【正文】 １） du＝ dxdy； （２） dz=xy（ x２＋ y２）３／２ dx＋ xy（ x２＋ y２）３／２ dy． 習題 84 １． （１） ２ e2cost＋３ t２［３ tsint］； （２） ３－４ t－３＋３２ t １２ sec23t+2 t2+t32． ２． （１） z′u=(2xyy2)cosv+(x22xy) sinv； (2) z′v=(2xyy2)usinv,z′y= euvx２ +y２（ ux+vy）． ３． （１） f′ 1， ＝－ x y２ f′１＋１ zf′２， ＝－ yz２ f′２； （２） ＝２ xf′， z ＝２ yf′； （３） ＝ f′1+yf ′2+yzf′3， ＝ xf′2+xzf′３， ＝ xyf′2． ４． 略． ５． （１） dz=(x２ +y２ )sin（２ x＋ y）２ sin（２ x＋ y） x２＋ y２（ xdx＋ yd y） ＋ cos（２ x＋ y） ln（ x２＋ y２）（２ dx＋ dy）； （２） du＝１ f（ x２＋ y２－ z２） dy－ yf′（ x２＋ y２－ z２） f（ x２＋ y２－ z２）（２ xd x＋２ ydy－２ zdz）． ６． （１） z′x＝ ex＋ y＋ y zez－ xy， z′y＝ ex＋ y ＋ xzez－ xy； （２） ＝ zx＋ z， ＝ z２ y（ x＋ z）． ７． 略． ８． ＝（ vcosv－ usinv） e － u， ＝（ ucosv+vsinv)eu ． ９． dudx＝ f′x+y２ f′y1xy+zf′zxzx． 習題 85 １． （１） ２ ２＝１２ x ２－８ y２， ２ ２＝１２ y２－８ x２ ， ２ ＝－１６ xy； （２） ２ z ２＝２ xy（ x ２＋ y２）２， ２ ２＝－ xy（ x２＋ y２）２， ２ ＝ y２－ x２（ x２＋ y２）２； （３） ２ ２＝ yxln２ y， ２ z ２＝ x（ x－１） yx2； ２ ＝ yx－１（１＋ xlny）； （４） ２ ＝１ x， ２ ２＝－ xy２， ２ ＝１ y． ２． （１） ２ ２＝４ x f″（ x２＋ y２）＋２ f′（ x２＋ y２）， ２ ２＝４ yf″（ x２＋ y２）＋２ f′（ x２＋ y２）； （２） ２ ２＝ y２ f″１１＋２ yf″１２＋ f″２２， ２ ２＝ x２ f″ １１＋４ xf″１２＋４ f″２２， ２ ＝ xyf″ １１＋２ yf′１２＋ f′1+xf″ ２１＋２ f″２２． ３． ２ ２＝ z（２ x－２－ z ２） x２（ z－１）３， ２ ２＝ z（２ z－２－ z２） y２（ z－１）３， ２＝－ zxy（ z－１）３． 習題 86 １． １＋２３． ２． ２３． ３． α＝ π４時取得最大值 2 ； α＝５ π４時取得最小值 2； α＝７ π４時，方向?qū)?shù)為零． 習題 87 １． （１） 極大值 f(0,0)=3； (2) 極小值 f１ ２，－１＝－ e２； （３） 極大值 fa３， a３ ＝ a３２７ （ a＞０ )， 極小值 fa３， a３＝ a３２７ （ a＜０）． ２． 極大值 z（４，１）＝７，最小值 z４３＋２２３，－１ ≈１１．６７． ３． 極小值 z(2,2)=4． ４． a≥１２，最小距離為 a－１４； a≤１２，最小距離為 a． ５． a的分法是三等分時，乘積最 大為 a３２７． ６． x=100,y=25,f(100,25)=1250． ７． x=70,y=30,λ＝－７２，Ｌ＝１４５（萬元 )． 習題 88 １． （１） ∫１－１ dx∫３－３ f(x,y)dy, ∫ ３－３ dy∫１－１ f(x,y)dx。 （２） ∫４０ dx∫２ xxf(x,y)dy, ∫４ ０ dy∫y１４ y２ f(x,y)dx。 （３） ∫r－ rdx∫r２－ x２０ f(x,y) dy, ∫r０ dy∫r２－ y２－ r ２－ y２ f(x,y)dx． ２． （１） ∫１０ dx∫xx２ f（ x， y） dy；（２） ∫a０ dy∫a＋ a２－ y２ a－ a２－ y２ f（ x， y）dx。 （３） ∫１０ dy∫２－ yyf（ x， y） dx． ３． （１） e－１ e ２；（２） ２９１５；（３） －１２；（４） ２３； （５） １－２ π；（６） ２ πＲ２２＋Ｒ３；（７） ３ ６４ π２；（８） ２－ π２． ４． ５１４４． ５． π． ６． ８ π． ７． ＳＤ＝１２ e－１，ＶＤ＝１２ e２－ e－１２． 習題 91 １． （１） a＞１收斂； 0＜ a≤１發(fā)散； (2) 發(fā)散； (3) 發(fā)散； (4) 收斂； (5) 發(fā)散； (6) 發(fā)散； (7) 發(fā)散； (8) 發(fā)散． ２． （１） 收斂， s＝３２；（２） 收 斂， s＝１４；（３） 發(fā)散； (4) 發(fā)散． 習題 92 １． （１） 收斂； (2) 發(fā)散； (3) 發(fā)散； (4) 收斂； (5) a＞１，收斂； 0＜ a≤１發(fā)散； (6) 發(fā)散； (7) 發(fā)散； (8) 收斂； (9) 發(fā)散； (10) 發(fā)散； (11) 收斂； (12) 收斂； (13) 收斂； (14) 收斂； (15) 收斂； (16) 收斂． 習題 93 １． （１） 條件收斂； (2) 絕對收斂； (3) 絕對收斂； (4) 絕對收斂； (5) 絕對收斂； (6) 條件收斂； (7) 絕對收斂； (8) 條件收斂． 習題 94 １． （１） （ ∞， +∞)； (2) (e， e）； (3) (2， 2)； (4) (1， 1)； (5) (4， 0)； (6) １２，３〖 〗２． ２． （１） － ln（１＋ x）； x＜１ ；（２） ２ x（１－ x２）２， x＜１； （３） 當 x≠０且 x＜ １時， s(x)＝１＋１ x －１ ln（１－ x）；當 x＝０時， s(x)＝０； （４） １＋ x（１－ x）２， x＜１． ３． （１） １５３２；（２） １ ２ ln（１＋２）；（ ３） １０９；（４） ４． 習題 95 １． （１） １－ x２２ 178。２?。?x ４２ 178。４?。?… ＋（－１） nx２ n２ 178。（２ n）?。?… （－ ∞＜ x＜＋ ∞）； （２） ∑∞n=1（－１） n1（２ n－ １）！ x２２ n－１ （－ ∞＜ x＜＋ ∞）； （３） ∑∞n=1（－１） n1