【正文】 態(tài)分布。如果從某日生產(chǎn)的這種零件中任取9件測(cè)量后得=，S =。問(wèn)該日生產(chǎn)的零件的平均軸長(zhǎng)是否與往日一樣？ （ ） 解： 待檢驗(yàn)的假設(shè)為 選擇統(tǒng)計(jì)量 當(dāng)成立時(shí)， T～t(8) 　　　　　　取拒絕域w={} 由已知 拒絕，即認(rèn)為該生產(chǎn)的零件的平均軸長(zhǎng)與往日有顯著差異。 九、某燈泡廠生產(chǎn)的燈泡平均壽命是1120小時(shí)，現(xiàn)從一批新生產(chǎn)的燈泡中抽取9個(gè)樣本，測(cè)得其平均壽命為1070小時(shí)，樣本標(biāo)準(zhǔn)差小時(shí)。問(wèn)在顯著性水平下，檢測(cè)燈泡的平均壽命有無(wú)顯著變化？ 解： 待檢驗(yàn)的假設(shè)為 選擇統(tǒng)計(jì)量 當(dāng)成立時(shí)， T～t(8) 取拒絕域w={} 由已知 接受，即認(rèn)為檢測(cè)燈泡的平均壽命無(wú)顯著變化。 九、正常人的脈搏平均為72次/分，今對(duì)某種疾病患者9人，測(cè)得其脈搏為（次/分）：68 65 77 70 64 69 72 62 71 設(shè)患者的脈搏次數(shù)X服從正態(tài)分布。試在顯著水平=，檢測(cè)患者的脈搏與正常人的脈搏有無(wú)顯著差異？ 解： 待檢驗(yàn)的假設(shè)為 選擇統(tǒng)計(jì)量 當(dāng)成立時(shí)， T ~ 取拒絕域w={} 經(jīng)計(jì)算 接受，檢測(cè)者的脈搏與正常的脈搏無(wú)顯著差異。 概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)復(fù)習(xí)題一：全概率公式和貝葉斯公式例：某廠由甲、乙、丙三個(gè)車間生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，它們的產(chǎn)量之比為3：2：1，各車間產(chǎn)品的不合格率依次為8％，9%, 12% ?，F(xiàn)從該廠產(chǎn)品中任意抽取一件，求：（1）取到不合格產(chǎn)品的概率；（2）若取到的是不合格品，求它是由甲車間生產(chǎn)的概率。（同步45頁(yè)三、1）解：設(shè)A1，A2，A3分別表示產(chǎn)品由甲、乙、丙車間生產(chǎn)，B表示產(chǎn)品不合格，則A1，A2，A3為一個(gè)完備事件組。P(A1)=1/2, P(A2)=1/3, P(A3)=1/6,P(B| A1)＝，P(B| A2)＝，P(B| A3)＝。由全概率公式P(B) = P(A1)P(B| A1)+ P(A2)P(B| A2)+ P(A3)P(B| A3) = 由貝葉斯公式：P(A1| B)＝P(A1B)/P(B) = 4/9練習(xí)：市場(chǎng)上出售的某種商品由三個(gè)廠家同時(shí)供貨，其供應(yīng)量第一廠家為第二廠家的2倍，第二、三兩廠家相等，而且第一、二、三廠家的次品率依次為2％，2％，4％ 。若在市場(chǎng)上隨機(jī)購(gòu)買一件商品為次品，問(wèn)該件商品是第一廠家生產(chǎn)的概率是多少？（同步49頁(yè)三、1） 【 】練習(xí)：設(shè)兩箱內(nèi)裝有同種零件，第一箱裝50件，有10件一等品，第二箱裝30件，有18件一等品，先從兩箱中任挑一箱，再?gòu)拇讼渲星昂蟛环呕氐厝稳?個(gè)零件，求：（同步29頁(yè)三、5）（1）取出的零件是一等品的概率；（2）在先取的是一等品的條件下，后取的仍是一等品的條件概率。解：設(shè)事件={從第i箱取的零件}，={第i次取的零件是一等品}（1）P()=P()P(|)+P()P(|)=（2）P()=,則P(|)== 二、連續(xù)型隨機(jī)變量的綜合題例：設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為求：（1）常數(shù)λ；（2）EX；(3)P{1X3}；（4）X的分布函數(shù)F(x)（同步47頁(yè)三、2）解：(1)由得到λ＝1/2(2)(3)(4)當(dāng)x0時(shí)，當(dāng)0x2時(shí)，當(dāng)x2時(shí)，F(xiàn)（x）=1故練習(xí)：已知隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為且E(X)=7/12。求：（1）a , b ；（2）X的分布函數(shù)F(x) （同步49頁(yè)三、2）練習(xí)：已知隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為求：（1）X的分布函數(shù)F(x) ；（2）P{X2}（同步45頁(yè)三、3）三、離散型隨機(jī)變量和分布函數(shù)例：設(shè)X的分布函數(shù)F(x)為： , 則X的概率分布為（ ）。分析：其分布函數(shù)的圖形是階梯形，故x是離散型的隨機(jī)變量 [答案： P(X=1)=,P(X=1)=,P(X=3)=.]練習(xí)：設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布為P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,寫(xiě)出其分布函數(shù)F(x)。 [答案：當(dāng)x＜1時(shí)，F(xiàn)(x)=0。 當(dāng)1≤x＜2時(shí)，F(xiàn)(x)=。 當(dāng)2≤x＜3時(shí)，F(xiàn)(x)=。當(dāng)3≤x時(shí)，F(xiàn)(x)=1 四、二維連續(xù)型隨機(jī)向量例：設(shè)與相互獨(dú)立，且服從的指數(shù)分布，服從的指數(shù)分布，試求：（1）聯(lián)合概率密度與聯(lián)合分布函數(shù)；（2）；（3）在取值的概率。解:（1）依題知 所以聯(lián)合概率密度為當(dāng)時(shí)，有所以聯(lián)合分布函數(shù) （2）； （3）練習(xí)：設(shè)二元隨機(jī)變量（X，Y）的聯(lián)合密度是求：（1）關(guān)于X的邊緣密度函數(shù)f X(x)；（2）P{X≥50，Y≥50}（同步52頁(yè)三、4）五、二維離散型隨機(jī)向量設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，下表列出了二維隨機(jī)向量(X,Y)的聯(lián)合分布律及關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣分布律中的部分?jǐn)?shù)值,試將其他數(shù)值填入表中的空白處。 [ 答案： ]六、協(xié)差矩陣?yán)阂阎S機(jī)向量（X,Y）的協(xié)差矩陣V為計(jì)算隨機(jī)向量（X＋Y, X－Y）的協(xié)差矩陣（課本116頁(yè)26題）解：DX=4, DY=9, COV(X,Y)=6D(X＋Y)= DX + DY +2 COV(X,Y)=25D(XY) = DX + DY 2 COV(X,Y)=1COV（X＋Y, X－Y）=DXDY=5故（X＋Y, X－Y）的協(xié)差矩陣練習(xí)：隨機(jī)向量（X,Y）服從二維正態(tài)分布，均值向量及協(xié)差矩陣分別為計(jì)算隨機(jī)向量（9X＋Y, X－Y）的協(xié)差矩陣（課本116頁(yè)33題）解：E(9X+Y)= 9EX+ E Y＝9μ1+μ2E(X－Y)= EX－E Y＝μ1－μ2D(9X＋Y)=81DX + DY +18 COV(X,Y)=81σ12＋18ρσ1σ2＋σ22D(X－Y)= DX + DY －2 COV(X,Y)=σ12－2ρσ1σ2＋σ22COV（9X＋Y, X－Y）=9DXDY－8 COV(X,Y)= 9σ12－8ρσ1σ2－σ22然后寫(xiě)出它們的矩陣形式（略）七、隨機(jī)變量函數(shù)的密度函數(shù)例：設(shè)X~U(0,2),則Y=在(0,4)內(nèi)的概率密度（ ）。 [答案 填：]解：X~U(0,2) ， ，求導(dǎo)出= （）練習(xí)：設(shè)隨機(jī)變量X在區(qū)間[1，2]上服從均勻分布，求Y=的概率密度f(wàn)(y)。[答案：當(dāng)時(shí)，f(y)=，當(dāng)y在其他范圍內(nèi)取值時(shí)，f(y)=0.]八、中心極限定理例：設(shè)對(duì)目標(biāo)獨(dú)立地發(fā)射400發(fā)炮彈。請(qǐng)用中心極限定理計(jì)算命中60發(fā)到100發(fā)的概率。（同步46頁(yè)四、1）解：設(shè)X表示400發(fā)炮彈的命中顆數(shù)，則X服從B(400,),EX=80，DX=64,由中心極限定理：X服從正態(tài)分布N(80,64)P{60X100}=P{(X80)/8}=2φ()－1＝練習(xí)：袋裝食鹽，每袋凈重為隨機(jī)變量，規(guī)定每袋標(biāo)準(zhǔn)重量為500克，標(biāo)準(zhǔn)差為10克，一箱內(nèi)裝100袋，求一箱食鹽凈重超過(guò)50250克的概率。（課本117頁(yè)41題）九、最大似然估計(jì)例：設(shè)總體X的概率密度為 其中未知參數(shù)，是取自總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，用極大似然估計(jì)法求的估計(jì)量。解：設(shè)似然函數(shù)對(duì)此式取對(duì)數(shù)，即：且令可得，此即的極大似然估計(jì)量。例：設(shè)總體的概率密度為 據(jù)來(lái)自總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，求未知參數(shù)的最大似然估計(jì)量。（同步39頁(yè)三、3）解：由得總體的樣本的似然函數(shù) 再取對(duì)數(shù)得： 再求對(duì)的導(dǎo)數(shù)：令，得所以未知參數(shù)的最大似然估計(jì)量為。練習(xí)：設(shè)總體X的密度函數(shù)為X1,X2,…,Xn是取自總體X的一組樣本，求參數(shù)α的最大似然估計(jì)（同步52頁(yè)三、5）十、區(qū)間估計(jì)總體X服從正態(tài)分布N(μ,σ2), X1,X2,…,Xn為X的一個(gè)樣本 1：σ2已知,求μ的置信度為1α置信區(qū)間2：σ2未知,求μ的置信度為1α置信區(qū)間3：求σ2置信度為1α的置信區(qū)間例：設(shè)某校學(xué)生的身高服從正態(tài)分布，今從該校某班中隨機(jī)抽查10名女生，測(cè)得數(shù)據(jù)經(jīng)計(jì)算如下： 。求該校女生平均身高的95％的置信區(qū)間。解： ,由樣本數(shù)據(jù)得查表得：(?)=,故平均身高的95％的置信區(qū)間為例：從總體X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)中抽取容量為10的一個(gè)樣本，樣本方差S2＝,。解：因?yàn)?所以的95%的置信區(qū)間為:, 其中S2＝, ,所以==（,）例：已知某種材料的抗壓強(qiáng)度, 現(xiàn)隨機(jī)地抽取10個(gè)試件進(jìn)行抗壓試驗(yàn), 測(cè)得數(shù)據(jù)如下: 482, 493, 457, 471, 510, 446, 435, 418, 394, 469. (1)求平均抗壓強(qiáng)度的點(diǎn)估計(jì)值。(2)求平均抗壓強(qiáng)度的95%的置信區(qū)間。(3)若已知=30, 求平均抗壓強(qiáng)度的95%的置信區(qū)間。(4)求的點(diǎn)估計(jì)值。(5)求的95%的置信區(qū)間。解: (1)0(2) 因?yàn)? :, 經(jīng)計(jì)算,s = , n =10,查自由度為9的分位數(shù)表得, ,故=={, }(3) 若已知=30, 則平均抗壓強(qiáng)度的95%的置信區(qū)間為:=={,}(4) =S2=1 (5) 因?yàn)?所以的95%的置信區(qū)間為:,其中S2=1 , ,所以=={,}十一、假設(shè)檢驗(yàn)1． 已知方差σ2,關(guān)于期望μ的假設(shè)檢驗(yàn)2． 未知方差σ2,關(guān)于期望μ的假設(shè)檢驗(yàn)3． 未知期望μ,關(guān)于方差σ2的假設(shè)檢驗(yàn)例：已知某鐵水含碳量在正常情況下服從正態(tài)分布N(,),現(xiàn)在測(cè)定了9爐鐵水，含碳量平均數(shù)，樣本方差S 2＝。若總體方差沒(méi)有變化，即σ2＝，問(wèn)總體均值μ有無(wú)顯著變化？（α＝）（同步50頁(yè)四、1）解：原假設(shè)H0：μ＝統(tǒng)計(jì)量，當(dāng)H0成立時(shí)，U服從N（0，1）對(duì)于α＝，=故拒絕原假設(shè)，即認(rèn)為總體均值μ有顯著變化練習(xí)：某廠生產(chǎn)某種零件，在正常生產(chǎn)的情況下，這種零件的軸長(zhǎng)服從正態(tài)分布。若從某日生產(chǎn)的這種零件中任取10件，測(cè)量后得厘米，S=。問(wèn)該日生產(chǎn)得零件得平均軸長(zhǎng)是否與往日一樣？（α＝）（同步52頁(yè)四、2）【 不一樣 】例：設(shè)某廠生產(chǎn)的一種鋼索, 其斷裂強(qiáng)度kg/cm2服從正態(tài)分布. 從中選取一個(gè)容量為9的樣本, 得 kg/cm2. 能否據(jù)此認(rèn)為這批鋼索的斷裂強(qiáng)度為800 kg/cm2 ().解： H0：u=800.采用統(tǒng)計(jì)量U=其中σ=40, u0=800, n=9, ，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得=|U |=,| U |, 應(yīng)接受原假設(shè),即可以認(rèn)為這批鋼索的斷裂強(qiáng)度為800kg/cm2.練習(xí)：某廠生產(chǎn)銅絲，生產(chǎn)一向穩(wěn)定?，F(xiàn)從該廠產(chǎn)品中隨機(jī)抽出10段檢查其折斷力，測(cè)后經(jīng)計(jì)算： 。假定銅絲折斷力服從正態(tài)分布，問(wèn)是否可相信該廠生產(chǎn)的銅絲的折斷力方差為16？（α＝）（同步46頁(yè)四、2）【是】十二、證明題：例：總體, 其中是未知參數(shù), 又為取自該總體的樣本,為樣本均值. 證明: 是參數(shù)的無(wú)偏估計(jì). （同步39頁(yè)四、2）證明: 因?yàn)?, 故是參數(shù)的無(wú)偏估計(jì).例：設(shè)是參數(shù)的無(wú)偏估計(jì)量, , 證明: 不是的無(wú)偏估計(jì)量.證明：因?yàn)槭菂?shù)的無(wú)偏估計(jì)量，所以，, 即,故 不是的無(wú)偏估計(jì)量. （同步39頁(yè)四、3）其它證明題見(jiàn)同步練習(xí)46頁(yè)五、50頁(yè)五、十三、其它題目例：設(shè)隨機(jī)變量X在區(qū)間[2，5]上服從均勻分布，求對(duì)X進(jìn)行的三次獨(dú)立觀測(cè)中，至少有兩次的觀測(cè)值大于3的概率。解：P(X＞3)=d= , 則所求概率即為練習(xí)：設(shè)測(cè)量誤差X～N(0，100)，并用泊松分布求其近似值（）。解：由于X～N(0，100)，則P(|X|＞)=1 P(|X|)=2[1()]=～B(100,),故P(Y3) =1 P(Y 2)=1設(shè)l= np =100=5，且Y~P(5),則P(Y3)=1 P(Y 2)=1=例：對(duì)某地抽樣調(diào)查的結(jié)果表明，考生的外語(yǔ)成績(jī)（按百分制計(jì)）近似服從正態(tài)分布，平均72分,%。求考生的外語(yǔ)成績(jī)?cè)?0分至84分之間的概率。解：設(shè)X表示考生的外語(yǔ)成績(jī)，且X～N(72,),則P(X 96)=1P(X 96)=1()=,即 ()=,查表得=2，則 =12，即且X～N(72,144)，故P(60X84)=P(11)=2(1)1=其它題目（主要是選擇題和填空題，見(jiàn)同步練習(xí)后面的5套模擬題），具體題號(hào)如下：同步練習(xí)：模擬題一：42頁(yè) 一1，2，3，4，5，7，8，二1，3模擬題二：44頁(yè) 一1，4，7，8，9二4，5模擬題三：46頁(yè) 一1 ，2，5 二1，2，4模擬題四：48頁(yè) 一1，2，3，4，6，7二1，2，3模擬題五：51頁(yè) 一1，2，3，4，5二2，3，4，5，6第48頁(yè)，共4