【正文】 )(),(),( axy xxkyyyxAyxP 的坐標(biāo)是方程組和點(diǎn) 的解 將 ②式代入①式，得 000112 ???? yxkxkax ， 于是011101 , xakxakxx ???? 故 ③ 又點(diǎn)??? ? ???2 0102200)(),(),( axy xxkyyyxByxP 的坐標(biāo)是方程組和點(diǎn) 的解 將⑤式代入④式，得 000222 ???? yxkxkax ， 于是022202 , xakxakxx ???? 故 高 中 數(shù) 學(xué) 培 優(yōu) 教 程 高考特訓(xùn)班 75866017 TEL 13626376444 22 由已知得， .,01212 xkaxkk ????? ?? 則 ⑥ 設(shè)點(diǎn) M 的坐標(biāo)為 .1,),( 12 ??? ???? xxxMABMyxMMM 則則 將③式和⑥式代入上式，得 .0,10000 ???????? xxxxxx MM 即?? 所以線段 PM 的中點(diǎn)在 y 軸上 （ 3）因?yàn)辄c(diǎn) P（ 1，－ 1）在拋物線 .,1, 22 xyaaxy ????? 所以拋物線的方程為所以上 由③式知 211211 )1(,1 ???????? kyxykx 得代入 將 1?? 代入⑥式得 211212 )1(,1 ??????? kyxykx 得代入 因此，直線 PA、 PB 分別與拋物線 C 的交點(diǎn) A、 B 的坐標(biāo)為 21111111111211111112111211121)1(.02120,),12)(2(2)2(4)2(2)4,2(),2,2(,).12,1(),12,1(????????????????????????????????kyyAkkkABAPBAPP A BkkkkkkkkABAPkkABkkkAPkkkBkkkA滿足的縱坐標(biāo)又點(diǎn)或的取值范圍是求得故必有三點(diǎn)互不相同為鈍角且因?yàn)樗杂谑?故當(dāng) 411,021。1,2111 ??????????? ykyk 時(shí)當(dāng)時(shí) 即 )41,1()1,(1 ?????? ?y 6 (2022 屆高考數(shù)學(xué)快速提升成績(jī)題型訓(xùn)練 )如圖，已知點(diǎn) F（ 1， 0），直線 1: ??xl 為平面上的動(dòng)點(diǎn)，過 P 作直線 l 的垂線，垂足為點(diǎn) Q，若 .FQFPQFQP ??? （ 1）求動(dòng)點(diǎn) P 的軌跡 C 的方程； （ 2）過點(diǎn) M（－ 1， 0）作直線 m 交軌跡 C 于 A， B 兩點(diǎn)。 （Ⅰ）記直線 FA， FB 的斜率分別為 k1,k2，求 k1+k2 的值； （Ⅱ）若線段 AB 上點(diǎn) R 滿足 ,|| |||| || RBRAMBMA ?求證： RF⊥ MF。 高 中 數(shù) 學(xué) 培 優(yōu) 教 程 高考特訓(xùn)班 75866017 TEL 13626376444 23 解：（ 1）設(shè)點(diǎn) ),1(),( yQyxP ?則 由 :得FQFPQFQP ??? xyCyyxyx 4:),2(),1(),2()0,1( 2 ???????? 化簡(jiǎn)得 （ 2）（Ⅰ）由題意直線 m 斜率存在且不為 0， 設(shè)直線 )1(: ?? xkum 與拋物線方程聯(lián)立 ??? ? ?? xy xky 4 )1(2 得 0)42( 2222 ???? kxkxk ??? ???00k 011 ????? kk 且 設(shè) 1,24),(),(2122211111 ???? xxk kxxyxByxA 則 11 2 21 111 ????? x yx ykk 0))(1 4)(22(1 )1(1 )1( 2121 212 21 1 ???? ?????????? xxxx xxkxxkxxk （Ⅱ）設(shè)動(dòng)點(diǎn) R 12211),( 21 21212211 ??? ???????? xx xxxxxxxxxxxyx 得由 MFRF?? 6 (2022屆高考數(shù)學(xué)快速提升成績(jī)題型訓(xùn)練 )已知橢圓 C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)， F F2分別為它的左、右焦點(diǎn)，直 線 x=4為它的一條準(zhǔn)線，又知橢圓 C上存在點(diǎn) M使 .|||||,|||2 212121 MFMFMFMFMFMF ???? （ 1）求橢圓 C的方程； （ 2）若 PQ 為過橢圓焦點(diǎn) F2的弦，且 QPFQFPF 122 ?? ，求? 內(nèi)切圓面積最大時(shí)實(shí)數(shù) ? 的值 . 高 中 數(shù) 學(xué) 培 優(yōu) 教 程 高考特訓(xùn)班 75866017 TEL 13626376444 24 解：（ 1）據(jù)題意，設(shè)橢圓 C的方程為 222222 ),0(1 bacbabyax ?????? ， ∵直線 x=4 為橢圓 C的準(zhǔn)線， ∴ 42 ?ca 又 |||| 21 MFMF ? ， ∴ M為橢圓 C短軸上的頂點(diǎn)， ∵21||||c os,2|||| 21 21212121 ????????? MFMF MFMFMFFMFMFMFMF， ∴ ??? 6021MFF ，△ F1MF2為等邊三角形 ∴ 1,2,242|||| 211 ???????? caacacMFMFa ，故 且 312 12222 ????? cab ，∴橢圓 C的方程為 134 22 ?? yx （ 2）顯然直線 PQ 不與 x軸重合，當(dāng) PQ與 x軸垂直，即直線 PQ 分斜率不存在時(shí)， 2||,32 322|| 212 ????? FFabPQ ∴ .323211 ????? QPFS 當(dāng)直線 PQ斜率存在時(shí)，設(shè)它的斜率為 k， 則直線 PQ的方程為 )0)(1( ??? kxky ，代入橢圓 C的方程，消去 x的并整理得： ),(),(0)34(3636,096)34( 2211222222 yxQyxPkkkkkyyk ，設(shè)????????? 則 34 9,34 62221221 ???????? k kyyk kyy ∴34 )1(124)(11||11|| 22212212212 ????????????? k kyyyykyykPQ 設(shè) 4k2+3=t，則 t3，此時(shí) .432 ??tk .34)311(3343)43(12 2221 ????????? ttttS QPF ∵ .30,31101 ????? ? QPFSt 綜上，直線 PQ與 x軸垂直時(shí)，△ PF1Q的面積最大，且最大面積為 3. 高 中 數(shù) 學(xué) 培 優(yōu) 教 程 高考特訓(xùn)班 75866017 TEL 13626376444 25 設(shè)△ PF1Q內(nèi)切圓半徑為 r，則 RrQFQFPFPFrQFPQPFS QPF 4|)||||||(|21|)||||(|21 2121111 ??????????? ∴ 4343,34 ??? rrr ，即 時(shí)，△ PF1Q 內(nèi)切圓面積最大，此時(shí)不 存在，直線 PQ 與 x 軸垂直，∴ .122 ?? ?，即QFPF 6 (2022 屆高考數(shù)學(xué)快速提升成績(jī)題型訓(xùn)練 )已知橢圓 )0(1:2222 ???? babyaxC ，通徑長(zhǎng)為 1，且焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形 . （ 1）求橢圓的方程； （ 2）過點(diǎn) Q（－ 1， 0）的直線 l 交橢圓于 A， B 兩點(diǎn)，交直線 x=－ 4 于點(diǎn) E，點(diǎn) Q 分 AB 所成比為λ，點(diǎn) E 分 AB 所成比為μ，求證λ +μ為定值，并計(jì)算出該定值 . 解（ 1）由 條件得?????????????12212 2baabab ，所以方程14 22 ??yx （ 2）易知直線 l 斜率存在，令 ),4(),(),(),1(: 02211 yEyxByxAxkyl ??? 由 016480448)41(14)1(2222222 ???????????????????kkxkxkyxxky 22212221 41 44,41 8 kkxxkkxx ? ?????? 由??? ?????????????21212211 )1)(1()1(),1(),1( yy xxyxyxQBAQ ? ??? 即 由??? ??? ???????????? )( )2)(4()4(),4(),4(021011022101 yyyy xxyyxyyxEBAE ? ??? 即 由（ 1）44)2(,11 2121 ???????? xxxx ?? 由 )4)(1( 8)(52)4)(1( )1)(4()4)(1( 22 212122 2121 ?? ??????? ????????? xx xxxxxx xxxx?? 將22212221 41 44,41 8 kkxxkkxx ? ??????代入有 高 中 數(shù) 學(xué) 培 優(yōu) 教 程 高考特訓(xùn)班 75866017 TEL 13626376444 26 0)4)(1( 413284088)4)(1(841 4041 88222222222222??? ????????? ????????? xx kkkkxx kkkk?? 6 (2022 屆高考數(shù)學(xué)快速提升成績(jī)題型訓(xùn)練 )已知⊙ M： xQyx 是,1)2( 22 ??? 軸上的動(dòng)點(diǎn)，QA， QB 分別切⊙ M 于 A， B 兩點(diǎn)，（ 1）如果 324|| ?AB ，求直線 MQ 的方程； （ 2）求動(dòng)弦 AB 的中點(diǎn) P 的軌跡方程 . 解 :（ 1）由 324|| ?AB ，可得 ,31)3 22(1)2 ||(|||| 2222 ????? ABMAMP由射影定理，得 ,3|||,||||| 2 ??? MQMQMPMB 得 在 Rt△ MOQ 中， 523|||||| 2222 ????? MOMQOQ ， 故 55 ??? aa 或 ， 所以直線 AB 方程是 。0525205252 ?????? yxyx 或 （ 2）連接 MB， MQ，設(shè) ),0,(),( aQyxP 由 點(diǎn) M， P， Q 在一直線上，得 (*),22 xya ??? 由射影定理得 |,||||| 2 MQMPMB ?? 即 (* * ),14)2( 222 ????? ayx 把（ *）及（ **）消去 a， 并注意到 2?y ，可得 ).2(161)47( 22 ???? yyx 6 (浙江省嘉興市 )2022 年北京奧運(yùn)會(huì)中國(guó)跳水夢(mèng)之隊(duì)取得了輝煌的成績(jī)。 據(jù)科學(xué)測(cè)算，跳水運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行 10 米跳臺(tái)跳水訓(xùn)練時(shí)， 身體（看成一點(diǎn)）在空中的運(yùn)動(dòng)軌跡（如圖所示）是 一經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的拋物線（圖中標(biāo)出數(shù)字為已知條件）， 且在跳某個(gè)規(guī)定動(dòng)作時(shí)，正常情況下運(yùn)動(dòng)員在空中的最 高點(diǎn)距水面 2103 米，入水處距池邊 4 米，同時(shí)運(yùn)動(dòng)員在 距水面 5 米或 5 米以上 時(shí)，必須完成規(guī)定的翻騰動(dòng)作， 并調(diào)整好入水姿勢(shì)，否則就會(huì)出現(xiàn)失誤。 （ 1）求拋物線的解析式； （ 2）在某次試跳中，測(cè)得運(yùn)動(dòng)員在空中 的運(yùn)動(dòng)軌跡為（ 1）中的拋物線，且運(yùn)動(dòng)員在空中 調(diào)整好入水姿勢(shì)時(shí)距池邊的水平距離為 335 米，問 此次跳水會(huì)不會(huì)失誤？請(qǐng)通過計(jì)算說明理由； （ 3）某運(yùn)動(dòng)員按（ 1）中拋物線運(yùn)行，要使得此次跳水成功，他在空中調(diào)整好入水姿勢(shì)時(shí)，距池邊的水平距離至多應(yīng)為多大？ 解：（ 1）由已知可設(shè)拋物線方程為 2 2( ) 0 , 0 )3y a x h a h? ? ? ? ?(其 中 又拋物線過（ 0， 0）和（ 2， 10） （ 2 分） 池 邊o