【正文】 ，由于 ，故此級數(shù)在 時收斂。 12. 解 : 由于 1 ，而 lim所以，當(dāng) ，即 1pp 1 時，此級數(shù)發(fā)散；當(dāng) 時，此級數(shù)為 p 時，此級數(shù)絕對收斂； 當(dāng) ，即 ，屬于條件收斂。 13. 55 xn 證明 : 當(dāng) 時，顯然級數(shù) 絕對收斂； 2n xn|x|nnn 當(dāng) 時，由于 |，而級數(shù)在 時收斂，從而級 xn 數(shù) 在 時絕對收斂； 2n xn1n|x|n1n | 當(dāng) 時，由于 |，而級數(shù) ||在 時收斂，從而 xn 級數(shù) 在 時絕對收斂。 2n 綜上所述，命題得證。 14. 證明 : (1)證明過程見習(xí)題十中的題 1（ 8）。 121 但反之不成立，例： 收斂，而 發(fā)散。 (2) 由 an≥0，且數(shù)列 {nan} 有界，故存在固定常數(shù) c，使得 ，從而 c21 ，而級數(shù) 收斂，故級數(shù) n 2 n 收斂。 (3) 由級數(shù) 收斂。 2 n 與 2 n 收斂，又有 2n2 n成立，故 nn 絕對 1 (4) 由級數(shù) 收斂，以及級數(shù) 收斂，根據(jù) (3)知，級數(shù) 2 un 收斂。 15. 證明 : 令當(dāng) 時， ；當(dāng) 時， ；當(dāng) 時， ；則由 n 的一切正項(xiàng)組成的級數(shù)可記為 n ，由 n 的一切 負(fù)項(xiàng)組成的級數(shù)可記為 n 。 56 顯然， ，而 是絕對收斂的級數(shù)，故級數(shù) 收斂 , 級數(shù) 也收斂。亦即命題成立。 16. ， ， 證明 : 由于 所以， , (c1，常數(shù) )， 0(c1，常數(shù) )。 從而 17. yn 解： (1) 令 ，此級數(shù)變?yōu)?。 1 對于級數(shù) ，由于 ，所以， 。當(dāng) 時， n2 級數(shù)為 ，是收斂級數(shù)；當(dāng) 時，級數(shù)為 ，也是收斂級數(shù)。所以， yn 級數(shù) 的收斂區(qū)間為 [1,1]。 由 ，解得 。故此級數(shù)收斂區(qū)間為 。 1 由于 ，所以， 。 當(dāng) 時，級數(shù)為 ，是發(fā)散級數(shù)；當(dāng) 時，級數(shù)為 ，是收 斂級數(shù)。所以，此級數(shù)的收斂區(qū)間為 。 57 由于 ，所以， 。因此，此級 2n 數(shù)僅在 處收斂。 1 ，所以， 。 (4) 由于 當(dāng) 時，級數(shù)為 ，是收斂級數(shù)；當(dāng) 時，級數(shù)為 ， 是發(fā)散級數(shù)。所以，此級數(shù)的收斂區(qū)間為 。 (5) 顯然， 。 令 ，此級數(shù)變?yōu)?。 1 ，對于級數(shù) ，由于 所以。 因此，級數(shù) 對于級數(shù) ，當(dāng) 時 ， 級 數(shù) 為 ， 是 收 斂 級 數(shù) 。 所以，級數(shù) 的收斂區(qū)間為 。 故此級數(shù)的收斂區(qū)間為 。 (6) 令 ，此級數(shù)變?yōu)?。 1 對于級數(shù) ，由于，所以， 。 58 當(dāng) 時，級數(shù)為 ，是收斂級數(shù)；當(dāng) 時，級數(shù)為 ，是發(fā)散級數(shù)。 所以，級數(shù) 的收斂區(qū)間為 。 由 ，解得 。故此級數(shù)收斂區(qū)間為 。 (7) 顯然， 。 ，由于 lim|（ ） 所以，此級數(shù)發(fā)散，即此級數(shù)收斂域?yàn)榭占? (8) 顯然， 。 xn ，所以，此級數(shù)在 時發(fā)散；當(dāng) 當(dāng) 時，由于 時，由于通項(xiàng)為 ，所以，此級數(shù)在 時發(fā)散； 2 ，所以，此級數(shù)在當(dāng) 時，由于 時收斂。 故此級數(shù)的收斂區(qū)間為 。 18. 解： (1)由于 所 以 ， （ 收 斂 半 徑 為 1 ） 又因?yàn)榧墧?shù) 在 均收斂，且 在 均連續(xù)，因此， 。 (2) 見練習(xí) 2（ 3）。 59 (3) 由于 ，所以，當(dāng) 時， xn (4) 由于 所以， (5)由于 所以， 1 即 因此， 即 （收斂半徑為1） （收斂半徑為 1）。 ( 又因?yàn)榧墧?shù) 續(xù)，因此， 在 均收斂，且 在 均連 。 60 1 ， 。 19. 解 。 2 20. 解 : 由于 所以， 即 。 21. 解 1 23 。 22. 解： (1) 由于 ， ， ， ， ； 從而， f( 。 因此，在 x=1 處的泰勒展開式為： 61 。 (2) 由于 x， x2， ， ， ，所以， 。 因此， 在 x=1 處的泰 勒展開式為： x。 23. 解： (1) 顯然，級數(shù) 的收斂區(qū)間為 [1， 1]。 令 ，則 。 從而， ， ， 所以，當(dāng) 且 時， ； 當(dāng) 時，顯然有 ； 當(dāng) 時， 且 故 (2) 顯然，級數(shù) 的收斂區(qū)間為（ 1， 1）。 令 ，則 。 所以， 。 62 (3) 顯然，級數(shù) 的收斂區(qū)間為（ 1， 1）。 令 ， 則 從而 因此 。 24. 解 : 令 ， 則 所以， 。 。 。 從而 33 25*. 解： (1) 由于 而級數(shù) ， 且 級 數(shù) 發(fā)散， 因?yàn)? n 63 因此，級數(shù) 發(fā)散。 所以，級數(shù) 發(fā)散。 由于，且級數(shù)收斂， 因此，此級數(shù)收斂。 (3) 由于 ， 而級數(shù) 發(fā)散，所以， 此級數(shù)發(fā)散。 26*. 解 : 令 ，則此級數(shù)變?yōu)閮缂墧?shù) 。 我們可以方便地求得冪級數(shù) 的收斂區(qū)間為（ 1， 1）。 由于級數(shù) 收斂，所以，由 解得 ； 33 又由于 q0，因此， q的取值范圍為 27*. 1。 3 解： (1) 當(dāng) 時，此級數(shù)的通項(xiàng)為 ，故此級數(shù)在 時絕對收斂。 當(dāng)時，此級數(shù)為 。 由于 ， 且 級 數(shù) 發(fā) ，而散，所以，級數(shù) 在 時非絕對收斂；又因?yàn)榧墧?shù) 為交錯級數(shù)，且 在 時單調(diào)遞減趨于零，因此， 64 級數(shù) 在 時條件收斂。即此級數(shù)在 時條件收斂。 當(dāng) 時，此級數(shù)為 ) 。 ， 且 級 數(shù) 發(fā)散，由于 ，而 所以，級數(shù) 在 時非絕對收斂；又因?yàn)榧墧?shù) 為交 錯級數(shù)，且 在 時單調(diào)遞減趨于零，因此，級數(shù)時條件收斂。即此級數(shù)在 時條件收斂。 在 (2) 當(dāng) 時，由于 ，因此，此級數(shù)在 時發(fā)散。 1 收斂，因此，此級數(shù)在 時絕對收斂。 nx 1 當(dāng) 時，由于 發(fā)散，所以，此級數(shù)在 時非絕對收 n1 斂；又由于此級數(shù)是交錯級數(shù)，且 單調(diào)遞減趨于零，因此，此級數(shù)在時 n 當(dāng) 時，由于 條件收斂。 an ，因此，此級數(shù)在 時發(fā)散。 (3) 當(dāng) 時，由于 ，且級數(shù) 在 時收斂，因此，此級數(shù)當(dāng) 時，由于 |k 在 時絕對收斂。 an111 ，且級數(shù) 在 時收斂，當(dāng) 且 時，由于 |k 因此，此級數(shù)在 且 時絕對收斂。 1111 當(dāng) 且 時，此級數(shù)為 。由于 k，而級數(shù) 發(fā)散 , 因此，此級數(shù)在 且 時發(fā)散。 當(dāng) 且 時，此級數(shù)為 。由于 1 在 時 k 65 發(fā)散，所以，此級數(shù)在 且 時非絕對收斂；又由于 為交錯級數(shù)，且 單調(diào)遞減趨于零，因此，此級數(shù)在 且 時條件收斂。 28*. 解 : 見習(xí)題十中的題 12。 29*. 解 : 由于 所以， ， 即 。 （收斂半徑為 1） 又因?yàn)榧墧?shù) 在 處收斂，且 在 處連續(xù)， 所以， 。 30*. 解：先求冪級數(shù) 的和函數(shù)。 令 由于 ， 所以， ， 因此， 。 1 。 從而， 2 66