近世代數(shù)期末考試題庫【整理版】-資料下載頁
2025-03-26 04:30本頁面
【正文】 唯一分解環(huán)的兩個(gè)元和不一定會(huì)有最大公因子，若和都是和的最大公因子，那么必有。 一定有最大公因子；d和d′只能差一個(gè)單位因子 叫做域的一個(gè)代數(shù)元，如果存在的都不等于零的元使得。 不都等于零的元 五、計(jì)算題（共15分，每小題分標(biāo)在小題后）給出下列四個(gè)四元置換組成的群，試寫出的乘法表，并且求出的單位元及和的所有子群。設(shè)是模6的剩余類環(huán)，且。如果、計(jì)算、和以及它們的次數(shù)。六、證明題（每小題10分，共40分）設(shè)和是一個(gè)群的兩個(gè)元且，又設(shè)的階，的階，并且，證明：的階。設(shè)為實(shí)數(shù)集，令，將的所有這樣的變換構(gòu)成一個(gè)集合，試證明：對于變換普通的乘法，作成一個(gè)群。設(shè)和為環(huán)的兩個(gè)理想，試證和都是的理想。設(shè)是有限可交換的環(huán)且含有單位元1，證明：中的非零元不是可逆元就是零因子。 近世代數(shù)試卷參考解答一、判斷題 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 √ √ √ √ √ 二、單項(xiàng)選擇題 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ② ④ ③ ④ ① ② ④ ③ ① ④三、填空題 變換群。 一個(gè)最大理想。p既不是零元，也不是單位，且q只有平凡因子。E的每一個(gè)元都是F上的一個(gè)代數(shù)元。四、改錯(cuò)題如果一個(gè)集合的代數(shù)運(yùn)算同時(shí)適合消去律和分配律，那么在里，元的次序可以掉換。結(jié)合律與交換律 有限群的另一定義：一個(gè)有乘法的有限非空集合作成一個(gè)群，如果滿足對于乘法封閉；結(jié)合律成立、交換律成立。消去律成立 設(shè)和是環(huán)的理想且，如果是的最大理想，那么。S=I或S=R唯一分解環(huán)的兩個(gè)元和不一定會(huì)有最大公因子，若和都是和的最大公因子，那么必有d=d′。一定有最大公因子；d和d′只能差一個(gè)單位因子叫做域的一個(gè)代數(shù)元，如果存在的都不等于零的元使得。不都等于零的元測驗(yàn)題一、 填空題（42分）設(shè)集合與分別有代數(shù)運(yùn)算與，且，則當(dāng) 滿足結(jié)合律 時(shí)，也滿足結(jié)合律；當(dāng) 滿足交換律 時(shí)，也滿足交換律。對群中任意元素= ；設(shè)群G中元素a的階是n，n|m則= e ；設(shè)是任意一個(gè)循環(huán)群，若，則與 整數(shù)加群 同構(gòu)；若，則與 n次單位根群； 同構(gòu)；設(shè)G=為6階循環(huán)群，則G的生成元有 ；； ；子群有 ；n次對稱群的階是 n!。 ；置換的階是 4 ；設(shè)，則 ；設(shè)，則 ；設(shè)H是有限群G的一個(gè)子群，則|G|= |H|:(G:H) ；任意一個(gè)群都同一個(gè) 雙射）變換群； 同構(gòu)。二、證明題（24），證明：G中每個(gè)元素都滿足方程。已知，|a|=k,則k|n令n=kq,則即G中每個(gè)元素都滿足方程 敘述群G的一個(gè)非空子集H作成子群的充要條件，并證明群G的任意兩個(gè)子群H與K的交仍然是G的一個(gè)子群。 證明:如果群G中每個(gè)元素都滿足方程，則G必為交換群。三、解答題（34） 敘述群的定義并按群的定義驗(yàn)證整數(shù)集Z對運(yùn)算作成群。寫出三次對稱群的所有子群并寫出關(guān)于子群H=｛（1），（23）｝的所有左陪集和所有右陪集。 基礎(chǔ)測試參考答案：一、 填空題滿足結(jié)合律； 滿足交換律；2；e；整數(shù)加群；n次單位根群；5；；n!。4(456)(32)|H|:(G:H)（雙射）變換群；二、證明題已知，|a|=k,則k|n令n=kq,則即G中每個(gè)元素都滿足方程充要條件：；證明：已知H、K為G的子群，令Q為H與K的交設(shè),則H是G的子群，有K是G的子群，有綜上所述，H也是G的子群。證：G是交換群。三、解答題解：設(shè)G是一個(gè)非空集合，是它的一個(gè)代數(shù)運(yùn)算，如果滿足以下條件：（1）結(jié)合律成立，即對G中任意元素（2）G中有元素e，它對G中每個(gè)元素（3）對G中每個(gè)元素則G對代數(shù)運(yùn)算作成一個(gè)群。對任意整數(shù)a,b，顯然a+b+4由a,b唯一確定，故為G的代數(shù)運(yùn)算。（ab）c=(a+b+4) c=(a+b+4)+c+4=a+b+c+8a (bc)=a+b+c+8即（ab）c= a (bc)滿足結(jié)合律a均有（4）a=4+a+4=a故4為G的左單位元。（8a）a=8a+a+4=4故8a是a的左逆元。解：其子群的階數(shù)只能是1，2，3，61階子群｛（1）｝2階子群｛（1）（12）｝｛（1）（13）｝｛（1）（23）｝3階子群｛（1）（123）（132）｝6階子群左陪集：（1）H=｛（1）（23）｝=（23）H（12）H=｛（12）（123）｝=（123）H（13）H=｛（13）（132）｝=（132）H右陪集：H（1）=｛（1）（23）｝=H（23）H（13）=｛（13）（23）｝=H（123）H（12）=｛（12）（132）｝=H（132）```
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