【正文】 態(tài)分布。如果從某日生產的這種零件中任取9件測量后得=，S =。問該日生產的零件的平均軸長是否與往日一樣？ （ ） 解： 待檢驗的假設為 選擇統(tǒng)計量 當成立時， T～t(8) 　　　　　　取拒絕域w={} 由已知 拒絕，即認為該生產的零件的平均軸長與往日有顯著差異。 九、某燈泡廠生產的燈泡平均壽命是1120小時，現(xiàn)從一批新生產的燈泡中抽取9個樣本，測得其平均壽命為1070小時，樣本標準差小時。問在顯著性水平下，檢測燈泡的平均壽命有無顯著變化？ 解： 待檢驗的假設為 選擇統(tǒng)計量 當成立時， T～t(8) 取拒絕域w={} 由已知 接受，即認為檢測燈泡的平均壽命無顯著變化。 九、正常人的脈搏平均為72次/分，今對某種疾病患者9人，測得其脈搏為（次/分）：68 65 77 70 64 69 72 62 71 設患者的脈搏次數(shù)X服從正態(tài)分布。試在顯著水平=，檢測患者的脈搏與正常人的脈搏有無顯著差異？ 解： 待檢驗的假設為 選擇統(tǒng)計量 當成立時， T ~ 取拒絕域w={} 經(jīng)計算 接受，檢測者的脈搏與正常的脈搏無顯著差異。 概率論與數(shù)理統(tǒng)計復習題一：全概率公式和貝葉斯公式例：某廠由甲、乙、丙三個車間生產同一種產品，它們的產量之比為3：2：1，各車間產品的不合格率依次為8％，9%, 12% ?，F(xiàn)從該廠產品中任意抽取一件，求：（1）取到不合格產品的概率；（2）若取到的是不合格品，求它是由甲車間生產的概率。（同步45頁三、1）解：設A1，A2，A3分別表示產品由甲、乙、丙車間生產，B表示產品不合格，則A1，A2，A3為一個完備事件組。P(A1)=1/2, P(A2)=1/3, P(A3)=1/6,P(B| A1)＝，P(B| A2)＝，P(B| A3)＝。由全概率公式P(B) = P(A1)P(B| A1)+ P(A2)P(B| A2)+ P(A3)P(B| A3) = 由貝葉斯公式：P(A1| B)＝P(A1B)/P(B) = 4/9練習：市場上出售的某種商品由三個廠家同時供貨，其供應量第一廠家為第二廠家的2倍，第二、三兩廠家相等，而且第一、二、三廠家的次品率依次為2％，2％，4％ 。若在市場上隨機購買一件商品為次品，問該件商品是第一廠家生產的概率是多少？（同步49頁三、1） 【 】練習：設兩箱內裝有同種零件，第一箱裝50件，有10件一等品，第二箱裝30件，有18件一等品，先從兩箱中任挑一箱，再從此箱中前后不放回地任取2個零件，求：（同步29頁三、5）（1）取出的零件是一等品的概率；（2）在先取的是一等品的條件下，后取的仍是一等品的條件概率。解：設事件={從第i箱取的零件}，={第i次取的零件是一等品}（1）P()=P()P(|)+P()P(|)=（2）P()=,則P(|)== 二、連續(xù)型隨機變量的綜合題例：設隨機變量X的概率密度函數(shù)為求：（1）常數(shù)λ；（2）EX；(3)P{1X3}；（4）X的分布函數(shù)F(x)（同步47頁三、2）解：(1)由得到λ＝1/2(2)(3)(4)當x0時，當0x2時，當x2時，F(xiàn)（x）=1故練習：已知隨機變量X的密度函數(shù)為且E(X)=7/12。求：（1）a , b ；（2）X的分布函數(shù)F(x) （同步49頁三、2）練習：已知隨機變量X的密度函數(shù)為求：（1）X的分布函數(shù)F(x) ；（2）P{X2}（同步45頁三、3）三、離散型隨機變量和分布函數(shù)例：設X的分布函數(shù)F(x)為： , 則X的概率分布為（ ）。分析：其分布函數(shù)的圖形是階梯形，故x是離散型的隨機變量 [答案： P(X=1)=,P(X=1)=,P(X=3)=.]練習：設隨機變量X的概率分布為P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=,寫出其分布函數(shù)F(x)。 [答案：當x＜1時，F(xiàn)(x)=0。 當1≤x＜2時，F(xiàn)(x)=。 當2≤x＜3時，F(xiàn)(x)=。當3≤x時，F(xiàn)(x)=1 四、二維連續(xù)型隨機向量例：設與相互獨立，且服從的指數(shù)分布，服從的指數(shù)分布，試求：（1）聯(lián)合概率密度與聯(lián)合分布函數(shù)；（2）；（3）在取值的概率。解:（1）依題知 所以聯(lián)合概率密度為當時，有所以聯(lián)合分布函數(shù) （2）； （3）練習：設二元隨機變量（X，Y）的聯(lián)合密度是求：（1）關于X的邊緣密度函數(shù)f X(x)；（2）P{X≥50，Y≥50}（同步52頁三、4）五、二維離散型隨機向量設隨機變量X與Y相互獨立，下表列出了二維隨機向量(X,Y)的聯(lián)合分布律及關于X和關于Y的邊緣分布律中的部分數(shù)值,試將其他數(shù)值填入表中的空白處。 [ 答案： ]六、協(xié)差矩陣例：已知隨機向量（X,Y）的協(xié)差矩陣V為計算隨機向量（X＋Y, X－Y）的協(xié)差矩陣（課本116頁26題）解：DX=4, DY=9, COV(X,Y)=6D(X＋Y)= DX + DY +2 COV(X,Y)=25D(XY) = DX + DY 2 COV(X,Y)=1COV（X＋Y, X－Y）=DXDY=5故（X＋Y, X－Y）的協(xié)差矩陣練習：隨機向量（X,Y）服從二維正態(tài)分布，均值向量及協(xié)差矩陣分別為計算隨機向量（9X＋Y, X－Y）的協(xié)差矩陣（課本116頁33題）解：E(9X+Y)= 9EX+ E Y＝9μ1+μ2E(X－Y)= EX－E Y＝μ1－μ2D(9X＋Y)=81DX + DY +18 COV(X,Y)=81σ12＋18ρσ1σ2＋σ22D(X－Y)= DX + DY －2 COV(X,Y)=σ12－2ρσ1σ2＋σ22COV（9X＋Y, X－Y）=9DXDY－8 COV(X,Y)= 9σ12－8ρσ1σ2－σ22然后寫出它們的矩陣形式（略）七、隨機變量函數(shù)的密度函數(shù)例：設X~U(0,2),則Y=在(0,4)內的概率密度（ ）。 [答案 填：]解：X~U(0,2) ， ，求導出= （）練習：設隨機變量X在區(qū)間[1，2]上服從均勻分布，求Y=的概率密度f(y)。[答案：當時，f(y)=，當y在其他范圍內取值時，f(y)=0.]八、中心極限定理例：設對目標獨立地發(fā)射400發(fā)炮彈。請用中心極限定理計算命中60發(fā)到100發(fā)的概率。（同步46頁四、1）解：設X表示400發(fā)炮彈的命中顆數(shù)，則X服從B(400,),EX=80，DX=64,由中心極限定理：X服從正態(tài)分布N(80,64)P{60X100}=P{(X80)/8}=2φ()－1＝練習：袋裝食鹽，每袋凈重為隨機變量，規(guī)定每袋標準重量為500克，標準差為10克，一箱內裝100袋，求一箱食鹽凈重超過50250克的概率。（課本117頁41題）九、最大似然估計例：設總體X的概率密度為 其中未知參數(shù)，是取自總體的簡單隨機樣本，用極大似然估計法求的估計量。解：設似然函數(shù)對此式取對數(shù)，即：且令可得，此即的極大似然估計量。例：設總體的概率密度為 據(jù)來自總體的簡單隨機樣本，求未知參數(shù)的最大似然估計量。（同步39頁三、3）解：由得總體的樣本的似然函數(shù) 再取對數(shù)得： 再求對的導數(shù)：令，得所以未知參數(shù)的最大似然估計量為。練習：設總體X的密度函數(shù)為X1,X2,…,Xn是取自總體X的一組樣本，求參數(shù)α的最大似然估計（同步52頁三、5）十、區(qū)間估計總體X服從正態(tài)分布N(μ,σ2), X1,X2,…,Xn為X的一個樣本 1：σ2已知,求μ的置信度為1α置信區(qū)間2：σ2未知,求μ的置信度為1α置信區(qū)間3：求σ2置信度為1α的置信區(qū)間例：設某校學生的身高服從正態(tài)分布，今從該校某班中隨機抽查10名女生，測得數(shù)據(jù)經(jīng)計算如下： 。求該校女生平均身高的95％的置信區(qū)間。解： ,由樣本數(shù)據(jù)得查表得：(?)=,故平均身高的95％的置信區(qū)間為例：從總體X服從正態(tài)分布N(μ，σ2)中抽取容量為10的一個樣本，樣本方差S2＝,。解：因為,所以的95%的置信區(qū)間為:, 其中S2＝, ,所以==（,）例：已知某種材料的抗壓強度, 現(xiàn)隨機地抽取10個試件進行抗壓試驗, 測得數(shù)據(jù)如下: 482, 493, 457, 471, 510, 446, 435, 418, 394, 469. (1)求平均抗壓強度的點估計值。(2)求平均抗壓強度的95%的置信區(qū)間。(3)若已知=30, 求平均抗壓強度的95%的置信區(qū)間。(4)求的點估計值。(5)求的95%的置信區(qū)間。解: (1)0(2) 因為, :, 經(jīng)計算,s = , n =10,查自由度為9的分位數(shù)表得, ,故=={, }(3) 若已知=30, 則平均抗壓強度的95%的置信區(qū)間為:=={,}(4) =S2=1 (5) 因為,所以的95%的置信區(qū)間為:,其中S2=1 , ,所以=={,}十一、假設檢驗1． 已知方差σ2,關于期望μ的假設檢驗2． 未知方差σ2,關于期望μ的假設檢驗3． 未知期望μ,關于方差σ2的假設檢驗例：已知某鐵水含碳量在正常情況下服從正態(tài)分布N(,),現(xiàn)在測定了9爐鐵水，含碳量平均數(shù)，樣本方差S 2＝。若總體方差沒有變化，即σ2＝，問總體均值μ有無顯著變化？（α＝）（同步50頁四、1）解：原假設H0：μ＝統(tǒng)計量，當H0成立時，U服從N（0，1）對于α＝，=故拒絕原假設，即認為總體均值μ有顯著變化練習：某廠生產某種零件，在正常生產的情況下，這種零件的軸長服從正態(tài)分布。若從某日生產的這種零件中任取10件，測量后得厘米，S=。問該日生產得零件得平均軸長是否與往日一樣？（α＝）（同步52頁四、2）【 不一樣 】例：設某廠生產的一種鋼索, 其斷裂強度kg/cm2服從正態(tài)分布. 從中選取一個容量為9的樣本, 得 kg/cm2. 能否據(jù)此認為這批鋼索的斷裂強度為800 kg/cm2 ().解： H0：u=800.采用統(tǒng)計量U=其中σ=40, u0=800, n=9, ，查標準正態(tài)分布表得=|U |=,| U |, 應接受原假設,即可以認為這批鋼索的斷裂強度為800kg/cm2.練習：某廠生產銅絲，生產一向穩(wěn)定?，F(xiàn)從該廠產品中隨機抽出10段檢查其折斷力，測后經(jīng)計算： 。假定銅絲折斷力服從正態(tài)分布，問是否可相信該廠生產的銅絲的折斷力方差為16？（α＝）（同步46頁四、2）【是】十二、證明題：例：總體, 其中是未知參數(shù), 又為取自該總體的樣本,為樣本均值. 證明: 是參數(shù)的無偏估計. （同步39頁四、2）證明: 因為=, 故是參數(shù)的無偏估計.例：設是參數(shù)的無偏估計量, , 證明: 不是的無偏估計量.證明：因為是參數(shù)的無偏估計量，所以，, 即,故 不是的無偏估計量. （同步39頁四、3）其它證明題見同步練習46頁五、50頁五、十三、其它題目例：設隨機變量X在區(qū)間[2，5]上服從均勻分布，求對X進行的三次獨立觀測中，至少有兩次的觀測值大于3的概率。解：P(X＞3)=d= , 則所求概率即為練習：設測量誤差X～N(0，100)，并用泊松分布求其近似值（）。解：由于X～N(0，100)，則P(|X|＞)=1 P(|X|)=2[1()]=～B(100,),故P(Y3) =1 P(Y 2)=1設l= np =100=5，且Y~P(5),則P(Y3)=1 P(Y 2)=1=例：對某地抽樣調查的結果表明，考生的外語成績（按百分制計）近似服從正態(tài)分布，平均72分,%。求考生的外語成績在60分至84分之間的概率。解：設X表示考生的外語成績，且X～N(72,),則P(X 96)=1P(X 96)=1()=,即 ()=,查表得=2，則 =12，即且X～N(72,144)，故P(60X84)=P(11)=2(1)1=其它題目（主要是選擇題和填空題，見同步練習后面的5套模擬題），具體題號如下：同步練習：模擬題一：42頁 一1，2，3，4，5，7，8，二1，3模擬題二：44頁 一1，4，7，8，9二4，5模擬題三：46頁 一1 ，2，5 二1，2，4模擬題四：48頁 一1，2，3，4，6，7二1，2，3模擬題五：51頁 一1，2，3，4，5二2，3，4，5，6第48頁，共4