線性代數(shù)模擬題word版-資料下載頁
2025-01-09 02:14本頁面
【正文】 C 條件。 B. 必要條件 C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要 矩陣 A 與對角矩陣相似的充分必要定理保證。 三、計算題 (每小題 7分，共 42分 ) 1 設(shè) A 與 B 均為 3階方陣， E 為 3階單位矩陣， 2AB E A B? ? ?，且 2 0 10 2 01 0 1A???????? ；求 B 。 解： 因為 AB+E=A2+B ))(()( EAEABEA ????? ?????????? ??????????????????001010101110101201012EA ， , 1?EA EA? 可逆 所以 EAB ???????????? ??201030103 。 1 k 滿足什么條件時，方程組???????????????022232212321 321xkxxkkxxxkxxx 有唯一解，無解，有無窮多解？ 解：????????????????????????????????????????? ?kkkkkkkkkkkkkkkkkk)3()3)(2(00210211~2410210211~0122121122222 當 2?k 且 3??k 時，方程組有惟一解。當 2?k 時方程組無解。 當 0)3( ??kk 時方程組 ),()( BrAr ? 當 0?k 時????????????????????020002100211~001200210211 這時方程組只有零解。 當 3??k 時，???????????????????????????????????000065103211~651065103211~091293213211 這時方程組有無窮多解。 1向量組 1 2 3 4( 1 , 3 , 2 , 0) , ( 7 , 0 , 1 4 , 3 ) , ( 2 , 1 , 0 , 1 ) , ( 5 , 1 , 6 , 2 ) ,T T T T? ? ? ?? ? ? ? ? 5 (2, 1, 4,1)T? ?? ，（ 1）計算該向量組的秩，（ 2）寫出一個極大無關(guān)組，并將其余向 量用該極大無關(guān)組線性表示。 解： 1 2 3 4 5( , , , , ) 3R ? ? ? ? ? ?， 1 2 3,?? ? 為一個極大無關(guān)組， 4 1 2 32133? ? ? ?? ? ?，5 1 2 311 033? ? ? ?? ? ? ? 1 設(shè)矩陣0 1 0 01 0 0 0 0 0 10 0 1 2A y????? ????的一個特征值為 3，求 y 。 解：3 1 0 01 3 0 0| 3 | 8 ( 2 0 2.0 0 3 10 0 1 1A E y yy??? ? ? ? ? ? ???）， 1 計算矩陣 1 1 04 3 01 0 2????????的特征值與特征向量。 解： ? ? 21 1 0| | 4 3 0 ( 2 ) ( 1 ) ( 3 ) 4 ( 2 ) ( 1 )1 0 2AE?? ? ? ? ? ? ????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??， 所以得：特征值 121 ????，解方程組 ? ? 0A E X??， 只得一個對應 特征向量為： ? ?1, 2,1 T?? ； 3 2?? ， 解方 程組 ? ?20A E X??，可得 特征向量為 ? ?0,0,1T 。 1 當 t 為何值時， 323121232221321 42244),( xxxxxtxxxxxxxf ?????? 為正定二次型？ 解： 211 14 2 1 0 。 4 0 。41 2 4t tf t tt?????? ? ? ? ? ???? ? ?2 2 21 1 1 14 2 0 4 2 1 2 3 ( 2 ) 2 ( 2 ) ( 1 ) 01 2 4 0 2 3ttt t t t t t tt??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? 解不等式： 24 0 ( 2 ) ( 1 ) 0 2 1t t t t? ? ? ? ? ? ? ? ? ?。 四 、 證明題 (每小題 5分，共 10分 ) 1 設(shè)向量 b 能由 321 , ??? 這三個向量線性表示且表達式唯一 , 證明：向量組 321 , ??? 線性無關(guān)。 證明： （反證法）如果 321 , aaa 線性相關(guān)，則有一組不全為 0 的系數(shù) 321 , ??? 使332211 aaa ??? ?? = （ 1），由已知設(shè) 332211 ?????? ???b ，結(jié)合（ 1）式得 333222111 )()()(0 aaabb ?????? ???????? （ 2） 由于 321 , ??? 不完全為零，則 11 ??? ， 22 ??? ， 33 ??? 必與 321 , ??? 不同，這樣 b 已有兩種表示，與表示法惟一相矛盾，證畢。 設(shè) 321 , ??? 是 n 階方陣 A 的 3個特征向量，它們的特 征值不相等，記 1 2 3? ? ? ?? ? ? ，證明 ? 不是 A 的特征向量。 證明： 假設(shè) ? ?1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3A A A A A A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 又： 1 2 3 1 1 2 2 3 3A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? 從而： ? ? ? ? ? ?1 1 2 2 3 3 0? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?，由于特征值各不相等，所以 321 , ??? 線性無關(guān)，所以的 1 2 3 1 2 30? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，矛盾。
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