【正文】 ，∴a2+b2=20x2+20y2=5（4x2+4y2）=5c2．（3）解：如圖4中，在△AGE和△FGB中，∴△AGE≌△FGB，∴BG=FG，取AB中點H，連接FH并且延長交DA的延長線于P點，同理可證△APH≌△BFH，∴AP=BF，PE=CF=2BF，即PE∥CF，PE=CF，∴四邊形CEPF是平行四邊形，∴FP∥CE，∵BE⊥CE，∴FP⊥BE，即FH⊥BG，∴△ABF是中垂三角形，由（2）可知AB2+AF2=5BF2，∵AB=3，BF=AD=，∴9+AF2=5（）2，∴AF=4．　3. （2016吉林10分）如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90176。，AC=8cm，AD⊥BC于點D，點P從點A出發(fā)，沿A→C方向以cm/s的速度運動到點C停止，在運動過程中，過點P作PQ∥AB交BC于點Q，以線段PQ為邊作等腰直角三角形PQM，且∠PQM=90176。（點M，C位于PQ異側）．設點P的運動時間為x（s），△PQM與△ADC重疊部分的面積為y（cm2）（1）當點M落在AB上時，x=　4??；（2）當點M落在AD上時，x=　??；（3）求y關于x的函數解析式，并寫出自變量x的取值范圍．【考點】三角形綜合題．【分析】（1）當點M落在AB上時，四邊形AMQP是正方形，此時點D與點Q重合，由此即可解決問題．（2）如圖1中，當點M落在AD上時，作PE⊥QC于E，先證明DQ=QE=EC，由PE∥AD，得==，由此即可解決問題．（3）分三種情形①當0＜x≤4時，如圖2中，設PM、PQ分別交AD于點E、F，則重疊部分為△PEF，②當4＜x≤時，如圖3中，設PM、MQ分別交AD于E、G，則重疊部分為四邊形PEGQ．③當＜x＜8時，如圖4中，則重合部分為△PMQ，分別計算即可解決問題．【解答】解：（1）當點M落在AB上時，四邊形AMQP是正方形，此時點D與點Q重合，AP=CP=4，所以x==4．故答案為4．（2）如圖1中，當點M落在AD上時，作PE⊥QC于E．∵△MQP，△PQE，△PEC都是等腰直角三角形，MQ=PQ=PC∴DQ=QE=EC，∵PE∥AD，∴==，∵AC=8，∴PA=，∴x=247。=．故答案為．（3）①當0＜x≤4時，如圖2中，設PM、PQ分別交AD于點E、F，則重疊部分為△PEF，∵AP=x，∴EF=PE=x，∴y=S△PEF=?PE?EF=x2．②當4＜x≤時，如圖3中，設PM、MQ分別交AD于E、G，則重疊部分為四邊形PEGQ．∵PQ=PC=8﹣x，∴PM=16﹣2x，∴ME=PM﹣PE=16﹣3x，∴y=S△PMQ﹣S△MEG=（8﹣x）2﹣（16﹣3x）2=﹣x2+32x﹣64．③當＜x＜8時，如圖4中，則重合部分為△PMQ，∴y=S△PMQ=PQ2=（8﹣x）2=x2﹣16x+64．綜上所述y=．4. （2016黑龍江齊齊哈爾12分）如圖所示，在平面直角坐標系中，過點A（﹣，0）的兩條直線分別交y軸于B、C兩點，且B、C兩點的縱坐標分別是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的兩個根（1）求線段BC的長度；（2）試問：直線AC與直線AB是否垂直？請說明理由；（3）若點D在直線AC上，且DB=DC，求點D的坐標；（4）在（3）的條件下，直線BD上是否存在點P，使以A、B、P三點為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，請直接寫出P點的坐標；若不存在，請說明理由．【考點】三角形綜合題．【分析】（1）解出方程后，即可求出B、C兩點的坐標，即可求出BC的長度；（2）由A、B、C三點坐標可知OA2=OC?OB，所以可證明△AOC∽△BOA，利用對應角相等即可求出∠CAB=90176。；（3）容易求得直線AC的解析式，由DB=DC可知，點D在BC的垂直平分線上，所以D的縱坐標為1，將其代入直線AC的解析式即可求出D的坐標；（4）A、B、P三點為頂點的三角形是等腰三角形，可分為以下三種情況：①AB=AP；②AB=BP；③AP=BP；然后分別求出P的坐標即可．【解答】（1）∵x2﹣2x﹣3=0，∴x=3或x=﹣1，∴B（0，3），C（0，﹣1），∴BC=4，（2）∵A（﹣，0），B（0，3），C（0，﹣1），∴OA=，OB=3，OC=1，∴OA2=OB?OC，∵∠AOC=∠BOA=90176。，∴△AOC∽△BOA，∴∠CAO=∠ABO，∴∠CAO+∠BAO=∠ABO+∠BAO=90176。，∴∠BAC=90176。，∴AC⊥AB；（3）設直線AC的解析式為y=kx+b，把A（﹣，0）和C（0，﹣1）代入y=kx+b，∴，解得：，∴直線AC的解析式為：y=﹣x﹣1，∵DB=DC，∴點D在線段BC的垂直平分線上，∴D的縱坐標為1，∴把y=1代入y=﹣x﹣1，∴x=﹣2，∴D的坐標為（﹣2，1），（4）設直線BD的解析式為：y=mx+n，直線BD與x軸交于點E，把B（0，3）和D（﹣2，1）代入y=mx+n，∴，解得，∴直線BD的解析式為：y=x+3，令y=0代入y=x+3，∴x=﹣3，∴E（﹣3，0），∴OE=3，∴tan∠BEC==，∴∠BEO=30176。，同理可求得：∠ABO=30176。，∴∠ABE=30176。，當PA=AB時，如圖1，此時，∠BEA=∠ABE=30176。，∴EA=AB，∴P與E重合，∴P的坐標為（﹣3，0），當PA=PB時，如圖2，此時，∠PAB=∠PBA=30176。，∵∠ABE=∠ABO=30176。，∴∠PAB=∠ABO，∴PA∥BC，∴∠PAO=90176。，∴點P的橫坐標為﹣，令x=﹣代入y=x+3，∴y=2，∴P（﹣，2），當PB=AB時，如圖3，∴由勾股定理可求得：AB=2，EB=6，若點P在y軸左側時，記此時點P為P1，過點P1作P1F⊥x軸于點F，∴P1B=AB=2，∴EP1=6﹣2，∴sin∠BEO=，∴FP1=3﹣，令y=3﹣代入y=x+3，∴x=﹣3，∴P1（﹣3，3﹣），若點P在y軸的右側時，記此時點P為P2，過點P2作P2G⊥x軸于點G，∴P2B=AB=2，∴EP2=6+2，∴sin∠BEO=，∴GP2=3+，令y=3+代入y=x+3，∴x=3，∴P2（3，3+），綜上所述，當A、B、P三點為頂點的三角形是等腰三角形時，點P的坐標為（﹣3，0），（﹣，2），（﹣3，3﹣），（3，3+）．