蘇科版八級(jí)上第章軸對(duì)稱圖形單元測(cè)試(四)含解析-資料下載頁(yè)
2025-01-10 03:23本頁(yè)面
【正文】 ，點(diǎn) C是線段 AB 上除 點(diǎn) A、 B外的任意一點(diǎn)，分別以 AC、 BC 為邊在線段 AB的同旁作等邊△ ACD和等邊 △ BCE，連接 AE交 DC 于 M，連接 BD交 CE 于 N，連接 MN． （ 1）求證： AE=BD； （ 2）判斷 △ CMN的形狀并說(shuō)明理由． 【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)． 【分析】（ 1）由等邊三角形的性質(zhì)，結(jié)合條件可證明 △ ACE≌△ DCB，則可證得 AE=BD； （ 2）利用（ 1）的結(jié)論，結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)可證明 △ ACM≌△ DCN，可證得 MC=NC，則可判定 △CMN為等邊三角形． 【解答】（ 1）證明： ∵△ ACD和 △ BCE是等邊三角形， 第 15頁(yè)（共 18頁(yè)） ∴ AC=DC， CE=CB， ∠ DCA=60176。 ， ∠ ECB=60176。 ， ∵∠ DCA=∠ ECB=60176。 ， ∴∠ DCA+∠ DCE=∠ ECB+∠ DCE， ∠ ACE=∠ DCB， 在 △ ACE與 △ DCB中， ∴△ ACE≌△ DCB（ SAS）， ∴ AE=BD； （ 2）解： △ CMN為等邊三角形，理由如下： ∵ 由（ 1）得， △ ACE≌△ DCB， ∴∠ CAM=∠ CDN， ∵∠ ACD=∠ ECB=60176。 ，而 A、 C、 B三點(diǎn)共線， ∴∠ DCN=60176。 ， 在 △ ACM與 △ DCN中， ∴△ ACM≌△ DCN（ ASA）， ∴ MC=NC， ∵∠ MCN=60176。 ， ∴△ MCN為等邊三角形． 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定方法（即 SSS、 SAS、 ASA、AAS和 HL）和全等三角形的性質(zhì)（即全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等）是解題的關(guān)鍵． 18．如圖 ① ， △ ABC中， AB=AC， ∠ B、 ∠ C的平分線交于 O點(diǎn)，過(guò) O點(diǎn)作 EF∥ BC交 AB、 AC于 E、 F． （ 1）圖中有幾個(gè)等腰三角形？猜想： EF與 BE、 CF之間有怎樣的關(guān)系，并說(shuō)明理由． （ 2）如圖 ② ，若 AB≠ AC，其他條件不變，圖中還有等腰三角形嗎？如果有，分別指出它 們．在第（ 1）問(wèn)中 EF與 BE、 CF間的關(guān)系還存在嗎？ 第 16頁(yè)（共 18頁(yè)） （ 3）如圖 ③ ，若 △ ABC中 ∠ B的平分線 BO 與三角形外角平分線 CO交于 O，過(guò) O點(diǎn)作 OE∥ BC交 AB于 E，交 AC 于 F．這時(shí)圖中還有等腰三角形嗎？ EF與 BE、 CF關(guān)系又如何？說(shuō)明你的理由． 【考點(diǎn)】等邊三角形的判定與性質(zhì)． 【專題】計(jì)算題；綜合題． 【分析】（ 1） △ ABC， △ OBC， △ EBO， △ CFO， △ AEF一共 5個(gè)等腰三角形，同時(shí)可證 △ BEO≌△ CFO，可得 EF=EO+FO=BE+CF； （ 2）由 EF∥ BC，可得 ∠ 2=∠ 3，又 ∠ 1=∠ 2， ∴∠ 1=∠ 3，所 以 △ BEO為等腰三角形，在 △ CFO中，同理可證； （ 3）由于 OE∥ BC，可得 ∠ 5=∠ 6，又 ∠ 4=∠ 5， ∴∠ 4=∠ 6， ∴△ BEO是等腰三角形，在 △ CFO中，同理可證 △ CFO是等腰三角形， 【解答】解：（ 1）圖中有 5個(gè)等腰三角形， EF=BE+CF， ∵△ BEO≌△ CFO，且這兩個(gè)三角形均為等腰三角形， 可得 EF=EO+FO=BE+CF； （ 2）還有兩個(gè)等腰三角形，為 △ BEO、 △ CFO， 如下圖所示： ∵ EF∥ BC， ∴∠ 2=∠ 3， 又 ∵∠ 1=∠ 2， ∴∠ 1=∠ 3， ∴△ BEO為等腰三角形，在 △ CFO中，同理可 證． ∴ EF=BE+CF 存在． （ 3）有等腰三角形： △ BEO、 △ CFO，此時(shí) EF=BE﹣ CF， 第 17頁(yè)（共 18頁(yè)） ∵ 如下圖所示： OE∥ BC， ∴∠ 5=∠ 6， 又 ∠ 4=∠ 5， ∴∠ 4=∠ 6， ∴△ BEO是等腰三角形， 在 △ CFO中，同理可證 △ CFO 是等腰三角形， ∵ BE=EO， OF=FC， ∴ BE=EF+FO=EF+CF， ∴ EF=BE﹣ CF 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，比較綜合，難度較大，關(guān)鍵靈活運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)． 第 18頁(yè)（共 18頁(yè)）
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