物理競(jìng)賽復(fù)賽模擬卷及答案-資料下載頁(yè)
2025-06-23 01:40本頁(yè)面
【正文】 ，又由，由圖可知。利用以上幾個(gè)關(guān)系式可得，故所求射入球內(nèi)空心部分的光束在球外的截面積點(diǎn)評(píng)：從本例的解答中可看出，正確分析和作出邊界光線是解決問題的關(guān)鍵。邊界光線是隨著具體問題的不同而改變的，要注意針對(duì)具體問題靈活把握。，今有兩束相距為2d(d≤R)對(duì)稱地（即兩光束與球的一條直徑平行并且分別與其等距離）射到球上，試就球的折射率n的取值范圍進(jìn)行討圖33123論（1）n取何值時(shí)兩束光一定在球內(nèi)相交？（2）n取何值時(shí)兩束光一定在球外相交？（3）如果n、d、R均已給定，如何判斷此時(shí)兩束光的交點(diǎn)是在球內(nèi)還是在球外。分析：設(shè)當(dāng)球的折射率為n0時(shí)，兩束光剛好交于球面上，如圖33123所示。令光線射入球中時(shí)的入射角為i，折射角為r，則由圖中的幾何關(guān)系有 又由折射定律有 由上兩式解得 又由圖中的幾何關(guān)系可以得到 由上式可見，對(duì)于某一個(gè)確定的比值，為使兩光線剛好交于球面，球的折射率有一個(gè)確定的值n0與之對(duì)應(yīng)。這樣，我們可以假想，若球的實(shí)際折射率n不等于n0時(shí)，則兩光線進(jìn)入球內(nèi)時(shí)的情況與前面圖示的情況有所不同，即兩光線不是交于球面上。當(dāng)時(shí)，兩光線將比圖示情況偏折得更厲害（圖中角r將更小），兩光線的交點(diǎn)必在球內(nèi)；當(dāng)時(shí)，兩光線將比圖示情況偏折得少一些（圖中的角r將大一些），兩光線的交點(diǎn)必在球外。若以作為一個(gè)變量來討論上述問題，由于，故由此確定的n0的范圍是。解：（1）當(dāng)時(shí)，對(duì)于任何來說，都有，即不管球的半徑和兩光線間的距離如何，兩光線都必定在球內(nèi)相交。（2）當(dāng)時(shí)，對(duì)于任何來說，都有，即不管球的半徑和兩光線間的距離如何，兩光線都必定在球外相交。（3）對(duì)于任意給定的n、R和d，則只需比較n與n0的大小即可確定兩光線的交點(diǎn)是在球內(nèi)還是在球外：當(dāng)時(shí)，兩光線的交點(diǎn)在球內(nèi)；當(dāng)時(shí)，兩光線的交點(diǎn)在球面上；當(dāng)時(shí)，兩光線的交點(diǎn)在球外；14．一點(diǎn)電荷+q和半徑為a的接地導(dǎo)體的球心相距為h，求空間的電勢(shì)分布。分析：此處是電荷與導(dǎo)體上的感應(yīng)電荷共同作用的情況，此處導(dǎo)體是一導(dǎo)體球，而非平板。我們自然地猜想，球上的感應(yīng)電荷可否用像電荷等效替代？若可以，該電荷應(yīng)在何處？解：在導(dǎo)體球面上，電力線與球面正交，從電力線會(huì)聚的趨勢(shì)（如圖4185（a））來看，感應(yīng)電荷與電荷相當(dāng)。據(jù)對(duì)稱性，應(yīng)在z軸上，設(shè)其距球心。如圖4185（b）。點(diǎn)電荷+q與像電荷在P點(diǎn)的電勢(shì)為 由球面上U=0，即r=a處。U=0，有 上式含有參量與，因而問題化成能否找到兩個(gè)參量和，使上式對(duì)于任意的都能滿足。兩邊平方圖4185（a） 要使此式對(duì)任意都成立，必須 圖4185（b）得出和 其中第一組解像電荷在球內(nèi)，其對(duì)球外空間作用與感應(yīng)電荷相同。第二組解像電荷就在q處，其對(duì)球內(nèi)空間作用與感應(yīng)電荷相同（第二組解并非其他書上所說的毫無意義，這一結(jié)果有很好的應(yīng)用。雖然它看起來顯而易見）。球外空間電勢(shì)為 球內(nèi)空間電勢(shì)為零。討論：若導(dǎo)體球絕緣，并且原來不帶電，則當(dāng)導(dǎo)體球放在點(diǎn)電荷q的電場(chǎng)中時(shí)，球?qū)⒏袘?yīng)等量的正負(fù)電荷，球外空間的電場(chǎng)由點(diǎn)電荷q及球面上的感應(yīng)正負(fù)電荷共同產(chǎn)生。這時(shí)感應(yīng)電荷的貢獻(xiàn)，除了負(fù)電荷根據(jù)上面的討論可由球內(nèi)Z軸上的象代替外，還應(yīng)有一個(gè)感應(yīng)正電荷的像，為了保持球面等勢(shì)，這個(gè)像的位置位于球心。那么 對(duì)于球面上任意一點(diǎn) 而，所以 從上式可以看出球面的電勢(shì)相當(dāng)于單獨(dú)的一個(gè)點(diǎn)電荷q在球心的電勢(shì)。實(shí)際上，由于球表面帶電總量為零，這一點(diǎn)是顯而易見的。如果q移到無限遠(yuǎn)，即，同時(shí)增大q，使在球心處的電場(chǎng)保持有限。這時(shí)，像電荷的無限趨近球心，但保持有限，因而像電荷和在球心形成一個(gè)電偶極子，其偶極矩為 。無限遠(yuǎn)的一個(gè)帶無限多電量的點(diǎn)電荷在導(dǎo)體附近產(chǎn)生的電場(chǎng)可看作是均勻的。因此一個(gè)絕緣的金屬球在勻強(qiáng)電場(chǎng)中受到感應(yīng)后，它的感應(yīng)電荷在球外空間的作用相當(dāng)于一個(gè)處在球心，電偶極矩為的偶極子。15．電荷q均勻分布在半球面ACB上，球面的半徑為R，CD為通過半球頂點(diǎn)C與球心O的軸線，如圖4191。P、Q為CD軸線上在O點(diǎn)兩側(cè)，離O點(diǎn)距離相等的兩點(diǎn)，已知P點(diǎn)的電勢(shì)為Up，試求Q點(diǎn)的電勢(shì)UQ。分析：本題關(guān)鍵是將其轉(zhuǎn)化為空間對(duì)稱情形，而后用電勢(shì)疊加原理求解。解：設(shè)想一勻勻帶電、帶電量也是q的右半球，與題中所給的左半球組成一個(gè)完整的均勻帶電球面，由對(duì)稱性可知，右半球在P點(diǎn)的電勢(shì)等于左半球在Q點(diǎn)的電勢(shì)，即 (1)所以 (2)而正是兩個(gè)半球同時(shí)存在時(shí)P點(diǎn)的電勢(shì)。因?yàn)榫鶆驇щ娗驓?nèi)部各處電勢(shì)都相等，其值等于，k為靜電力恒量，所以得 (3)由(2)、(3)兩式得 16
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