、．（Ⅰ）設(shè)，試求函數(shù)的表達(dá)式；（Ⅱ）是否存在，使得、與三點(diǎn)共線．若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．（Ⅲ）在（Ⅰ）的條件下，若對(duì)任意的正整數(shù)，在區(qū)間內(nèi)總存在個(gè)實(shí)數(shù)，使得不等式成立，求的最大值．解：（Ⅰ）設(shè)、兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為、 ， 切線的方程為：，又切線過點(diǎn)， 有，即， ………………………………………………（1） …… 2分同理，由切線也過點(diǎn)，得．…………（2）由（1）、（2），可得是方程的兩根， ………………（ * ） ……………………… 4分 ，把（ * ）式代入,得,因此，函數(shù)的表達(dá)式為． ……………………5分（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)、與共線時(shí)，＝，即＝，化簡(jiǎn)，得，． ………………（3） …………… 7分把（*）式代入（3），解得．存在，使得點(diǎn)、與三點(diǎn)共線，且 ． ……………………9分（Ⅲ）解法：易知在區(qū)間上為增函數(shù)，則．依題意，不等式對(duì)一切的正整數(shù)恒成立， …………11分，即對(duì)一切的正整數(shù)恒成立，．， ，．由于為正整數(shù)，． ……………………………13分又當(dāng)時(shí)，存在，對(duì)所有的滿足條件．因此，的最大值為． ……………………………14分解法：依題意，當(dāng)區(qū)間的長度最小時(shí)，得到的最大值，即是所求值．，長度最小的區(qū)間為， …………………11分當(dāng)時(shí)，與解法相同分析，得，解得． ：如果常數(shù)＞0，那么該函數(shù)在0，上是減函數(shù)，在，＋∞上是增函數(shù)．（1）如果函數(shù)＝＋（＞0）的值域?yàn)?，＋∞，求的值；（2）研究函數(shù)＝＋（常數(shù)＞0）在定義域內(nèi)的單調(diào)性，并說明理由；（3）對(duì)函數(shù)＝＋和＝＋（常數(shù)＞0）作出推廣，使它們都是你所推廣的函數(shù)的特例．研究推廣后的函數(shù)的單調(diào)性（只須寫出結(jié)論，不必證明），并求函數(shù)＝＋（是正整數(shù)）在區(qū)間[，2]上的最大值和最小值（可利用你的研究結(jié)論）．（理）解：（1）函數(shù)的最小值是2，則，∴ （2）設(shè)，. 當(dāng)時(shí)，函數(shù)在[,+∞)上是增函數(shù)； 當(dāng)時(shí)，函數(shù)在(0,]上是減函數(shù). 又是偶函數(shù)，于是，該函數(shù)在(－∞,－]上是減函數(shù), 在[－,0)上是增函數(shù)； （3）可以把函數(shù)推廣為，其中n是正整數(shù).當(dāng)n是奇數(shù)時(shí),函數(shù)在(0,]上是減函數(shù),在[,+∞) 上是增函數(shù),在(－∞,－]上是增函數(shù), 在[－,0)上是減函數(shù)；當(dāng)n是偶數(shù)時(shí),函數(shù)在(0,]上是減函數(shù),在[,+∞) 上是增函數(shù), 在(－∞,－]上是減函數(shù), 在[－,0)上是增函數(shù)； + = 因此在 [,1]上是減函數(shù)，在[1,2]上是增函數(shù). 所以，當(dāng)或時(shí)，取得最大值； 當(dāng)時(shí)，取得最小值. 38已知函數(shù).（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；（Ⅱ）若對(duì)滿足的任意實(shí)數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍（這里是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）；（Ⅲ）求證：對(duì)任意正數(shù)、恒有. 【解】（Ⅰ）∴的增區(qū)間為，減區(qū)間為和.極大值為，極小值為.…………4′（Ⅱ）原不等式可化為由（Ⅰ）知，時(shí)，的最大值為.∴的最大值為，由恒成立的意義知道，從而…8′（Ⅲ）設(shè)則.∴當(dāng)時(shí)，故在上是減函數(shù)，又當(dāng)、是正實(shí)數(shù)時(shí)，∴.由的單調(diào)性有：，即.…………12′39.(本題12分) 已知函數(shù)的圖象過原點(diǎn)，且關(guān)于點(diǎn)（1,1）成中心對(duì)稱．（Ⅰ）求函數(shù)的解析式；（Ⅱ）若數(shù)列滿足：，求數(shù)列的通項(xiàng)； （Ⅲ）若數(shù)列的前項(xiàng)和為,判斷與2的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論． 解 (Ⅰ) 因?yàn)楹瘮?shù) 的圖象過原點(diǎn)，所以c =0，即.又函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，1）成中心對(duì)稱，所以。 （4分）(Ⅱ)由題意，開方取正得：，即.∴數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列．∴，即。 （8分）(Ⅲ)當(dāng)n≥2時(shí)，．所以故。 （12分），已知過點(diǎn)的直線與線段分別相交于點(diǎn)。若。（1）求證：與的關(guān)系為；（2）設(shè)，定義函數(shù)，點(diǎn)列在函數(shù)的圖像上，且數(shù)列是以首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，為原點(diǎn)，令，是否存在點(diǎn)，使得？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由。（3）設(shè)函數(shù)為上偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，又函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱， 當(dāng)方程在上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解：（1），…………………………………………2分，從而?！?分（2），又，…………………………………………………………6分。…………………………………………………………8分設(shè)，則。，故存在滿足條件。…………………………………………………10分（3）當(dāng)時(shí)，又由條件得。當(dāng)時(shí)，，從而?！?2分由得?！?4分設(shè)，在同一直角坐標(biāo)系中作出兩函數(shù)的圖像，如圖當(dāng)函數(shù)圖像經(jīng)過點(diǎn)時(shí)?！?6分由圖像可知，當(dāng)時(shí)，與的圖像在有兩個(gè)不同交點(diǎn)，因此
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