【正文】 達到磁場的下邊界時， myL? ?? （ 18 ） 將與（ 10 ）式有關的數據代入（ 10 ）式，可解得 ? （ 19 ） 代入（ 17 ）式，得 ? （ 20 ） 將（ 19 ）式分別代入（ 14 ）式與（ 11 ）式，得 m sxv ??－ m syv ??－ 速度大小為 2 2 14 .5 m sxyV v v? ? ? ? － （ 21 ） 速度方向為 arcta n 2 7yxvv? ??? ? ????? （ 22 ） 評分標準：本題 25 分 （ 7 ）式 2 分，（ 8 ）式 3 分，（ 10 ）式 2 分，（ 11 ）式 2 分，（ 12 ）式 3 分，（ 13 ）式 3 分，（ 14 ）式 2 分，（ 17 ）式 3 分，（ 20 ）式 3 分，（ 21 ）式 1 分，（ 22 ）式 1 分。 六、（ 25 分） 普通光纖是一種可傳輸光的圓柱形細絲，由具有圓形截面的纖芯 A 和包層 B 組成， B 的折射率小于 A 的折射率，光纖的端面和圓柱體的軸垂直，由一端面射入的光在很長的光纖中傳播時，在纖芯 A 和包層 B 的分界面上發(fā)生多次全反射 ．現在利用普通光纖測量流體 F 的折射率．實驗方法如下：讓光纖的一端（出射端）浸在流體 F中．令與光纖軸平行的單色平行光束經凸透鏡折射后會聚光纖入射端面的中心 O ，經端面折射進入光纖，在光纖中傳播．由點 O 出發(fā)的光束為圓錐形，已知其邊緣光線和軸的夾角為 0? ，如圖 復 1761 所示．最后光從另一端面出射進入流體 F ．在距出射端面 1h 處放置一垂直于光纖軸的毛玻璃屏 D ，在 D 上出現一圓形光斑，測出其直徑為 1d ，然后移動光屏 D 至距光纖出射端面 2h 處， 再測出圓形光斑的直徑 2d ，如圖 復 1762 所示． 1．若已知 A 和 B 的折射率分別為 An 與 Bn ，求被測流體 F 的折射率 Fn 的表達式． 2．若 An 、 Bn 和 0? 均為未知量，如何通過進一步的實驗以測出 Fn 的值 ? 解： 1．由于光纖內所有光線都從軸上的 O 點出發(fā)，在光纖中傳播的光線都與軸相交，位于通過軸的縱剖面內，圖復解 1761 為縱剖面內的光路圖，設由 O 點發(fā)出的與軸的夾角為 ? 的光線，射至 A 、 B 分界面的入射角為 i ，反射角也為 i ．該光線在光纖中多次反射時的入射角均為 i ，射至出射端面時的入射角為 ? ．若該光線折射后的折射角為 ? ，則由幾何關系和折射定律可得 90i ?? ? ? （ 1） sin sinFAnn??? （ 2） 當 i 大于全反射臨界角 Ci 時將發(fā)生全 反射，沒有光能損失，相應的光線將以不變的光強射向出射端面，而 Cii? 的光線則因在發(fā)生反射時有部分光線通過折射進入 B ，反射光強隨著反射次數的增大而越來越弱，以致在未到達出射端面之前就已經衰減為零了．因而能射向出射端面的光線的 i 的數值一定大于或等于 Ci ， Ci 的值由下式決定 sinACBn i n? （ 3） 與 Ci 對應的 ? 值為 90CCi? ? ?? （ 4） 當 0 C??? 時，即 220sin sin c o s 1 sin 1 ( / )BC C C Ai i n n??? ? ? ? ? ?時， 或220sinA BAnnn? ? ?時，由 O 發(fā)出的光束中，只有 C??? 的光線才滿足 Cii? 的條件，才能射向端面，此時出射端面處 ? 的最大值為 m ax 90CCi??? ? ?? （ 5） 若 0 C??? ，即 220sinA BAnnn? ? ?時，則由 O 發(fā)出的光線都能滿足 Cii? 的條件，因而都能射向端面，此時出射端面處 ? 的最大值為 max 0??? （ 6） 端面處入射角 ? 最大時，折射角 ? 也達最大值，設為 max? ，由（ 2）式可知 m a x m a xsi n si nF Ann??? （ 7） 由（ 6）、（ 7）式可得，當 0 C??? 時 0maxsinsinAF nn ??? （ 8） 由（ 3）至（ 7）式可得，當 0 C??? 時 22m a x m a xc o ss in s inACF BAnnin n???? ? （ 9） max? 的數值可由圖復解 1762 上的幾何關系求得 ? ?21m a x 2 22 1 2 1( ) / 2s in ( ) / 2 ( )ddd d h h? ?? ? ? ? （ 10） 于是 Fn 的表達式應為 ? ? 2 22 1 2 10 21( ) / 2 ( )s in ( ) / 2FAd d h hnn dd? ? ? ?? ? （ 0 Caa? ） （ 11） ? ? 2 22 1 2 12221( ) / 2 ( )( ) / 2F BA d d h hnn ddn ? ? ?? ?? （ 0 Caa? ） （ 12） 2. 可將輸出端介質改為空氣，光源保持不變，按同樣手續(xù)再做一次測量，可測得 1h? 、 2h? 、1d? 、 2d? ，這里打撇的量與前面未打撇的量意義相同．已知空氣的折射率等于 1，故有 當 0 Caa? 時 2 22 1 2 1021( ) / 2 ( )1 sin( ) / 2Ad d h hndd???? ? ? ?? ? ???? ??? （ 13） 當 0 Caa? 時 2 22 1 2 12221( ) / 2 ( )1( ) / 2BAd d h hnddn??? ? ? ?? ? ???? ???? （ 14） 將（ 11）、（ 12）兩式分別與（ 13）、（ 14）相除，均得 ? ? 2 22 1 2 121221 22 1 2 1( ) / 2 ( )( ) / 2 ( )Fd d h hddndd d d h h?? ? ? ???? ??? ? ? ?? ? ??? （ 15） 這結果適用于 0? 為任何值的情況。 評分標準：本題 25 分 1. 18 分。（ 8）式、（ 9）式各 6 分，求得（ 11）式、（ 12）式再各給 3 分 2. 7 分。（ 13）式、（ 14）式各 2 分，求得（ 15）式再給 3 分。如果利用已知其折射率的液體代替空氣，結果正確，照樣給分。