【正文】 灰數(shù) 目標(biāo)函數(shù) 2022/2/8 灰色矩陣 符號(hào) 是最大灰靶 ,表示最大值意義下的取值范圍 。 符號(hào) 是最小灰靶 ,表示最小值意義下的取值范圍 。 灰色線性規(guī)劃 是在當(dāng)約束條件的約束值變動(dòng) ,并可以用時(shí)間序列 描述時(shí) ,利用 GM(1,1)模型 對(duì)約束值的變化進(jìn)行預(yù)測(cè) ,并按 預(yù)測(cè)值 求解的 . (max)?(min)?2022/2/8 1. 預(yù)測(cè)型灰色線性規(guī)劃 設(shè)在灰色線性規(guī)劃模型中 ,約束條件中約束值 bi的時(shí)間序列為 對(duì) bi(0)作一次累加生成 ,得到 建立 GM(1,1)模型 ,解出預(yù)測(cè)值 .用預(yù)測(cè)值 作為約束值 ,得到灰色線性規(guī)劃的約束條件 對(duì)于不同的 k值 ,可以求得不同的最優(yōu)解 ,這種規(guī)劃 稱為預(yù)測(cè)型灰色線性規(guī)劃 ))((? )0( Nkkb i ? )(? )0( kbi2022/2/8 [例 915] 某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，每生產(chǎn)一單位甲產(chǎn)品耗電 4百度 ,需煤 9噸 ,用工 3個(gè) 。每生產(chǎn)一單位乙產(chǎn)品耗電 5百度 ,需煤 4噸，用工 10個(gè) .每單位甲、乙產(chǎn)品所創(chuàng)造的效益分別為 700元和 1200元 ,該企業(yè)現(xiàn)有工人 300個(gè)，每月供煤量 360噸，前五個(gè)月的供電量如表 912: 假設(shè)經(jīng)濟(jì)效益目標(biāo)的要求是 4000050000元 ,如何安排本月的生產(chǎn)，才能取得最佳經(jīng)濟(jì)效益 . 解 : 設(shè)甲、乙兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量分別為 x1,x2,建立灰色線性規(guī)劃模型 2022/2/8 按表 912給出的關(guān)于供電量的時(shí)間序列 建立 GM(1,1)模型 ,得 目標(biāo)函數(shù) 約束條件 2022/2/8 于是，本月份供電量的預(yù)測(cè)值為 取預(yù)測(cè)值 作為約束值 ,第三個(gè)約束條件變?yōu)? 用單純形法求解 ,最優(yōu)解為 此時(shí) ,最佳經(jīng)濟(jì)效益值 滿足灰色目標(biāo)經(jīng)濟(jì)效益值的要求 . 207)6(? )0( ?b2022/2/8 2. 漂移型灰色線性規(guī)劃 漂移型灰色線性規(guī)劃 :目標(biāo)函數(shù)和約束條件含有灰數(shù)的線性規(guī)劃 . 可信度的概念 : 設(shè)灰數(shù) 或者記為 其中， a稱為白化系數(shù) .當(dāng) a=0時(shí) ,灰數(shù)取下界 。 當(dāng) a=1時(shí) ,灰數(shù)取上界 . 對(duì)于 灰色線性規(guī)劃模型 ，如果目標(biāo)函數(shù)中灰數(shù)的白化系數(shù)取 a=1,約束條件中灰數(shù)的白化系數(shù)取 a=0,則目標(biāo)函數(shù)值必為最大值 fmax. 2022/2/8 設(shè) Xa為白化系數(shù) a值下的決策變量值 ,Ca為目標(biāo)函數(shù)中白化系數(shù)取 a的白化向量 ,則 稱為 a下的可信度 . 漂移型灰色線性規(guī)劃的求解步驟 : ① 給定可信度 μ *.目標(biāo)函數(shù)的白化系數(shù)取 a=1,約束條件白化系數(shù)取 a=0,求 fmax ② 給出 a值 ,計(jì)算 fa=CaTXa。 ③ 計(jì)算可信度 ④ 如果 μa≥μ*,停止計(jì)算 ,Xa為滿意解 .否則 ,重復(fù)步驟②～ ④ , 直到滿足要求． 2022/2/8 [例 916] 求解灰色線性規(guī)劃模型 : 式中， 解 : 第一步 ,目標(biāo)函數(shù)的白化系數(shù)取 a=1,約束條件的白化系數(shù)取 a=0,得到線性規(guī)劃問題 目標(biāo)函數(shù) 約束條件 ]10,4[],21,1[],12,4[],7,1[ 121121 ???????? 使可信度 μ＊ ≥ 2022/2/8 用單純形法解得 fmax=,x1=,x2= 第二步 ,取 a=,得到線性規(guī)劃 解得 ,x1=,x2=,=, *m a x ?? ??? ff2022/2/8 第三步 ,取 a=1,得到線性規(guī)劃問題 解得 ,x1=,x2=29,f1=,μ1=μ*,次為漂移型灰色線性規(guī)劃最優(yōu)解 . 2022/2/8 二、灰色目標(biāo)規(guī)劃 灰色目標(biāo)規(guī)劃的一般形式是 : 達(dá)成函數(shù) 約束條件 (924) 其中 灰色目標(biāo)規(guī)劃 :在普通的目標(biāo)規(guī)劃模型中，如果約束條件的技術(shù)系數(shù)和目標(biāo)值含有灰數(shù) 2022/2/8 并稱 為 灰色技術(shù)系數(shù) ,d+,d為 正負(fù)偏差向量 , 為 灰色目標(biāo)值向量 . 灰色 GM模型法 兩種灰色系數(shù)的白化處理技術(shù) : 設(shè)灰色技術(shù)系數(shù) 和灰色目標(biāo)值 可以表示為時(shí)間序列 )(A? )(G?ij? )( ig?2022/2/8 對(duì)序列作一次 AGO運(yùn)算 ,并利用 灰色 GM模型 對(duì)灰色系數(shù)作 白化處理 ，灰色目標(biāo)規(guī)劃模型就轉(zhuǎn)化為普通目標(biāo)規(guī)劃問題 : 灰域目標(biāo)規(guī)劃法 設(shè)灰色目標(biāo)規(guī)劃模型 (924) 即右式中， 2022/2/8 技術(shù)系數(shù)已作白化處理 ,目標(biāo)值取值于灰色區(qū)間 ,即 (925) 即有 令 , 于是 ),2,1()( miyggiioi ??????2022/2/8 寫成矩陣形式 ,有 其中，矩陣 2022/2/8 模型 (925)可以表示為 (926) 其中 .再引入記號(hào) TT eddedd ),(~,),(~ ?????? ??2022/2/8 模型 (925)改寫為 (927) (927)為普通目標(biāo)規(guī)劃問題，從而可以求解 三、應(yīng)用實(shí)例 [例 917] (產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)調(diào)整模型 ) 某市 1992年 ,農(nóng)業(yè)經(jīng)濟(jì)產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)比例失調(diào) ,形成以種植業(yè)為主的產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu) ,大面積的宜林地草地和水面尚未開發(fā)利用 .為了加快農(nóng)業(yè)改革步伐 ,調(diào)整產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)，農(nóng)、林、牧、副、漁全面發(fā)展，該市制定農(nóng)業(yè)發(fā)展戰(zhàn)略目標(biāo) . 2022/2/8 規(guī)劃到 1995年，農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值年平均遞增 %～ %,種植業(yè)產(chǎn)值在農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值中的比重下降到 50%～ 55%,林、牧、副、漁各業(yè)的產(chǎn)業(yè)比重分別為 3%～ 5%,25%～ 30%,2%～ 10%, 3%～ 5%.考慮到該市目前的經(jīng)濟(jì)實(shí)力 ,并制定三個(gè)級(jí)別的具體目標(biāo) : ① 第一級(jí)目標(biāo)是 ,保證農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值適當(dāng)遞增速度 ,農(nóng)、林、牧、副、漁各產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)合理調(diào)整 。 ② 第二級(jí)目標(biāo)是 ,考慮到該市財(cái)力有限 ,盡量節(jié)省資金投入 。 ③ 第三級(jí)目標(biāo)是 ,盡量節(jié)省勞力和農(nóng)業(yè)科技人員投入 。 根據(jù)上述發(fā)展戰(zhàn)略和具體目標(biāo)措施，建立灰色目標(biāo)規(guī)劃模型 .設(shè)該市 1995年農(nóng)林牧副漁各產(chǎn)業(yè)的產(chǎn)值分別為x1,x2,x3,x4,x5(萬元 ),模型如下 : 2022/2/8 產(chǎn)值目標(biāo) : 資金目標(biāo) : 科技目標(biāo) : 勞力目標(biāo) : 耕地約束 : 種植業(yè)產(chǎn)值目標(biāo) : 2022/2/8 林業(yè)產(chǎn)值目標(biāo) : 副業(yè)產(chǎn)值目標(biāo) : 畜牧業(yè)產(chǎn)值目標(biāo) : 漁業(yè)產(chǎn)值目標(biāo) : 模型中 ,灰色系數(shù)的含義是 : 分別表示各產(chǎn)業(yè)萬元產(chǎn)值資金、勞力、科技人員需求數(shù) 。 分別表示各農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值、資金投入、勞力投入、科技人員投入，耕地投入量 。 )5,2,1(, 432 ????? jjjj)5,2,1)(( ??? jb j2022/2/8 分別表示各產(chǎn)業(yè)的產(chǎn)值目標(biāo) ,按照產(chǎn)業(yè)調(diào)整規(guī)劃 ,取值范圍是 : 根據(jù)歷年資料 ,首先利用 GM模型法 ,建立 的 15個(gè) GM(1,1)模型，求得這些灰色系數(shù)白化值 , )10,7,6)(( ??? jb j)5,2,1)(( ??? jb j)5,2,1。3,2( ???? jiij2022/2/8 并根據(jù)國家有關(guān)規(guī)定 ,對(duì) 和 進(jìn)行預(yù)測(cè) ,得到白化值 .于是該市 1990年農(nóng)業(yè)產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)模型為 : )5,2,1(4 ??? jj 51?2022/2/8 再利用灰域目標(biāo)規(guī)劃方法求解上述結(jié)構(gòu)模型，得到該市1995年最優(yōu)農(nóng)業(yè)產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)規(guī)劃（如表 913）： 產(chǎn) 業(yè) 產(chǎn)值比 種植業(yè) 林業(yè) 牧業(yè) 副業(yè) 漁業(yè) 總產(chǎn)值 產(chǎn)值 16892 產(chǎn)值比 55% 5% 25% 10% 5% 100% 表 913 （單位：萬元） 產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)調(diào)整模型表明，在保證農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值按 %的平均速度遞增的情況下，調(diào)整了農(nóng)業(yè)經(jīng)濟(jì)產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)，降低了種植業(yè)在農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值中所占的比例 ,充分利用現(xiàn)有農(nóng)業(yè)資源條件，發(fā)展了多種經(jīng)營 ,優(yōu)化了產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu) .