華南理工大學(xué)數(shù)學(xué)分析-考研解答-資料下載頁(yè)
2025-01-14 19:13本頁(yè)面
【正文】 |x_{n_k}x_0|\geq \ve_0. \eee$$ 則由 Weierstrass 聚點(diǎn)定理知 $$\bee\label{:2} \exists\ \sed{n_{k_i}},\st x_{n_{k_i}}\to \bar x_0. \eee$$ 由 $f$ 的連續(xù)性, $f(x_{n_{k_i}})\to f(\bar x_0)$. 再據(jù)題設(shè)及 $f(\bar x_0)=f(x_0)$ 知 $\bar x_0=x_0$. 于是當(dāng) $k=k_i$ 時(shí)的 \eqref{:1} 與 \eqref{:2} 矛盾. 故有結(jié)論. 12. ($1339。$) 設(shè)函數(shù) $f(x,y)$ 在閉區(qū)間 $|xx_0|\leq a, |yy_0|\leq b$ 上連續(xù), 函數(shù)列 $\sed{\phi_n(x)}$ 在閉區(qū)間 $[x_0a,x_0+a]$ 上一致收斂于函數(shù) $\phi(x)$, 且對(duì)任意的 $n$ 及 $\forall\ x\in [x_0a,x_0+a]$ 有 $|\phi_n(x)y_0|\leq b$. 試證: $$\bex \lim_{n\to\infty}\int_{x_0}^x f(t,\phi_n(t))\rd t =\int_{x_0}^x f(t,\phi(t))\rd t. \eex$$證明: 由積分號(hào)下取極限, 僅需證明 $$\bex f(x,\phi_n(x))\rightrightarrows f(x,\phi(x)). \eex$$ 事實(shí)上, 由 $f$ 的連續(xù)性及一致連續(xù)性, $$\bex \forall\ \ve0,\ \exists\ \delta0, \ \forall\ |xx39。|\delta,\ |yy39。|\delta, |f(x,y)f(x39。,y39。)|\ve. \eex$$ 對(duì)該 $\delta0$, 由 $\phi_n\rightrightarrows \phi$ 知 $$\bex \exists\ N,\ \forall\ nN,\ \forall\ x\in [x_0a,x_0+a],\ |\phi_n(x)\phi(x)|\delta. \eex$$ 于是 $$\bex |xx|=0\delta,\ |\phi_n(x)\phi(x)|\delta\ra |f(x,\phi_n(x))f(x,\phi(x))|\ve. \eex$$ 8
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