【正文】 SST ??對于線性系統(tǒng)，利用式 ()從上式導(dǎo)出 ? （ c） ?為計算各復(fù)頻響應(yīng)函數(shù)，設(shè)輸入量簡諧變化， ，各輸出量為 ? （ d） )()( ?? HT r ?tietx ??)(0tieHtx ?? )()(11 ?tieHtx ?? )()(22 ?tieHtx ?? )()(33 ??將各簡諧函數(shù)代人方程組 (a)，得到 ， 的一組線性代數(shù)方程并解出 ? （ e） )(3 ?H)(2 ?H)(1 ?HiBAiBAH22113 )(?????其中 ? （ f） )1)((2)1(2)1(2)1(4)1)((])1([2)1(42223222222221221ssssssBsssssAsBsaA???????????????????????????? ? ????????????????????且有 ? （ g） ?代人式 (e)， (c)計算振動的傳遞率，得到 ? （ h） mmkkkkccmkcmks121100,2,???????????????22222122122121 )()()(BAABABBBAAT r???????隔振對象位移 的均方值為 ? （ i） ?可利用附錄中的積分表計算。 )(3 ?x???? dHSx2302 )(23 ????? 線性系統(tǒng)對多個隨機(jī)激勵的響應(yīng) ? 1．脈沖晌應(yīng)矩陣和幅頻響應(yīng)矩陣 ?設(shè) n自由度的線性系統(tǒng)受到 m個平穩(wěn)隨機(jī)激勵( )，討論系統(tǒng)的響應(yīng)問題 (圖 )第 i坐標(biāo)的響應(yīng) 對于沿第 j坐標(biāo)的激勵 的脈沖響應(yīng)函數(shù)和復(fù)頻響應(yīng)函數(shù)分別為 和 。 nm ?)(txi )(tFj)(thij),2,1。,2,1(),( mjniH ij ?? ??? ?圖 ?它們分別構(gòu)成脈沖響應(yīng)矩陣 和復(fù)頻響應(yīng)矩陣 ? () )(th)(?H)]([)( thth ij?)]([)( ?? ijHH ??由于有 個坐標(biāo)不受激勵，因此可將原 階矩陣中相應(yīng)的 列略去 ,成為 階矩陣， 和 互相構(gòu)成傅里葉變換對，即有 ? () ? () ?工程中常采用實驗方法測出 或 nn? mn ?mn?mn?)(?H)(th)(?H)(th??? ?? dehH i?????? )()(????? deHth i)(21)( ? ????? 2．響應(yīng)的統(tǒng)計特性 ?將 和 排成列陣 ? () ?分別表示系統(tǒng)激勵和響應(yīng)，則可進(jìn)行與上節(jié)類似的分析，只須將標(biāo)量以矩陣代替。 ),2,1)(( mjtF j ?? ),2,1)(( njtx i ??)]([)( )],([)( txtxtFtF ij ???（ 1）相關(guān)矩陣 ? n個響應(yīng)的自相關(guān)和互相關(guān)函數(shù)為 ? () ?以 為元素構(gòu)成 的相關(guān)矩陣 ? () ),2,1,( )]()([)(nlktxtxER lkxxlk???? ??)]()([)( ?? ?? txtxER TxxlkxxRnn?)(?xxR?將上式中的 和 以杜哈梅積分表示，用 和 作為積分變量，得到 ? () ?進(jìn)行與式類似的推倒，得到響應(yīng)與激勵的相關(guān)矩陣之間的關(guān)系式 ? () )( ??tx)(tx2?1?])()()()([)(222111????????dhtFdtFhERTTxx????????????122211 )()()()( ???????? ddhRhRTFFxx ??? ????????? (2)功率譜密度矩陣 ?定義平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度矩陣為相關(guān)矩陣的傅里葉變換，而后者為前者的逆變換，則對式 ()兩邊作傅里葉變換后，進(jìn)行與式 ()類似的推導(dǎo) ? () ??????????? deddhRhSiTFFxx????????????????])()()([)(12221122)(21112211)()()(????????????????dehdeRdehiTiFFi???????????????? ????得到響應(yīng)與激勵的功率譜密度矩陣之間的關(guān)系式 ? () ?其中 為 的共扼陣，即 )()()(*)( ???? TFFxx HSHS ?)(* ?H )(?H )( ??H? (3)激勵與響應(yīng)的互相關(guān)矩陣 ? n個響應(yīng)與 m個激勵之間的互相關(guān)矩陣為 ? () )]()([)( ?? ?? txtFER TFx?進(jìn)行與式 ()類似的推導(dǎo)， ? ? () ? () ])()()([)( ????? dhtFtFER TTFx ??? ? ??????? dhtFtFE TT )()]()([ ??? ? ???????? dhRR TFFFx )()()( ?? ? ???? (4)激勵與響應(yīng)的互譜密度矩陣 ?定義激勵與響應(yīng)的 互譜密度矩陣 為互相關(guān)矩陣的傅里葉變換。對式 ()兩邊作傅里葉變換后，進(jìn)行與式 ()類似的推導(dǎo) ? ? () ??? ?? deRS iFxFx ?????? )()(????? ?? ddehR iTFF ??????? ?? ?? )()(?????? ????? dehdeR iTiFF ????????? ?? ??? )()()( )(?得到互譜密度矩陣 與激勵的功率譜密度矩陣 和系統(tǒng)的復(fù)頻響應(yīng)矩陣 之間的關(guān)系式 ? () )(?H)(?FFS)(?FxS)()()( ??? TFFFx HSS ??例 ?以勻速 v沿不平路面行駛的汽車簡化為剛體，質(zhì)量和對質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量為 m和 ，質(zhì)心位置如 圖 ，彈簧和粘阻系數(shù) 均已知，設(shè)路面高度沿路程 s的變化為高斯隨機(jī)場，汽車的前后輪著地高度 和 的功率譜密度 為已知。 ?求響應(yīng)的功率譜密度矩陣。 CJ2121 , cckk)(2 tx)(1 tx)()( 21 ?? xx SS ? ?圖 不平路面上的汽車 ? 解 ： 以汽車的質(zhì)心垂直位移 x和相對水平面的傾角 為義坐標(biāo)，建立二自由度剛體微幅振動的動力學(xué)方程 ? (a) ? (b) )()()()()()()()()()(222211112221212221212211221121212121xcxkbxcxkabkakxbkakbcacxbcacJxcxcxkxkbkakxkkbcacxccxmc????????????????????????????????????????????先計算系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)，為此令 ? (c) ?代入方程 (a)和 (b)，得到 和 的二元線性代數(shù)方程組，解出 ? (d) tietx ??)(1 0)(2 ?txtieHtx ?? )()( 11? tieHt ??? )()(21?)(21 ?H)(11 ?H12122211122211 )()( kcccaccH????12122211111221 )()( kcccaccH??????再令 (e) ?代入方程 (a)和 (b)，得到 和 的二元線性代數(shù)方程組，解出 ? tietxtx ??? )( 0)(21tieHtx ?? )()( 12? tieHt ??? )()(22?)(22 ?H)(12 ?H,)()( 22122211122212 kcccbccH????22122211121122 )()( kccccbcH?????其中 ? (g) ??????????????????????????????????)()()( ,222122221222121122122111222111bcaciJbkakcbcacibkakcccimkkcickkickkc?則得到復(fù)頻響應(yīng)矩陣 ? (h) ?作為激勵的前后輪高度變化 和 之 間具有相關(guān)性， ? (i) ?????????)()()()()(2221