【正文】 176。角所對的直角邊等于斜邊的一半求出AC=AB，然后求出AC=BD，再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出點C到AB的距離等于點D到AC的距離，然后根據(jù)等底等高的三角形的面積相等解答；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得BC=CE，AC=CD，再求出∠ACN=∠DCM，然后利用“角角邊”證明△ACN和△DCM全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AN=DM，然后利用等底等高的三角形的面積相等證明；（3）過點D作DF1∥BE，求出四邊形BEDF1是菱形，根據(jù)菱形的對邊相等可得BE=DF1，然后根據(jù)等底等高的三角形的面積相等可知點F1為所求的點，過點D作DF2⊥BD，求出∠F1DF2=60176。，從而得到△DF1F2是等邊三角形，然后求出DF1=DF2，再求出∠CDF1=∠CDF2，利用“邊角邊”證明△CDF1和△CDF2全等，根據(jù)全等三角形的面積相等可得點F2也是所求的點，然后在等腰△BDE中求出BE的長，即可得解．【解答】解：（1）①∵△DEC繞點C旋轉(zhuǎn)點D恰好落在AB邊上，∴AC=CD，∵∠BAC=90176。﹣∠B=90176。﹣30176。=60176。，∴△ACD是等邊三角形，∴∠ACD=60176。，又∵∠CDE=∠BAC=60176。，∴∠ACD=∠CDE，∴DE∥AC；②∵∠B=30176。，∠C=90176。，∴CD=AC=AB，∴BD=AD=AC，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，△ACD的邊AC、AD上的高相等，∴△BDC的面積和△AEC的面積相等（等底等高的三角形的面積相等），即S1=S2；故答案為：DE∥AC；S1=S2；（2）如圖，∵△DEC是由△ABC繞點C旋轉(zhuǎn)得到，∴BC=CE，AC=CD，∵∠ACN+∠BCN=90176。，∠DCM+∠BCN=180176。﹣90176。=90176。，∴∠ACN=∠DCM，∵在△ACN和△DCM中，∴△ACN≌△DCM（AAS），∴AN=DM，∴△BDC的面積和△AEC的面積相等（等底等高的三角形的面積相等），即S1=S2；（3）如圖，過點D作DF1∥BE，易求四邊形BEDF1是菱形，所以BE=DF1，且BE、DF1上的高相等，此時S△DCF1=S△BDE；過點D作DF2⊥BD，∵∠ABC=60176。，F(xiàn)1D∥BE，∴∠F2F1D=∠ABC=60176。，∵BF1=DF1，∠F1BD=∠ABC=30176。，∠F2DB=90176。，∴∠F1DF2=∠ABC=60176。，∴△DF1F2是等邊三角形，∴DF1=DF2，∵BD=CD，∠ABC=60176。，點D是角平分線上一點，∴∠DBC=∠DCB=60176。=30176。，∴∠CDF1=180176。﹣∠BCD=180176。﹣30176。=150176。，∠CDF2=360176。﹣150176。﹣60176。=150176。，∴∠CDF1=∠CDF2，∵在△CDF1和△CDF2中，∴△CDF1≌△CDF2（SAS），∴點F2也是所求的點，∵∠ABC=60176。，點D是角平分線上一點，DE∥AB，∴∠DBC=∠BDE=∠ABD=60176。=30176。，又∵BD=4，∴BE=4247。cos30176。=2247。=，∴BF1=，BF2=BF1+F1F2=+=，故BF的長為或．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積，等邊三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形30176。角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，熟練掌握等底等高的三角形的面積相等，以及全等三角形的面積相等是解題的關(guān)鍵，（3）要注意符合條件的點F有兩個．　28．已知，點P是直角三角形ABC斜邊AB上一動點（不與A，B重合），分別過A，B向直線CP作垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，Q為斜邊AB的中點．（1）如圖1，當(dāng)點P與點Q重合時，AE與BF的位置關(guān)系是　AE∥BF　，QE與QF的數(shù)量關(guān)系式　QE=QF??；（2）如圖2，當(dāng)點P在線段AB上不與點Q重合時，試判斷QE與QF的數(shù)量關(guān)系，并給予證明；（3）如圖3，當(dāng)點P在線段BA（或AB）的延長線上時，此時（2）中的結(jié)論是否成立？請畫出圖形并給予證明．【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；直角三角形斜邊上的中線．【專題】壓軸題．【分析】（1）證△BFQ≌△AEQ即可；（2）證△FBQ≌△DAQ，推出QF=QD，根據(jù)直角三角形斜邊上中線性質(zhì)求出即可；（3）證△AEQ≌△BDQ，推出DQ=QE，根據(jù)直角三角形斜邊上中線性質(zhì)求出即可．【解答】解：（1）AE∥BF，QE=QF，理由是：如圖1，∵Q為AB中點，∴AQ=BQ，∵BF⊥CP，AE⊥CP，∴BF∥AE，∠BFQ=∠AEQ=90176。，在△BFQ和△AEQ中∴△BFQ≌△AEQ（AAS），∴QE=QF，故答案為：AE∥BF；QE=QF．（2）QE=QF，證明：如圖2，延長FQ交AE于D，∵Q為AB中點，∴AQ=BQ，∵BF⊥CP，AE⊥CP，∴BF∥AE，∴∠QAD=∠FBQ，在△FBQ和△DAQ中∴△FBQ≌△DAQ（ASA），∴QF=QD，∵AE⊥CP，∴EQ是直角三角形DEF斜邊上的中線，∴QE=QF=QD，即QE=QF．（3）（2）中的結(jié)論仍然成立，證明：如圖3，延長EQ、FB交于D，∵Q為AB中點，∴AQ=BQ，∵BF⊥CP，AE⊥CP，∴BF∥AE，∴∠1=∠D，在△AQE和△BQD中，∴△AQE≌△BQD（AAS），∴QE=QD，∵BF⊥CP，∴FQ是斜邊DE上的中線，∴QE=QF．【點評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，直角三角形斜邊上中線性質(zhì)的應(yīng)用，注意：①全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，②全等三角形的性質(zhì)是：全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等．　29．如圖，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于點E，AD⊥BC于點D，∠BAD=45176。，AD與BE交于點F，連接CF．（1）求證：BF=2AE；（2）若CD=，求AD的長．【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理．【專題】證明題．【分析】（1）先判定出△ABD是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AD=BD，再根據(jù)同角的余角相等求出∠CAD=∠CBE，然后利用“角邊角”證明△ADC和△BDF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得BF=AC，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得AC=2AE，從而得證；（2）根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得DF=CD，然后利用勾股定理列式求出CF，再根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得AF=CF，然后根據(jù)AD=AF+DF代入數(shù)據(jù)即可得解．【解答】（1）證明：∵AD⊥BC，∠BAD=45176。，∴△ABD是等腰直角三角形，∴AD=BD，∵BE⊥AC，AD⊥BC∴∠CAD+∠ACD=90176。，∠CBE+∠ACD=90176。，∴∠CAD=∠CBE，在△ADC和△BDF中，∴△ADC≌△BDF（ASA），∴BF=AC，∵AB=BC，BE⊥AC，∴AC=2AE，∴BF=2AE；（2）解：∵△ADC≌△BDF，∴DF=CD=，在Rt△CDF中，CF===2，∵BE⊥AC，AE=EC，∴AF=CF=2，∴AD=AF+DF=2+．【點評】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，以及線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并準(zhǔn)確識圖是解題的關(guān)鍵．　30．已知△ABC為等邊三角形，點D為直線BC上的一動點（點D不與B、C重合），以AD為邊作菱形ADEF（A、D、E、F按逆時針排列），使∠DAF=60176。，連接CF．（1）如圖1，當(dāng)點D在邊BC上時，求證：①BD=CF；②AC=CF+CD；（2）如圖2，當(dāng)點D在邊BC的延長線上且其他條件不變時，結(jié)論AC=CF+CD是否成立？若不成立，請寫出AC、CF、CD之間存在的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）如圖3，當(dāng)點D在邊CB的延長線上且其他條件不變時，補全圖形，并直接寫出AC、CF、CD之間存在的數(shù)量關(guān)系．【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；菱形的性質(zhì)．【專題】幾何綜合題；壓軸題．【分析】（1）根據(jù)已知得出AF=AD，AB=BC=AC，∠BAC=∠DAF=60176。，求出∠BAD=CAF，證△BAD≌△CAF，推出CF=BD即可；（2）求出∠BAD=∠CAF，根據(jù)SAS證△BAD≌△CAF，推出BD=CF即可；（3）畫出圖形后，根據(jù)SAS證△BAD≌△CAF，推出CF=BD即可．【解答】（1）證明：∵菱形AFED，∴AF=AD，∵△ABC是等邊三角形，∴AB=AC=BC，∠BAC=60176。=∠DAF，∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAF﹣∠DAC，即∠BAD=∠CAF，∵在△BAD和△CAF中，∴△BAD≌△CAF，∴CF=BD，∴CF+CD=BD+CD=BC=AC，即①BD=CF，②AC=CF+CD．（2）解：AC=CF+CD不成立，AC、CF、CD之間存在的數(shù)量關(guān)系是AC=CF﹣CD，理由是：由（1）知：AB=AC=BC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=60176。，∴∠BAC+∠DAC=∠DAF+∠DAC，即∠BAD=∠CAF，∵在△BAD和△CAF中，∴△BAD≌△CAF，∴BD=CF，∴CF﹣CD=BD﹣CD=BC=AC，即AC=CF﹣CD．（3）AC=CD﹣CF．理由是：∵∠BAC=∠DAF=60176。，∴∠DAB=∠CAF，∵在△BAD和△CAF中，∴△BAD≌△CAF（SAS），∴CF=BD，∴CD﹣CF=CD﹣BD=BC=AC，即AC=CD﹣CF．【點評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力，注意：證明過程類似，題目具有一定的代表性，難度適中．　第50頁（共50頁）