【正文】 實數根都是整數，求正整數 m的值． 【考點】根的判別式． 【分析】（ 1）先計算判別式的值得到 △ =[﹣（ m+2） ]2﹣ 4m 2=（ m﹣ 2） 2，再根據非負數的值得到 △≥ 0，然后根據判別式的意義得到方程總有兩個實數根； （ 2）利用因式分解法解方程得到（ x﹣ 1）（ mx﹣ 2） =0，解得 x1=1， x2= ，這個方程的兩個實數根都是整數，分析 為整數確定正整數 m的值． 【解答】（ 1）證明： ∵ m≠ 0， △ =[﹣（ m+2） ]2﹣ 4m 2 =m2﹣ 4m+4 =（ m﹣ 2） 2， 而（ m﹣ 2） 2≥ 0，即 △≥ 0， ∴ 方程總有兩個實數根； （ 2）解： mx2﹣（ m+2） x+2=0， （ x﹣ 1）（ mx﹣ 2） =0， 第 36 頁（共 44 頁） x﹣ 1=0或 mx﹣ 2=0， ∴ x1=1， x2= ， 當 m為正整數 1或 2時， x2為整數， 即方程的兩個實數根都是整數， 正整數 m的值為 1或 2． 【點評】本題考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0（ a≠ 0）的根的判別式 △ =b2﹣ 4ac：當 △＞ 0，方程有兩個不相等的實數根；當 △ =0，方程有兩個相等的實數根；當 △＜ 0，方程沒有實數根． 24．（ 2022?黃埔區(qū)模擬）如圖，在 Rt△ ABC中， ∠ ACB=90176。 ． （ 1）利用直尺和圓規(guī)按下列要求作圖，并在圖中標明相應的字母．（保留作圖痕跡，不寫作法） ① 作 AC 的垂直平分線，交 AB于點 O，交 AC于點 D； ② 以 O為圓心， OA為半徑作圓，交 OD 的延長線于點 E． （ 2）在（ 1）所作的圖形中，解答下列問題． ① 點 B與 ⊙ O的位置關系是 點 B在 ⊙ O上 ；（直接寫出答案） ② 若 DE=2， AC=8，求 ⊙ O的半徑． 【考點】作圖 — 復雜作圖；點與圓的位置關系． 【專題】計算題；作圖題． 【分析】（ 1）先作 AC 的垂直平分線，然后作 ⊙ O； （ 2） ① 通過證明 OB=OA來判斷點在 ⊙ O上； ② 設 ⊙ O 的半徑為 r，在 Rt△ AOD 中利用勾股定理得到 r2=42+（ r﹣ 2） 2，然后解方程求出 r即可． 【解答】解：（ 1）如圖所示； 第 37 頁（共 44 頁） （ 2） ① 連結 OC，如圖， ∵ OD垂直平分 AC， ∴ OA=OC， ∴∠ A=∠ ACO， ∵∠ A+∠ B=90176。 ， ∠ OCB+∠ ACO=90176。 ， ∴∠ B=∠ OCB， ∴ OC=OB， ∴ OB=OA， ∴ 點 B在 ⊙ O上； 故答案為點 B在 ⊙ O上 ②∵ OD⊥ AC，且點 D是 AC的中點， ∴ AD= AC=4， 設 ⊙ O的半徑為 r， 則 OA=OE=r， OD=OE﹣ DE=r﹣ 2， 在 Rt△ AOD中， ∵ OA2=AD2+OD2， 即 r2=42+（ r﹣ 2） 2， 解得 r=5． ∴⊙ O的半徑為 5． 【點評】本題考查了作圖﹣復雜作圖：復雜作圖是在五種基本作圖的基礎上進行作圖，一般是結合了幾何圖形的性質和基本作圖方法．解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作． 25．如圖， AB是 ⊙ O的直徑， AC 是弦，弦 AE平分 ∠ BAC， ED⊥ AC，交 AC的延長線于點 D． （ 1）求證： DE是 ⊙ O 的切線； （ 2）若 AB=10， AC=6，求 DE的長． 第 38 頁（共 44 頁） 【考點】切線的判定；角平分線的性質；勾股定理；垂徑定理；圓周角定理． 【分析】（ 1）首先連接 OE，由弦 AE 平分 ∠ BAC，易證得 OE∥ AC，又由 ED⊥ AC，即可證得OE⊥ ED，繼而證得結論； （ 2）首先過點 O作 OF⊥ AC 于點 F，易得四邊形 OEFD 是矩形，即可得 DE=OF，然后由垂徑定理求得 OF的長，即可求得答案． 【解答】（ 1）證明：連接 OE， ∵ OA=OE， ∴∠ BAE=∠ OEA， ∵ 弦 AE 平分 ∠ BAC， ∴∠ BAE=∠ DAE， ∴∠ DAE=∠ OEA， ∴ OE∥ AC， ∵ ED⊥ AC， ∴ OE⊥ ED， ∴ DE是 ⊙ O的切線； （ 2）解：過點 O作 OF⊥ AC 于點 F， ∵ ED⊥ AC， ∴ OF∥ ED， AF= AC= 6=3， ∵ OE∥ AC， ∴ 四邊形 OEFD是矩形， ∴ OF=DE， ∵ OA= AB= 10=5， ∴ OF= =4， 第 39 頁（共 44 頁） ∴ DE=OF=4． 【點評】此題考查了切線的性質與判定、矩形的判定與性質以及垂徑定理．注意準確作出輔助線是解此題的關鍵． 26．已知，點 P是正方形 ABCD內的一點，連接 PA， PB， PC．將 △ PAB繞點 B順時針旋轉 90176。到 △ P′CB 的位置（如圖）． （ 1）設 AB的長為 a， PB的長為 b（ b＜ a），求 △ PAB旋轉到 △ P′CB 的過程中邊 PA所掃過區(qū)域（圖中陰影部分）的面積； （ 2）若 PA=2， PB=4， ∠ APB=135176。 ，求 PC 的長． 【考點】扇形面積的計算；正方形的性質；旋轉的性質． 【專題】計算題． 【分析】（ 1）依題意，將 △ P′CB 逆時針旋轉 90176。 可與 △ PAB重合，此時陰影部分面積 =扇形 BAC的面積﹣扇形 BPP39。的面積，根據旋轉的性質可知，兩個扇形的中心角都是 90176。 ，可據此求出陰影部分的面積． （ 2）連接 PP39。，根據旋轉的性質可知： BP=BP39。，旋轉角 ∠ PBP39。=90176。 ，則 △ PBP39。是等腰直角三角形， ∠ BP39。C=∠ BPA=135176。 ， ∠ PP39。C=∠ BP39。C﹣ ∠ BP39。P=135176。 ﹣ 45176。=90176。 ，可推出 △ PP39。C是直角三角形，進而可根據勾股定理求出 PC的長． 【解答】解：（ 1） ∵ 將 △ PAB繞點 B順時針旋轉 90176。 到 △ P′CB 的位置， ∴△ PAB≌△ P39。CB， ∴ S△ PAB=S△ P39。CB， 第 40 頁（共 44 頁） S 陰影 =S 扇形 BAC﹣ S 扇形 BPP′ = （ a2﹣ b2）； （ 2）連接 PP′ ，根據旋轉的性質可知： △ APB≌△ CP′B ， ∴ BP=BP′=4 ， P′C=PA=2 ， ∠ PBP′=90176。 ， ∴△ PBP39。是等腰直角三角形， P39。P2=PB2+P39。B2=32； 又 ∵∠ BP′C= ∠ BPA=135176。 ， ∴∠ PP′C= ∠ BP′C ﹣ ∠ BP′P=135176。 ﹣ 45176。=90176。 ，即 △ PP′C 是直角三角形． PC= =6． 【點評】本題運用旋轉知識，將不規(guī)則的陰影部分轉化為兩個扇形面積差，又利用旋轉將線段、角進行轉化，達到解題的目的． 27．某商店以 40元 /千克的單價新進一批茶葉，經調查發(fā)現(xiàn)，在一段時間內，銷售量 y（千克）與銷售單價 x（元 /千克）之間的函數關系如圖所示． （ 1）根據圖象求 y與 x的函數關系式； （ 2）商店想在銷售成本不超過 3000 元的情況下，使銷售利潤達到 2400 元，銷售單價應定為多少？ 【考點】一次函數的應用；一元二次方程的應用． 【分析】（ 1）根據圖象可設 y=kx+b，將（ 40， 160），（ 120， 0）代入，得到關于 k、 b的二元一次方程組，解方程組即可； （ 2）根據每千克的利潤 銷售量 =2400 元列出方程，解方程求出銷售單價，從而計算銷售第 41 頁（共 44 頁） 量，進而求出銷售成本，與 3000元比較即可得出結論． 【解答】解：（ 1）設 y與 x的函數關系式為 y=kx+b， 將（ 40， 160），（ 120， 0）代入， 得 ，解得 ， 所以 y與 x的函數關系式為 y=﹣ 2x+240（ 40≤ x≤ 120）； （ 2）由題意得（ x﹣ 40）（﹣ 2x+240） =2400， 整理得， x2﹣ 160x+6000=0， 解得 x1=60， x2=100． 當 x=60 時，銷售單價為 60 元，銷售量為 120 千克，則成本價為 40 120=4800（元），超過了 3000元，不合題意，舍去； 當 x=100 時，銷售單價為 100 元，銷售量為 40 千克，則成本價為 40 40=1600（元），低于 3000元，符合題意． 所以銷售單價為 100元． 答：銷售單價應定為 100元． 【點評】本題考查了一次函數的應用以及一元二次方程的應用，利用待定系數法求出 y與 x的函數關系式是解題的關鍵． 28．在 Rt△ ABC中， ∠ B=90176。 ， AB=BC=12cm，點 D從點 A出發(fā)沿邊 AB以 2cm/s的速度向點B移動，移動過程中始終保持 DE∥ BC， DF∥ AC（點 E、 F分別在 AC、 BC上）．設點 D移動的時間為 t秒． 試解答下列問題： （ 1）如圖 1，當 t為多少秒時，四邊形 DFCE的面積等于 20cm2？ （ 2）如圖 1，點 D在運動過程中，四邊形 DFCE可能是菱形嗎？若能，試求 t的值；若不能，請說明理由； （ 3）如圖 2，以點 F為圓心， FC 的長為半徑作 ⊙ F． ① 在運動過程中，是否存在這樣的 t 值，使 ⊙ F 正好與四邊形 DFCE 的一邊（或邊所在的直線）相切？若存在，求出 t值；若不存在，請說明理由； ② 若 ⊙ F與四邊形 DFCE至多有兩個公共點，請直接寫出 t的取值范圍． 第 42 頁（共 44 頁） 【考點】圓的綜合題． 【分析】（ 1）設設點 D出 t秒后四邊形 DFCE的面積為 20cm2，利用 BD CF=四邊形 DFCE的面積，列方程解答即可． （ 2）因為四邊形 DECF 是平行四邊形，所以當 DE=DF 時，四邊形 DECF 是菱形．列出方程即可解決問題． （ 3）） ① 存在．當 DB=CF時， ⊙ F與 DE 相切．列出方程即可解決． ② 如圖 2中，當點 D在⊙ F上時， ⊙ F與四邊形 DECF有兩個公共點，求出此時 t的值，根據圖象即可解決問題． 【解答】解：（ 1）如圖 1中，設點 D出發(fā) t秒后四邊形 DFCE的面積為 20cm2，根據題意得， DE=AD=2t， BD=12﹣ 2t， CF=DE=2t， 又 ∵ BD CF=四邊形 DFCE的面積， ∴ 2t（ 12﹣ 2t） =20， t2﹣ 6t+5=0， （ t﹣ 1）（ t﹣ 5） =0， 解得 t1=1， t2=5； 答：點 D出發(fā) 1秒或 5 秒后四邊形 DFCE的面積為 20cm2． （ 2）可能是菱形． 理由：如圖 1中， ∵ DE∥ CF， DF∥ EC， ∴ 四邊形 DECF是平行四邊形， ∴ 當 DE=DF時，四邊形 DECF是菱形． ∵△ ADE， △ DFB都是等腰直角三角形， ∴ DE=2t， DF= （ 12﹣ 2t）， ∴ 2t= （ 12﹣ 2t）， ∴ t=12﹣ 6 ， 第 43 頁（共 44 頁） 答： t=（ 12﹣ 6 ） s時，四邊形 DECF是菱形， （ 3） ① 存在．如圖 1 中，當 DB=CF時， ⊙ F與 DE相切． 則有 12﹣ 2t=2t， ∴ t=3， 答：當 t=3s時， ⊙ F與 DE 相切． ② 如圖 2中，當點 D在 ⊙ F上時， ⊙ F與四邊形 DECF 有兩個公共點， 在 Rt△ DFB中， ∵∠ B=90176。 ， AD=DF=CF=2t， BD=BF=12﹣ 2t， ∴ 2t= （ 12﹣ 2t）， ∴ t=12﹣ 6 ， 由圖象可知，當 12﹣ 6 ≤ t≤ 6時， ⊙ F與四邊形 DFCE至多有兩個公共點． 【點評】本題考查圓綜合題、等腰直角三角形的性質、菱形的判定和性質、切線的判定和性質等知識，解題的關鍵是靈活應用所學知識解決問題，屬于中考常考題型． 第 44 頁（共 44 頁）