近世代數(shù)期末考試題庫(kù)【整理版】-文庫(kù)吧資料
2025-04-01 04:30本頁(yè)面
【正文】 ）設(shè)、都是非空集合，則到的每個(gè)映射都叫作二元運(yùn)算。充分性：利用結(jié)合律作以下運(yùn)算：ab=ab(ab2a)=(aba)b2a=ab2a=e，ba=(ab2a)ba=ab2 (aba)=ab2a=e，所以b=a1。四、證明題（本大題共2小題，第1題10分，第2小題15分，共25分）證明：假定是R的一個(gè)理想而不是零理想，那么a，由理想的定義，因而R的任意元這就是說(shuō)=R，證畢。S1+S2不一定是子環(huán)。用筆在紙上畫(huà)一下，用黑白兩種珠子，分類(lèi)進(jìn)行計(jì)算：例如，全白只1種，四白一黑1種，三白二黑2種，…等等，可得總共8種。錯(cuò)填、不填均無(wú)分。當(dāng)m=2時(shí)，Z2僅含2個(gè)元：[0]與[1]。容易證明這樣的關(guān)系是Z上的一個(gè)等價(jià)關(guān)系，把這樣定義的等價(jià)類(lèi)集合記為Zm，每個(gè)整數(shù)a所在的等價(jià)類(lèi)記為[a]=｛x∈Z；m︱x–a｝或者也可記為，稱(chēng)之為模m剩余類(lèi)。)＝a－1*b＝x。＝(a－1*a)*x162?！蔊也是a*x＝b的解，則x162。所以，x＝a－1*b是a*x＝b的解。然后回代：17=10285=102(b3102)=4102b=4(ab)b=4a5b.所以 p=4, q=5.四、證明題（本大題共2小題，第1題10分，第2小題15分，共25分）證明 設(shè)e是群G，*的幺元。解 方法一、輾轉(zhuǎn)相除法。C；D；B；B；A；二、填空題(本大題共10小題，每空3分，共30分)。證明在F里有意義，作F的子集顯然是R的一個(gè)商域 證畢。答：（，）不是群，因?yàn)橹杏袃蓚€(gè)不同的單位元素0和m。 和可以寫(xiě)成如下對(duì)換的乘積： 解：設(shè)A是任意方陣，令，則B是對(duì)稱(chēng)矩陣，而C是反對(duì)稱(chēng)矩陣，且。1；單位元；交換環(huán)；整數(shù)環(huán)；變換群；同構(gòu)。近世代數(shù)模擬試題一 參考答案一、單項(xiàng)選擇題。(R，＋，abcaabcbbcaccab 已知R關(guān)于矩陣的加法和乘法作成一個(gè)環(huán)。、主理想環(huán)、歐氏環(huán)三者之間的關(guān)系，并舉例說(shuō)明唯一分解環(huán)未必是主理想環(huán)。三、解答題（本大題共3小題，每小題10分，共30分），Zm為以m為模的剩余類(lèi)加群，是Z到Zm的一個(gè)映射，其中 ：k→［k］，k∈Z，驗(yàn)證：是Z到Zm的一個(gè)同態(tài)滿(mǎn)射，并求的同態(tài)核Ker。［i］＝{a＋bi|a，b∈Z}，其中i2＝－1，則Z［i］中的所有單位是______________________。，其特征n是一個(gè)有限數(shù)，那么，n是___________。，設(shè)H＝{(1)，(123)，(132)}是S3的一個(gè)不變子群，則商群G/H中的元素(12)H＝___________。＝(23)(35)，τ＝(1243)(235)∈S5，那么στ＝___________(表示成若干個(gè)沒(méi)有公共數(shù)字的循環(huán)置換之積)。(G，錯(cuò)填、不填均無(wú)分。 ＝B＝R(實(shí)數(shù)集)，如果A到B的映射：x→x＋2，x∈R，則是從A到B的（ c ） ＝{(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在S3中可以與(123)交換的所有元素有（ a ）A.(1)，(123)，(132) B.(12)，(13)，(23)C.(1)，(123) ，那么，Z15的子群共有（ d ）個(gè)。錯(cuò)選、多選或未選均無(wú)分。證 必要性：將b代入即可得。M為含幺半群，證明b=a1的充分必要條件是aba=a和ab2a=e。在矩陣環(huán)中很容易找到反例：解： 1．，；2．兩個(gè)都是偶置換。證 由上題子環(huán)的充分必要條件，要證對(duì)任意a,b∈S1∩S2 有ab, ab∈S1∩S2：因?yàn)镾1，S2是A的子環(huán)，故ab, ab∈S1和ab, ab∈S2 ，因而ab, ab∈S1∩S2 ，所以S1∩S2是子環(huán)。群論前我們沒(méi)有一般的方法，只能用枚舉法。S1+S2也是子環(huán)嗎？設(shè)有置換。設(shè)群中元素的階為，如果，那么與存在整除關(guān)系為mIn。從同構(gòu)的觀點(diǎn)，每個(gè)群只能同構(gòu)于他/它自己的商權(quán)。環(huán)Z8的零因子有 。區(qū)間[1，2]上的運(yùn)算的單位元是2。群的單位元是的，每個(gè)元素的逆元素是的。下列哪個(gè)偏序集構(gòu)成有界格（ d ）A、偶數(shù) B、奇數(shù) C、4的倍數(shù) D、2的正整數(shù)次冪A、（N,） B、（Z,） C、（{2,3,4,6,12},|（整除關(guān)系）） D、 (P(A),)設(shè)S3＝{(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在S3中可以與(123)交換的所有元素有（ a ）A、(1)，(123)，(132) B、12)，(13)，(23) C、(1)，(123) D、S3中的所有元素二、填空題(本大題共10小題，每空3分，共30分)請(qǐng)?jiān)诿啃☆}的空格中填上正確答案。A、2階 B、3 階 C、4 階 D、 6 階設(shè)G是群，G有（ c）個(gè)元素，則不能肯定G是交換群。設(shè)m是一個(gè)正整數(shù)，利用m定義整數(shù)集Z上的二元關(guān)系：a?b當(dāng)且僅當(dāng)m︱a–b。當(dāng)m=2時(shí)，Z2僅含2個(gè)元：[0]與[1]。容易證明這樣的關(guān)系是Z上的一個(gè)等價(jià)關(guān)系，把這樣定義的等價(jià)類(lèi)集合記為Zm，每個(gè)整數(shù)a所
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