高考數(shù)學(xué)理一輪復(fù)習(xí)-資料下載頁(yè)
2025-01-08 13:48本頁(yè)面
【正文】 如圖，四棱錐S ABCD 中， AB ∥ CD ， BC ⊥ CD ，側(cè)面 SAB 為等邊三角形． AB＝ BC ＝ 2 ， CD ＝ SD ＝ 1. (1) 證明： SD ⊥ 平面 SA B ； (2) 求 AB 與平面 SBC 所成的角的正弦值． (1) 本題可以通過(guò)計(jì)算邊邊關(guān)系證明 SD ⊥ 平面 SAB ，第 2 問(wèn)也可作出 AB 與平面 SBC 所成的角，利用解三角形來(lái)計(jì)算，但這種方法必須加輔助線，且易找錯(cuò)角，故考慮用向量法，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系是解題關(guān)鍵． [ 解答示范 ] 以 C 為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線 CD 為 x 正半軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 C x y z . 設(shè) D (1,0,0 ) ，則 A (2,2,0 ) 、 B (0,2,0 ) ． 又設(shè) S ( x ， y ， z ) ，則 x ＞ 0 ， y ＞ 0 ， z ＞ 0. (1) 證明 A S→＝ ( x － 2 ， y － 2 ， z ) ， BS→＝ ( x ， y － 2 ， z ) ， DS→＝ ( x－ 1 ， y ， z ) ，由 |AS→|＝ |BS→|得 ? x － 2 ?2＋ ? y － 2 ?2＋ z2＝ x2＋ ? y － 2 ?2＋ z2， 故 x ＝ 1. 由 |DS→|＝ 1 得 y2＋ z2＝ 1 ， 又由 |BS→|＝ 2 得 x2＋ ( y － 2)2＋ z2＝ 4 ， 即 y2＋ z2－ 4 y ＋ 1 ＝ 0 ，故 y ＝12， z ＝32. 于是 S????????1 ，12，32， AS→＝????????－ 1 ，－32，32， BS→＝????????1 ，－32，32，DS→＝????????0 ，12，32， DS→ AS→＝ 0 ， DS→ BS→＝ 0 ，故 DS ⊥ AS ， DS ⊥BS ，又 AS ∩ BS ＝ S ，所以 SD ⊥ 平面 SAB . (6 分 ) (2) 解 設(shè)平面 SBC 的法向量 a ＝ ( m ， n ， p ) ，則 a ⊥ BS→， a ⊥CB→， ∴ a BS→＝ 0 ， a CB→＝ 0. 又 BS→＝????????1 ，－32，32， CB→＝ (0,2,0 ) ， 故????? m －32n ＋32p ＝ 0 ，2 n ＝ 0.(9 分 ) 取 p ＝ 2 得 a ＝ ( － 3 ， 0,2) ． 又 AB→＝ ( － 2,0,0) ， c os 〈 AB→， a 〉＝AB→ a|AB→| | a |＝217. 故 AB 與平面 SBC 所成角的正弦值為217. ( 12 分 ) 直線和平面的位置關(guān)系可以利用直線的方向向量和平面的法向量之間的關(guān)系來(lái)判斷．證明的主要思路是： (1) 證明線線平行：可證兩條直線的方向向量共線； (2) 證明 線面平行 ： ① 證明直線的方向向量和平面的法向量垂直， ② 證明直線的方向向量可用平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量線性表示； (3)證明面面平行：可證兩個(gè)平面的法向量共線； (4) 證明線線垂直：可證兩條直線的方向向量垂直； (5) 證明線面垂直： ① 證明直線的方向向量和平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量垂直， ② 證明直線的方向向量與平面的法向量共線； (6) 證明面面垂直：可證兩個(gè)平面的法向量互相垂直． 單擊此處進(jìn)入 活頁(yè)限時(shí)訓(xùn)練
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