【正文】 列，則 21 22 23,a a a 成等差數(shù)列， 22 21 232a a a? ? ? 解得， 1q? ，此時， 212 1 nna d q q q ?? ? ? ? ? ?= nd??， 2( 1) 2 1nnaa? ??， 2{}na 成等差數(shù)列，此時， 1q? 問題②：第 2 列能否成等差數(shù)列？研究略 . 問題③：第 2 列能否成等比數(shù)列？ 問題④：第 3 行能否成等差數(shù)列？ 4．（上海市長寧區(qū) 2022 學(xué)年高三年級第一次質(zhì)量調(diào)研 20）（本題滿分 16 分）第 1 小題滿分 4 分，第 2小題滿分 4 分，第 3 小題滿分 8 分 . 已知二次函數(shù) ()y f x? 對任意 xR? 滿足 ( 1) ( )f x f x? ? ?，且圖像經(jīng)過點(diǎn) ( 2,1)? 及坐標(biāo)原點(diǎn) . （ 1）求函數(shù) ()y f x? 的解析式； （ 2）設(shè)數(shù)列 {}na 前 n 項(xiàng)和 ()nS f n? ，求數(shù)列 {}na 的通項(xiàng)公式 na ； (3）對 (2)中 na ，設(shè) 1 ,nnnbTa?為數(shù)列 {}nb 前 n 項(xiàng)和，試問：是否存在關(guān)于 n 的整式()gn ，使得 1 2 1 ( 1 ) ( )nnT T T T g n?? ? ? ? ?對于一切不小于 2 的自然數(shù) n 恒成立？若存在，寫出 ()gn 的解析式，并加以證明；若不存在，請說明理由 . 4.(Ⅰ ) 211() 22f x x x?? (Ⅱ ) 2*1 ( ) ( )2nnS n n a n n N? ? ? ? ? (Ⅲ ) 1 1 1 1,1 23nnbT? ? ? ? ? ? 設(shè)存在滿足條件的 ()gn . 當(dāng) 122 , ( 1 ) ( 2 )n T T g? ? ?，解得 (2) 2g ? . 當(dāng) 1 2 33 , ( 1 ) ( 3 )n T T T g? ? ? ?,解得 (3) 3g ? . 猜想： ()gn n? . 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： *1 2 1 ( 1 ) ( 2 , )nnT T T T n n n N?? ? ? ? ? ? ? 證明： (1)當(dāng) 2n? 時，由上述可知，結(jié)論成立， (2)假設(shè)當(dāng) ( 2)n k k??時，結(jié)論成立，即 1 2 1 ( 1 )kkT T T T k?? ? ? ? ?成立， 則 1nk??時，左邊 = 1 2 1kkT T T T?? ? ? ? ( 1)kkT k T? ? ? 111( 1 )1= ( ) ( 1 )1( 1 ) 1= ( 1 ) ( 1 )kkkkT k kT k kkT k kTk???? ? ?? ? ??? ? ? ?? ? ? 右 即 1nk??時，結(jié)論也成立 . 根據(jù) (1)(2)可知，對 *2,n n N??時，結(jié)論成立 . 因此，存在 ()gn n? 滿足條件 . 5．（ 上海市寶山區(qū) 2022 學(xué)年高三年級第一次質(zhì)量調(diào)研 20）（本題滿分 16 分）本題共有 3 個小題，第 1 小題滿分 4 分，第 2 小題滿分 6 分，第 3 小題滿分 6 分． 函數(shù)是這樣定義的：對于任意整數(shù) m ，當(dāng)實(shí)數(shù) x 滿足不等式 1||2xm??時，有()f x m? ． （ 1）求函數(shù)的定義域 D ，并畫出它在 [0,4]xD? 上的圖像； （ 2）若數(shù)列 22 10 ( )5 nna ??，記 1 2 3( ) ( ) ( ) ( )nnS f a f a f a f a? ? ? ? ?，求 nS ； （ 3）若等比數(shù)列 {}nb 的首項(xiàng)是 1 1b? ，公比為 ( 0)qq? ，又 1 2 3( ) ( ) ( ) 4,f b f b f b? ? ?求公比 q 的取值范圍． O xy1 2 3 41234 5. (1)函數(shù) ()fx的定義域是 1{ | , , } ,2D x x m m Z x R? ? ? ? ? 圖像如圖所示，O xy1 2 3 41234 (2)由于 22 10 ( ) ,5 nna ? ? ?所以6 14 2( ) ,3 32 4nnnfann??? ??? ? ??? ?? 因此， 6 1 10 22 7 3nnSnnn??????????； (3)由 1 2 3( ) ( ) ( ) 4f b f b f b? ? ?得 2( ) ( ) 3,q f q?? 當(dāng) 01q??時，則 2 1qq?? ，所以 2( ) ( ) (1 ) 1f q f q f? ? ?， 則 2( ) ( ) 2 3,f q f q? ? ?不合題意； 當(dāng) 1q? 時，則 2 1qq?? ，所以 2( ) ( ) (1 ) 1f q f q f? ? ? 只可能是2( ) 1 ,( ) 2fqfq??? ??即21322,3522qq? ?????? ????解之得 6322q?? . 6. （上海虹口區(qū) 08 學(xué)年高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末試卷 19） （本題滿分 14 分） 第 1 小題 6 分，第 2 小題 8 分 . 已知： ( ) log ( 0 1 )af x x a? ? ?.若數(shù)列 {}na 使得*122, ( ) , ( ) , , ( ) , 2 4 ( )nf a f a f a n n N??成等差數(shù)列 . (1)求數(shù)列 {}na 的通項(xiàng)； (2)設(shè) ()n n nb a f a? ，若 {}nb 的前 n 項(xiàng)和為 nS ，求 nS . :(1) 2 4 2 ( 1 ) , 2 ,n n d d? ? ? ? ? ? 22( ) 2 2 l o g , nn a n nf a n a a a ?? ? ? ? ? (2) 22( 2 2) ,nnb n a ??? 4 6 2 24 6 ( 2 2 ) nnS a a n a ?? ? ? ? ?，① 2 6 8 2 2 2 4 4 6 2 ( 2 2 )nnna S a a n a n a??? ? ? ? ? ?，② ② ①，整理，得 42 22221[ 1 ( 1 ) ]11n nn aaS n a?? ? ? ??? 7．（ 上 海 市 高 考 模 擬 試 題 21）已知數(shù)列 ??na 有 aa?1 ， pa ?2 （常數(shù) 0?p ），對任意的正整數(shù) n ， nn aaaS ???? ?21 ，并有 nS 滿足 2 )( 1aanS nn ?? 。 （ 1）求 a 的值； （ 2）試確定數(shù)列 ??na 是否是等差數(shù)列，若是，求出其通項(xiàng)公式，若不是，說明理由； （ 3）對于數(shù)列 ??nb ，假如存在一個常數(shù) b 使得對任意的正整數(shù) n 都有 bbn? ， 且 bbnn ???lim，則稱 b 為數(shù)列 ??nb 的“上漸近值”，令2112???? ??nnnnn SSSSp ， 求數(shù)列 ? ?nppp n 221 ???? ? 的“上漸近值”。 7．解：（ 1） 02 1111 ???? aaaS，即 0?a （ 2 ）? ?2 1 11 ?? ????? nnnnn annaSSa 121 ????? nn anna ? ? pnannnn 11223343221 2 ????????????? ? ∴ ??na 是一個以 0 為首項(xiàng)， p 為公差的等差數(shù)列。 （ 3） ? ? ? ?2 121 pnnaanS nn ????， 2112???? ??nnnnn SSSSp ?????? ???????? 2112222 nnn nnn ∴ ?????? ???????????????????? 21111116141513141213112221 nnnnnppp n ?? 321112321112112 ??????? ??????????? ?????? nnnn 又∵ ? ? 32lim21 ??????? nppp nn ?， ∴數(shù)列 ? ?nppp n 221 ???? ? 的“上漸近值”為 3 。 8．（上海市 2022 屆高三年級十四校聯(lián)考數(shù)學(xué)理科卷 21）（本題滿分 20 分）本題共 4 小題，第 1 小題 4 分，第 2 小題 6 分，第 3 小題 4 分，第 4 小題 4 分。 設(shè) 數(shù) 列 xxxfSnNnSna nnn ??? 2* )(),(,}{ 在函數(shù)點(diǎn)對一切項(xiàng)和為的前 的圖象上。 （ 1）求 na 的表達(dá)式； （ 2）設(shè) ,}1{ anaaA nnn 是否存在實(shí)數(shù)項(xiàng)積的前為數(shù)列 ?使得不等式 *1 NnaaA nn ??? 對一切 都成立？若存在，求出 a 的取值范圍；若不存在，請說明理由； （ 3）將數(shù)列 { na }依次按 1 項(xiàng)， 2 項(xiàng)循環(huán)地分為 )(),(),(),(),(),(),( 10987654321 aaaaaaaaaa ， ?，分別計(jì)算各個括號內(nèi)各數(shù)之和，設(shè)由這些和按原來括號的前后順序構(gòu)成的數(shù)列為 100},{ bbn 求 的值； （ 4）如果將數(shù)列 { na }依次按 1 項(xiàng)， 2 項(xiàng)， 3 項(xiàng)，?， )3( ?mm 項(xiàng)循環(huán)； 分別計(jì)算各個括號內(nèi)各數(shù)之和，設(shè)由這些和按原來括號的前后順序構(gòu)成的數(shù)列為 }{nb ，提出同（ 3）類似的問題（（ 3）應(yīng)當(dāng)作為特例），并進(jìn)行研究，你能得到什么樣的結(jié)論？ 8. 解：（ 1） .,)(),( 22 nnSxxxfSn nn ????? 的圖象上在函數(shù)點(diǎn)? ???? 1 分 分 時也成立時當(dāng) 4).(2 ).1(2,2,2 * 111 ????Nnna nnSSanSa n nnn??? ??????? ? （ 2） )11()11)(11(21 nn aaaA ???? ? 設(shè) ,12)11()11)(11(12)(21 ??????? naaanAng nn ? 分所以因?yàn)?).1()(,1484 38412 3222 1212 32)11()( )1( 221????????? ????????????????ngngnnnnnnnnnnangngn 故 23)()]([,)(m a x ?? lgngng 于是單調(diào)遞減 要使不等式 .2 3,1 * 即可只需都成立對一切 ???? aNnaaAnn ???? 10 分 （ 3）數(shù)列 }{na 依次按 1 項(xiàng)， 2 項(xiàng)循環(huán)地分為（ 2），（ 4， 6），（ 8），（ 10， 12）；（ 14），（ 16， 18）；（ 20），?，每一次循環(huán)記為一組。由于每一個 循環(huán)含有 2 個括號，故 b100是第 50 組中第 2 個括號內(nèi)各數(shù)之和。 由分組規(guī)律知， 12,1064,, 21 00642 ???? dbbbbb 公差組成一個首項(xiàng)?? 的等差數(shù)列。 ???? 13 分 所以 .5 9 812)150(101 0 0 ?????b ???? 14 分 （ 4）當(dāng) n 是 m 的整數(shù)倍時，求 nb 的值。 數(shù)列 }{na 依次按 1 項(xiàng)、 2 項(xiàng)、 3 項(xiàng)，?， m 項(xiàng)循環(huán)地分為（ 2），（ 4， 6），（ 8，10 ， 12 ） ， ? ，),2()。,6,4,2( 22222 ????????? mmmmmmmmmm ? .),222(),22,42,22(,),6,4( 222222 ??? ????????? mmmmmmmmmm第 m 組，第 2m 組，?，第 )( *Nkkm ? 組的第 1 個 數(shù)，第 2 個數(shù)，?，第 m個 數(shù) 分 別 組 成 一 個 等 差 數(shù) 列 ， 其 首 項(xiàng) 分 別 為).1(.,6,4,2 2222 ???????? mmmmmmmmmm 公差均為??? 16 分 則第 m 組、第 2m 組，?，第 km 組，?的各數(shù)之和也組成一個等差數(shù)列，其公差為