高考數(shù)學(xué)理一輪復(fù)習(xí)課件第77講不等式的證明方法人教a版-資料下載頁
2025-01-08 14:10本頁面
【正文】 ) 因為a2b＋ b ≥ 2 a ，b2c＋ c ≥ 2 b ，c2a＋ a ≥ 2 c ， 故a2b＋b2c＋c2a＋ ( a ＋ b ＋ c ) ≥ 2 ( a ＋ b ＋ c ) ， 即a2b＋b2c＋c2a≥ a ＋ b ＋ c ， 所以a2b＋b2c＋c2a≥ 1. 3. ( 2 0 1 1 安徽卷 ) ( 1 ) 設(shè) x ≥ 1 ， y ≥ 1 ， 證明 ： x ＋ y ＋1xy≤1x＋1y＋ xy ； ( 2 ) 1 ＜ a ≤ b ≤ c ， 證明 ： l o gab ＋ lo gbc ＋ l o gca ≤ l o gba ＋lo gcb ＋ l o gac . 證明： ( 1 )( 方法一：分析法 ) 因為 x ≥ 1 ， y ≥ 1 ，所以 欲證： x ＋ y ＋1xy≤1x＋1y＋ xy ， 只需證： xy ( x ＋ y ) ＋ 1 ≤ y ＋ x ＋ x2y2， 即證： ( y ＋ x ＋ x2y2) － [ xy ( x ＋ y ) ＋ 1 ] ≥ 0 ， 只需證： ( x2y2－ 1 ) － [ xy ( x ＋ y ) － ( x ＋ y )] ≥ 0 ， 只需證： ( xy ＋ 1 )( xy － 1 ) － ( x ＋ y )( xy － 1 ) ≥ 0 ， 即證： ( xy － 1 )( xy ＋ 1 － x － y ) ≥ 0 ， 只需證： ( xy － 1 )( x － 1 )( y － 1 ) ≥ 0 ， 因為 x ≥ 1 ， y ≥ 1 ，所以 ( xy － 1 )( x － 1 )( y － 1 ) ≥ 0 是成立的， 從而所要證明的不等式成立 ． ( 方法二：比較法 )(1x＋1y＋ xy ) － ( x ＋ y ＋1xy) ＝1xy[( y ＋ x ＋ x2y2) － xy ( x ＋ y ) － 1 ] ＝1xy{ ( x2y2－ 1 ) － [ xy ( x ＋ y ) － ( x ＋ y )] } ＝1xy[( xy ＋ 1 )( xy － 1 ) － ( x ＋ y )( xy － 1 )] ＝1xy( xy － 1 )( xy ＋ 1 － x － y ) ＝1xy( xy － 1 )( x － 1 )( y － 1 ) ． 因為 x ≥ 1 ， y ≥ 1 ，所以1xy( xy － 1 )( x － 1 )( y － 1 ) ≥ 0 ， 故 x ＋ y ＋1xy≤1x＋1y＋ xy . ( 2 ) 設(shè) lo gab ＝ x ， l o gbc ＝ y ， 由對數(shù)的換底公式得 lo gca ＝1xy， l o gba ＝1x， lo gcb ＝1y， lo gac ＝ xy ， 于是，所要證明的不等式即為 x ＋ y ＋1xy≤1x＋1y＋ xy ， 其中 x ＝ l o gab ≥ 1 ， y ＝ lo gbc ≥ 1 ， 故由 ( 1 ) 知所要證明的不等式成立 ．
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