【正文】 ? ? ? ?． 8. 設(shè)函數(shù) f（ x） = xaxx ln1 ?? 在 [1+，∞ ) 上為增函數(shù) . （ 1）求正實(shí)數(shù) a的取值范圍 . （ 2）若 a=1，求征：114131211413121 ???????????? nnnln n ??（ n∈ N*且 n≥ 2） 解： （ 1）由已知： )(xf? = ? ?012 ?? aaxax 依題意得：21axax?≥ 0對(duì) x∈ [1， +∞ ) 恒成立 ∴ ax－ 1≥ 0對(duì) x∈ [1， +∞ ) 恒成立 ∴ a－ 1≥ 0即： a≥ 1 （ 2）∵ a=1 ∴由（ 1）知： f（ x） = xlnxx??1在 [1， +∞ ) 上為增函數(shù)， ∴ n≥ 2時(shí)： f（ 1?nn ） = ? ? 011111 11 ???????? ?? fnnnlnnnlnnnnn 即：11 ?? nnlnn ∴ nnn nlnlnlnn 1123121413121 ?????????? ?? 設(shè) g（ x） =lnx－ x x∈ [1， +∞ ) ， 則 011)( ???? xxg 對(duì) ),1[ ???x 恒成立， ∴ g′ （ x）在 [1+∞ ) 為減 函數(shù) ∴ n≥ 2時(shí)： g（ 1?nn ） =ln 1?nn － 1?nn g（ 1） =－ 10 即： ln 1?nn 1?nn =1+ 1?nn （ n≥ 2） ∴113121)111()211()111(1ln34ln23ln12ln ???????????????????? nnnnn n ??? 綜上所證： 11312113121 ?????????? nnnlnn ?? （ n∈ N*且≥ 2）成立 . 9. 已知數(shù)列 ??na 滿足 ? ?11 141, 21nn naa a nka ??? ? ??. （ 1）求數(shù)列 ??na 的通項(xiàng)公式； （ 2）當(dāng) 13k??時(shí)，證明不等式：12 38n nka a a k?? ? ? ?. 解： （ 1）當(dāng) 2n? 時(shí)，因?yàn)?114 1nnnaa ka ??? ?，所以 11111 1 14 4 4nn n nka ka a a????? ? ? ?，所以11 1 13 4 3nnkkaa???? ? ?????.因此： ① 當(dāng) 3k? 時(shí)，數(shù)列 1 1na???????是各項(xiàng)為 0的常數(shù)列，所以 1na? . ② 當(dāng) 13k??時(shí)，數(shù)列 13n ka???????是以 13k?為首項(xiàng)， 14為公比的等比數(shù)列，所以11113 3 4nnkka ?? ?? ?? ? ?? ?? ?? ?? ?，所以 113443nn na kk???? ? ? ?.又 1 1a? 適合此式，因此? ?1 *13443nn na n Nkk?????? ? ?. 綜①②，得 ? ?1 *13443nn na n Nkk?????? ? ?. （ 2）由 ? ?1 *13443nn na n Nkk?????? ? ?，得 ? ?11 13 3 4 3 3 943 43nn n nka k k k k k k k?? ???? ? ? ?? ? ? ? ? ?. 因?yàn)?13k??，所以113 9 1 10, 4 3 4nnk k k k k??? ??? ? ? ?，所以1 2 13 3 9 1 3 9 144n nnkka k k k k????? ? ? ? ??， 所以1 2 1 23 8 3 3 3 8nnnka a a a a ak k k k? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 1 2 2 24 3 4 3 4 2 3 13 9 1 1 11 8 1 8 84 4 4 nnk k k kk k k k k???? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ???. 因?yàn)?13k??，所以 ? ?? ?24 2 3 1 0kkk???，因此不等式12 38n nka a a k?? ? ? ?成立 . 10. 已知數(shù)列 ??na 滿足 ? ?11 141, 221nn naa a na ??? ? ??. （ 1）求數(shù)列 ??na 的通項(xiàng)公式； （ 2）證明不等式：12 3 1 62n na a a ?? ? ? ?. 解：（ 1）當(dāng) 2n? 時(shí)，因?yàn)?11421nnnaa a ??? ?，所以 111211 1 1 14 4 2nn n naa a a????? ? ? ?，所以11 2 1 1 23 4 3nnaa???? ? ?????.因此數(shù)列 123na???????是以 13 為首項(xiàng)， 14 為公比的等比數(shù)列，所以11 2 1 13 3 4nna?????????， 所以 11342 4 1nn na???? ??.又 1 1a? 適合此式，因此 ? ?1 *1342 4 1nn na n N???????. 綜①②，得 ? ?1 *1342 4 1nn na n N???????. （ 2）由 ? ?1 *1342 4 1nn na n N???????，得 ? ?11 13 3 4 3 32 2 4 1 2 2 2 4 1nn n na?? ???? ? ? ??? ??. 因?yàn)?12 4 1 2 4nn???? ? ?，所以13 3 1 32 2 2 4 4n nna ?? ? ? ? ? ??， 所以1 2 1 23 1 6 3 3 3 82 2 2 2na a a a a a? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 21 1 1 13 8 1 8 04 4 4 4 nn ??? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ???.因此不等式12 3 1 62n na a a ?? ? ? ?成立 . 11. 已知函數(shù) .|| 1)( xaxf ?? (Ⅰ )求證：函數(shù) ),0()( ??? 在xfy 上是增函數(shù) . (Ⅱ）若 ),1(2)( ??? 在xxf 上恒成立，求實(shí)數(shù) a的取值范圍 . （Ⅲ）若函數(shù) ],[)( nmxfy 在? 上的值域是 )](,[ nmnm ? ，求實(shí)數(shù) a的取值范圍 . 解：（ 1）當(dāng) .1)(,),0( xaxfx ????? 時(shí) 用定義或?qū)?shù)證明單調(diào)性均可 . （ 2） ),1(21 ???? 在xxa 上恒成立 .設(shè) ),1()(12)( ????? 在則 xhaxxxh 上恒成立 . 可證 ),1()( ??在xh 單調(diào)增。故 3)1( ?? aha 即 ， a? 的取值范圍為 ]3,(?? （ 3） )(xf? 的定義域?yàn)?0},0|{ ???? mnRxxx 當(dāng) ),0()()1(,0 ???? 在知由時(shí) xfmn 上單調(diào)增 )(),( nfnmfm ??? 故 012 ??? axx 有兩個(gè)不相等的正根 m， n， 200 ????? ?? ?? aa 當(dāng) 0??nm 時(shí)，可證 )0,()( ??在xf 上是減函數(shù) . 01,)(),( ?????? amnnmmfnnfm 此時(shí)故而 綜上所述， a的取值范圍為 12. 已知函數(shù) )(xf 的定義域?yàn)?R，對(duì)任意的 21,xx 都滿足 )()()( 2121 xfxfxxf ??? ，當(dāng)0?x 時(shí)， 0)( ?xf . （ 1）判斷并證明 )(xf 的單調(diào)性和奇偶性； （ 2）是否存在這樣的實(shí)數(shù) m，當(dāng) ]2,0[ ??? 時(shí)，使不等式 0)23(]cossin 4)cos)(sin2(2[sin ???????? mfmf ????? 對(duì)所有 ? 恒成立，如存在，求出 m的取值范圍；若不存在，說明理由 . 解：（ 1）令 xxxxfyx ?????? 21 ,0)0(,0 令有 有 ,0)0()()()( ?????? fxxfxfxf 即 )(),()( xfxf 故??? 為奇函數(shù) 在 R上任取 0, 2121 ??? xxxx 則 ，由題意知 0)( 21 ?? xxf 則 0)()()()()( 212121 ??????? xfxfxfxfxxf 故 )(xf 是增函數(shù) （ 2）要使 0)23(]c oss i n 4)c os)(s i n2(2[s i n ???????? mfmf ????? ，只須)23()23(]c oss i n 4)c os)(s i n2(2[s i n mfmfmf ??????????? ????? 又由 )(xf 為單調(diào)增函數(shù)有 mm 23c oss i n 4)c os)(s i n2(2s i n ???????? ????? 令 ]2,1[)4s i n(2],2,0[,12s i n,c oss i n 2 ????????? ??????? ttt ?則 原命題等價(jià)于]2,1[0234)2(12 ??????? tmttmt 對(duì)恒成立 tttttttmtttmt 22)2(2)2(,242)2( 2 ????????????? 即 令 ]2,1[)(,2)( 在tgtttg ?? 上為減函數(shù)， 3??m 時(shí)，原命題成立 . 13. 已知二次函數(shù) ),(,)( 2 Rcbacbxaxxf ???? 滿足：對(duì)任意實(shí)數(shù) x，都有 xxf ?)( ，且當(dāng) ?x （ 1， 3）時(shí)，有 2)2(81)( ?? xxf 成立。 （ 1）證明： 2)2( ?f 。 （ 2）若 )(,0)2( xff ?? 的表達(dá)式 。 （ 3）設(shè) xmxfxg 2)()( ?? , ),0[ ???x ，若 )(xg 圖上的點(diǎn)都位于直線 41?y 的上方，求 實(shí)數(shù) m的取值范圍。 解：（ 1） 由條件知 224)2( ???? cbaf 恒成立 又 ∵ 取 x=2時(shí)， 2)22(8124)2( 2 ?????? cbaf 與恒成立 , ∴ 2)2( ?f . （ 2） ∵??? ??? ??? 024 224 cba cba ∴ ,124 ??? bca ∴ acb 41,21 ??? . 又 xxf ?)( 恒成立，即 0)1(2 ???? cxbax 恒成立 . ∴ 0)41(4)121(,0 2 ??????? aaa ， 解出： 21,21,81 ??? cba , ∴ 212181)( 2 ??? xxxf . （ 3）由分析條件知道，只要 )(xf 圖象（在 y 軸右側(cè)）總在直線 412 ?? xmy 上方即可，也就是直線的斜率 2m 小于直線與拋物線相切時(shí)的斜率位置，于是： ????????????412212181 2xmyxxy ∴ )221,( ????m . 解法 2： ),0[4121)221(81)( 2 ???????? xxmxxg 在必須恒成立 , 即 ),0[02)1(42 ??????? xxmx 在恒成立 . ①△ 0，即 [4(1－ m)]2－ 80，解得： 221221 ???? m 。 ②????????????02)0(0)1(20fm 解出： 221??m . 總之， )221,( ????m . 14. 設(shè)集合 }2|||{},112 2|{ ??????? axxBxxxA ，若 AB???，求實(shí)數(shù) a的取值范圍 . 解： 012 3112 2 ???????? xxxx 0)12)(3( ???? xx 213 ????? x axaax ???????? 222|| 1, 2 3 22A B a a?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?或 實(shí)數(shù) a的取值范圍是： 15. 對(duì)于函數(shù) 1)( 2 ??? bxaxxf （ a＞ 0），如果方程 xxf ?)( 有相異兩根 1x ， 2x ． （ 1）若 21 1 xx ?? ，且 )(xf 的圖象關(guān)于直線 x＝ m對(duì)稱．求證： 21?m ； （ 2）若 20 1??x 且 2|| 21 ??xx ，求 b的取值范圍； （ 3） ? 、 ? 為區(qū)間 1[x ， ]2x 上的兩個(gè)不同的點(diǎn)，求證： 02))(1(2 ????? ???? ba ． 解 ：（ 1 ） 1)1()()( 2 ?????? xbaxxxfxg ，且 a ＞ 0．因?yàn)?21