【正文】 交于 A、 B 兩點，與 y 軸相交于點 C， ∴ 令 y=0，可得 x= 或 x= ， ∴ A（ ， 0）， B（ ， 0）； 令 x=0，則 y= ， ∴ C 點坐標為（ 0， ）， 設(shè)直線 BC 的解析式為： y=kx+b，則有， ， 解得： ， ∴ 直線 BC 的解析式為： y= x ； （ 2）設(shè)點 D 的橫坐標為 m，則坐標為（ m， ）， ∴ E 點的坐標為（ m， m ）， 設(shè) DE 的長度為 d， ∵ 點 D 是直線 BC 下方拋物線上一點， 則 d= m+ ﹣（ m2﹣ 3m+ ）， 整理得， d=﹣ m2+ m， ∵ a=﹣ 1＜ 0， ∴ 當 m= = 時， d 最大 = = = ， ∴ D 點的坐標為（ ， ）． 【點評】 此題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)及其圖象與坐標軸的交點，設(shè)出 D 的坐標，利用二次函數(shù)最值得 D 點坐標是解答此題的關(guān)鍵． 12．（ 2022?北京）在平面直角坐標系 xOy 中，拋物線 y=mx2﹣ 2mx+m﹣ 1（ m＞ 0）與 x 軸的交點為 A， B． （ 1）求拋物線的頂點坐標； （ 2） 橫、縱坐標都是整數(shù)的點叫做整點． ①當 m=1 時，求線段 AB 上整點的個數(shù)； ②若拋物線在點 A， B 之間的部分與線段 AB 所圍成的區(qū)域內(nèi)（包括邊界）恰有 6 個整點，結(jié)合函數(shù)的圖象，求 m 的取值范圍． 【分析】 （ 1）利用配方法即可解決問題． （ 2） ①m=1 代入拋物線解析式，求出 A、 B 兩點坐標即可解決問題． ②根據(jù)題意判斷出點 A 的位置，利用待定系數(shù)法確定 m 的范圍． 【解答】 解：（ 1） ∵ y=mx2﹣ 2mx+m﹣ 1=m（ x﹣ 1） 2﹣ 1， ∴ 拋物線頂點坐標（ 1，﹣ 1）． （ 2） ①∵ m=1， ∴ 拋物線為 y=x2﹣ 2x， 令 y=0，得 x=0 或 2，不妨設(shè) A（ 0， 0）， B（ 2， 0）， ∴ 線段 AB 上整點的個數(shù)為 3 個． ②如圖所示，拋物線在點 A， B 之間的部分與線段 AB 所圍成的區(qū)域內(nèi)（包括邊界）恰有 6個整點， ∴ 點 A 在（﹣ 1， 0）與（﹣ 2， 0）之間（包括（﹣ 1， 0））， 當拋物線經(jīng)過（﹣ 1， 0）時， m= ， 當拋物線經(jīng)過點（﹣ 2， 0）時， m= ， ∴ m 的取值范圍為 ＜ m≤ ． 【點評】 本題考查拋物線與 x 軸的交點、配方法確定頂點坐標、待定系數(shù)法等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用這些知識解決問題，屬于中考?？碱}型． 13．（ 2022?牡丹江） 如圖，在平面直角坐標系中，拋物線 y=x2+bx+c 經(jīng)過點（﹣ 1， 8）并與x 軸交于點 A， B 兩點，且點 B 坐標為（ 3， 0）． （ 1）求拋物線的解析式； （ 2）若拋物線與 y 軸交于點 C，頂點為點 P，求 △ CPB 的面積． 注：拋物線 y=ax2+bx+c（ a≠ 0）的頂點坐標是（﹣ ， ） 【分析】 （ 1）將已知點的坐標代入二次函數(shù)的解析式，解關(guān)于 b、 c 的二元一次方程組即可； （ 2）過點 P 作 PH⊥ Y 軸于點 H，過點 B 作 BM∥ y 軸交直線 PH 于點 M，過點 C 作 CN⊥ y軸叫直線 BM 于點 N，則 S△ CPB=S 矩形 CHMN﹣ S△ CHP﹣ S△ PMB﹣ S△ CNB 【解答】 i 解：（ 1） ∵ 拋物線 y=x2+bx+c 經(jīng)過點（﹣ 1， 8）與點 B（ 3， 0）， ∴ 解得： ∴ 拋物線的解析式為： y=x2﹣ 4x+3 （ 2） ∵ y=x2﹣ 4x+3=（ x﹣ 2） 2﹣ 1， ∴ P（ 2，﹣ 1） 過點 P 作 PH⊥ Y 軸于點 H，過點 B 作 BM∥ y 軸交直線 PH 于點 M，過點 C 作 CN⊥ y 軸叫直線 BM 于點 N，如下圖所示： S△ CPB=S 矩形 CHMN﹣ S△ CHP﹣ S△ PMB﹣ S△ CNB =3 4﹣ 2 4﹣ ﹣ =3 即： △ CPB 的面積為 3 【點評】 本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析 式、拋物線與 x 軸的交點，解題的關(guān)鍵是理解函數(shù)的圖象與圖象上點的坐標之間的關(guān)系，難點是如何構(gòu)造規(guī)則圖形利用已知點的坐標求 △ CPB 的面積． 14．（ 2022?黔南州）已知二次函數(shù) y=x2+bx+c 的圖象與 y 軸交于點 C（ 0，﹣ 6），與 x 軸的一個交點坐標是 A（﹣ 2， 0）． （ 1）求二次函數(shù)的解析式，并寫出頂點 D 的坐標； （ 2）將二次函數(shù)的圖象沿 x 軸向左平移 個單位長度，當 y＜ 0 時，求 x 的取值范圍． 【分析】 （ 1）將點 A 和點 C 的坐標代入拋物線的解析式可求得 b、 c 的值，從而得到拋物線的解析式，然后依據(jù)配方法可 求得拋物線的頂點坐標； （ 2）依據(jù)拋物線的解析式與平移的規(guī)劃規(guī)律，寫出平移后拋物線的解析式，然后求得拋物線與 x 軸的交點坐標，最后依據(jù) y＜ 0 可求得 x 的取值范圍． 【解答】 解：（ 1） ∵ 把 C（ 0，﹣ 6）代入拋物線的解析式得： C=﹣ 6，把 A（﹣ 2， 0）代入y=x2+bx﹣ 6 得： b=﹣ 1， ∴ 拋物線的解析式為 y=x2﹣ x﹣ 6． ∴ y=（ x﹣ ） 2﹣ ． ∴ 拋物線的頂點坐標 D（ ，﹣ ）． （ 2）二次函數(shù)的圖形沿 x 軸向左平移 個單位長度得： y=（ x+2） 2﹣ ． 令 y=0 得：（ x+2） 2﹣ =0，解得： x1= ， x2=﹣ ． ∵ a＞ 0， ∴ 當 y＜ 0 時， x 的取值范圍是﹣ ＜ x＜ ． 【點評】 本題主要考查的是拋物線與 x 軸的交點、待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵． 15．（ 2022?龍東地區(qū)）如圖，二次函數(shù) y=（ x+2） 2+m 的圖象與 y 軸交于點 C，點 B 在拋物線上，且與點 C 關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，已知一次函數(shù) y=kx+b 的圖象經(jīng)過該二次函數(shù)圖象上的點 A（﹣ 1， 0）及點 B． （ 1）求二次函數(shù)與一次函數(shù)的解析式； （ 2）根據(jù)圖象，寫出滿足（ x+2） 2+m≥ kx+b 的 x 的取值范圍． 【分析】 （ 1）先利用待 定系數(shù)法先求出 m，再求出點 B 坐標，利用方程組求出一次函數(shù)解析式． （ 2）根據(jù)二次函數(shù)的圖象在一次函數(shù)的圖象上面即可寫出自變量 x 的取值范圍． 【解答】 解：（ 1） ∵ 拋物線 y=（ x+2） 2+m 經(jīng)過點 A（﹣ 1， 0）， ∴ 0=1+m， ∴ m=﹣ 1， ∴ 拋物線解析式為 y=（ x+2） 2﹣ 1=x2+4x+3， ∴ 點 C 坐標（ 0， 3）， ∵ 對稱軸 x=﹣ 2， B、 C 關(guān)于對稱軸對稱， ∴ 點 B 坐標（﹣ 4， 3）， ∵ y=kx+b 經(jīng)過點 A、 B， ∴ ，解得 ， ∴ 一次函數(shù)解析式為 y=﹣ x﹣ 1， （ 2）由圖象可知，寫出滿足（ x+2） 2+m≥ kx+b 的 x 的取值范圍為 x≤ ﹣ 4 或 x≥ ﹣ 1． 【點評】 本題考查二次函數(shù)與不等式、待定系數(shù)法等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用待定系數(shù)法確定好像解析式，學會利用圖象根據(jù)條件確定自變量取值范圍，屬于中考?？碱}型． 16．（ 2022?隨州）九年級（ 3）班數(shù)學興趣小組經(jīng)過市場調(diào)查整理出某種商品在第 x 天（ 1≤ x≤ 90，且 x 為整數(shù)）的售價與銷售量的相關(guān)信息如下．已知商品的進價為 30 元 /件，設(shè)該商品的售價為 y（單位：元 /件），每天的銷售量為 p（單位：件），每天的銷售利潤為 w（單位：元）． 時間 x（天） 1 30 60 90 每天銷售量 p（件） 198 140 80 20 （ 1）求出 w 與 x 的函數(shù)關(guān)系式； （ 2）問銷售該商品第幾天時，當天的銷售利潤最大？并求出最大利潤； （ 3）該商品在銷售過程中，共有多少天每天的銷售利潤不低于 5600 元？請直接寫出結(jié)果． 【分析】 （ 1）當 1≤ x≤ 50 時，設(shè)商品的售價 y 與時間 x 的函數(shù)關(guān)系式為 y=kx+b，由點的坐標利用待定系數(shù)法即可求出此時 y 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)圖形可得出當 50＜ x≤ 90 時，y=90．再結(jié)合給定表格，設(shè)每天的銷售量 p 與時間 x 的函數(shù)關(guān)系式為 p=mx+n，套入數(shù)據(jù)利用待定系數(shù)法即可求出 p 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)銷售利潤 =單件利潤 銷售數(shù)量即可得出 w 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式； （ 2）根據(jù) w 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式，分段考慮其最值問題．當 1≤ x≤ 50 時，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出在此范圍內(nèi) w 的最大值；當 50＜ x≤ 90 時，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可求出在此范圍內(nèi) w 的最大值，兩個最大值作比較即可得出結(jié)論； （ 3）令 w≥ 5600，可得出關(guān)于 x 的一元二次不等式和一元一次不等式，解不等式即可得出x 的取值范圍，由此即可得出結(jié)論． 【解答】 解：（ 1）當 1≤ x≤ 50 時，設(shè)商品的售價 y 與 時間 x 的函數(shù)關(guān)系式為 y=kx+b（ k、 b為常數(shù)且 k≠ 0）， ∵ y=kx+b 經(jīng)過點（ 0， 40）、（ 50， 90）， ∴ ，解得： ， ∴ 售價 y 與時間 x 的函數(shù)關(guān)系式為 y=x+40； 當 50＜ x≤ 90 時， y=90． ∴ 售價 y 與時間 x 的函數(shù)關(guān)系式為 y= ． 由數(shù)據(jù)可知每天的銷售量 p 與時間 x 成一次函數(shù)關(guān)系， 設(shè)每天的銷售量 p 與時間 x 的函數(shù)關(guān)系式為 p=mx+n（ m、 n 為常數(shù)，且 m≠ 0）， ∵ p=mx+n 過點（ 60， 80）、（ 30， 140）， ∴ ，解得： ， ∴ p=﹣ 2x+200（ 0≤ x≤ 90，且 x 為整數(shù)）， 當 1≤ x≤ 50 時， w=（ y﹣ 30） ?p=（ x+40﹣ 30）（﹣ 2x+200） =﹣ 2x2+180x+2022； 當 50＜ x≤ 90 時， w=（ 90﹣ 30）（﹣ 2x+200） =﹣ 120x+12022． 綜上所示，每天的銷售利潤 w 與時間 x 的函數(shù)關(guān)系式是w= ． （ 2）當 1≤ x≤ 50 時， w=﹣ 2x2+180x+2022=﹣ 2（ x﹣ 45） 2+6050， ∵ a=﹣ 2＜ 0 且 1≤ x≤ 50， ∴ 當 x=45 時， w 取最大值，最大值為 6050 元． 當 50＜ x≤ 90 時， w=﹣ 120x+12022， ∵ k=﹣ 120＜ 0， w 隨 x 增大而減小， ∴ 當 x=50 時， w 取最大值，最大值為 6000 元． ∵ 6050＞ 6000， ∴ 當 x=45 時， w 最大，最大值為 6050 元． 即銷售第 45 天時，當天獲得的銷售利潤最大，最大利潤是 6050 元． （ 3）當 1≤ x≤ 50 時，令 w=﹣ 2x2+180x+2022≥ 5600，即﹣ 2x2+180x﹣ 3600≥ 0， 解得： 30≤ x≤ 50， 50﹣ 30+1=21（天）； 當 50＜ x≤ 90 時，令 w=﹣ 120x+12022≥ 5600，即﹣ 120x+6400≥ 0， 解得： 50＜ x≤ 53 ， ∵ x 為整數(shù)， ∴ 50＜ x≤ 53， 53﹣ 50=3（天）． 綜上可知： 21+3=24（天）， 故該商品在銷售過程中，共有 24 天每天的銷售利潤不低于 5600 元． 【點評】 本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用、一元二次不等式的應(yīng)用以及利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，解題的關(guān)鍵：（ 1）根據(jù)點的坐標利用待定系數(shù)法求出函數(shù)關(guān)系式；（ 2）利用二次函數(shù)與一次函數(shù)的性質(zhì)解決最值問題；（ 3）得出關(guān)于 x 的一元一次和一元二次不等式．本題屬于中檔題，難度不大，但較繁瑣，解決該題型題目時，根據(jù)給定數(shù)量關(guān)系，找出函數(shù)關(guān)系式是關(guān)鍵． 17．（ 2022?綏化）自主學習，請閱讀下列解題過 程． 解一元二次不等式： x2﹣ 5x＞ 0． 解：設(shè) x2﹣ 5x=0，解得： x1=0， x2=5，則拋物線 y=x2﹣ 5x 與 x 軸的交點坐標為（ 0， 0）和（ 5， 0）．畫出二次函數(shù) y=x2﹣ 5x 的大致圖象（如圖所示），由圖象可知：當 x＜ 0，或 x＞ 5時函數(shù)圖象位于 x 軸上方，此時 y＞ 0，即 x2﹣ 5x＞ 0，所以，一元二次不等式 x2﹣ 5x＞ 0 的解集為： x＜ 0，或 x＞ 5． 通過對上述解題過程的學習，按其解題的思路和方法解答下列問題： （ 1）上述解題過程中，滲透了下列數(shù)學思想中的 ① 和 ③ ．（只填序號） ①轉(zhuǎn)化思想 ②分 類討論思想 ③數(shù)形結(jié)合思想 （ 2）一元二次不等式 x2﹣ 5x＜ 0 的解集為 0＜ x＜ 5 ． （ 3）用類似的方法解一元二次不等式： x2﹣ 2x﹣ 3＞ 0． 【分析】 （ 1）根據(jù)題意容易得出結(jié)論； （ 2）由圖象可知：當 0＜ x＜ 5 時函數(shù)圖象位于 x 軸下方，此時 y＜ 0，即 x2﹣ 5x＜ 0，即可得出結(jié)果； （