近世代數(shù)模擬試題--附詳細答案-資料下載頁
2025-01-10 14:43本頁面
【正文】 C； D； B； B； A； 二、填空題 (本大題共 10小題，每空 3分，共 30分 )。 變換群； 交換環(huán)； 25； 模 n乘余類加群； {2}； 一一映射； 不都等于零的元； 右單位元； 消去律成立； 交換環(huán)； 三、解答題（本大題共 3小題，每小題 10分，共 30分） 解： H的 3個右陪集為： {I,(1 2)}， {(1 2 3 )， (1 3)}， {(1 3 2 )， (2 3 )} H的 3個左陪集為： {I,(1 2)} ， {(1 2 3 )， (2 3)}， {(1 3 2 )， (1 3 )} 答：（ E， ? ）不是群，因為（ E， ? ）中無單位元。 解 方法一、輾轉相除法。列以下算式： a=b+102 b=3 102+85 102=1 85+17 由此得到 (a,b)=17, [a,b]=a b/17=11339。 然后回代： 17=10285=102(b3 102)=4 102b=4 (ab)b=4a5b. 所以 p=4, q=5. 四、證明題（本大題共 2小題，第 1題 10分，第 2小題 15分，共 25分） 證明 設 e 是群 G， *的幺元。令 x＝ a－ 1*b，則 a*x＝ a*(a－ 1*b)＝ (a*a－1)*b＝ e*b＝ b。所以， x＝ a－ 1*b是 a*x＝ b 的解。 若 x ∈ G 也是 a*x＝ b 的解，則 x ＝ e*x ＝ (a－ 1*a)*x ＝ a－ 1*(a*x )＝ a－ 1*b＝ x。所以， x＝ a－ 1*b是 a*x＝ b 的惟一解。 容易證明這樣的關系是 Z 上的一個等價關系，把這樣定義的等價類集合 Z記為 Zm，每個整數(shù) a 所在的等價類記為 [a]=｛ x∈ Z； m︱ x– a｝或者也可記為 a，稱之為模 m剩余類。若 m︱ a– b也記為 a≡ b(m)。 當 m=2時， Z2僅含 2個元： [0]與 [1]。 近世代數(shù)模擬試題 三 參考答案 一、單項選擇題 (本大題共 5 小題，每小題 3 分，共 15 分 )在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內。錯選、多選或未選均無分。 C； C； D； D； A； 二、填空題 (本大題共 10小題，每空 3分，共 30分 )請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。 唯一、唯一； a ； 2； 24； ； 相等； 商群； 特征； nm ； 三、解答題（本大題共 3小題，每小題 10分，共 30分） 解 在學群論前我們沒有一般的方法，只能用枚舉法。用筆在紙上畫一下，用黑白兩種珠子，分類進行計算：例如，全白只 1種，四白一黑 1種，三白二黑 2種， ? 等等，可得總共 8種。 證 由上題子環(huán)的充分必要條件，要證對任意 a,b∈ S1∩ S2 有 ab, ab∈ S1∩ S2： 因為 S1， S2是 A的子環(huán)，故 ab, ab∈ S1和 ab, ab∈ S2 ， 因而 ab, ab∈ S1∩ S2 ，所以 S1∩ S2是子環(huán)。 S1+S2不一定是子環(huán)。在矩陣環(huán)中很 容易找到反例： 解： 1． )56)(1243(??? ， )16524(1 ???? ； 2．兩個都是偶置換。 四、證明題（本大題共 2小題，第 1題 10分，第 2小題 15分，共 25分） 證明：假定 ? 是 R的一個理想而 ? 不是零理想，那么 a 0? ? ? ，由理想的定義 ???? 11aa ，因而 R的任意元 ???? 1bb 這就是說 ? =R，證畢。 證 必要性：將 b代入即可得。 充分性：利用結合律作以下運算： ab=ab(ab2a)=(aba)b2a=ab2a=e， ba=(ab2a)ba=ab2 (aba)=ab2a=e， 所以 b=a1。
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