【正文】 ?由式（ 2110）求出物理坐標(biāo)下的自由振動(dòng)為 ? ?121213()()( ) ( ) ( )()nn i iittx t t tt??? ? ? ? ? ?????????? ? ? ??????????（ 2118） （ 2119） 無(wú)阻尼多自由度線性系統(tǒng)對(duì)任意激勵(lì)的響應(yīng) （強(qiáng)迫振動(dòng)） n自由度無(wú)阻尼線性系統(tǒng)在任意激勵(lì)下的強(qiáng)迫振動(dòng)方程： ? ?12( ) ( ) ( ) ( ) TnF t F t F t F t?（ 2120） x ???()T T TM K F t? ? ? ? ? ? ???()I R t??? ? ?或 （ 2121） 1 112 22() ()() ()( ) ( )() ()TTTTn nnRt FtRt FtI R t F tRt Ft??? ? ??????????????? ? ? ? ? ??????????? ???? ??（ 2122） )( tFKxxM ????式 （ 2121） 的 n個(gè)方程已經(jīng)全部解耦，第 i個(gè)方程為 2 ()i i i iRt? ? ???假設(shè)系統(tǒng)的初始條件為式 （ 2109） 所示 00(0 ) 1( ) (0 ) c o s s i n ( ) s i n ( )( ) ( )tii i i i i iiitit t t R t dR t h d?? ? ? ? ? ? ? ???? ? ?? ? ? ?????系統(tǒng)響應(yīng)： 求解 n自由度線性系統(tǒng)響應(yīng)的方法稱為 振型疊加法 或 模擬疊加法 。 （ 2123） （ 2124） （ 2125） )()()(1tttx inii??? ?????如果以一般的振型矩陣 取代正則振型矩陣 ? ?x ???()T T TM K F t??? ? ? ? ? ? ?()PPM K Q t????1 112 22() ()() ()( ) ( )() ()TTTTn nnQt FtQt FtQ t F tQt Ft???????????????? ? ? ????????????? ??（ 2126） （ 2127） （ 2128） 或 式（ 2128）所描述的 n個(gè)方程都幾經(jīng)解耦，第 i個(gè)方程為 ()iiP i P i iM K Q t????2 1 ()ii i i iPQtM? ? ???或 式 （ 2126） 11 TpMM??? ? ?11 Tpx M M x? ??? ? ? ?（ 2129） （ 2130） （ 2131） 初始條件： 根據(jù)單自由度線性系統(tǒng)在任意激勵(lì)下的響應(yīng)可寫出 n自由度系統(tǒng)在 第 i個(gè)坐標(biāo)的響應(yīng) 000( 0 ) 1( ) ( 0 ) c o s si n ( ) si n ( )1( 0 )1( 0 )iiitii i i i i ii P iTiPTiPt t t Q t dMMxMMxM?? ? ? ? ? ? ? ??????? ? ? ??????????? ?????1100( 0 ) , ( 0 )TTppM M x M M x?? ??? ? ? ?（ 2132） （ 2133） 物理坐標(biāo)下的系統(tǒng)響應(yīng)： 假設(shè) F(t)是同一頻率的簡(jiǎn)諧激振力向量，即 1( ) ( )n iiix t t? ? ??? ? ? ?0( ) s i nF t F t??00TQF?? 00i TiQF??式（ 2129） 0 s i ni i iP i P iM K Q t? ? ???002211iii i iiP i P P iAK M K??????siniiAt???（ 2134） （ 2135） （ 2136） （ 2137） （ 2138） 把各個(gè)坐標(biāo)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)代入式 （ 2139） 得到系統(tǒng)對(duì)簡(jiǎn)諧激勵(lì)的 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為 ii????tkQtipiii ??? s i n)11()(20??0211021( ) ( ) ( ) si n( 1 )si n( 1 )iiinni i iii PiTniii piQx t t t tKFtk? ? ? ? ?????????? ? ? ???????（ 2139） （ 2140） （ 2141） 當(dāng) 時(shí)，第 s階主振動(dòng)的振幅會(huì)變得很大，稱系統(tǒng)發(fā)生了第 s階共振，式 （ 2141） 可以寫成 系統(tǒng)對(duì)簡(jiǎn)諧激勵(lì)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)除了采用振型疊加法之外，還可采用 直接解法 求得。 s?? ?02()( ) sin( 1 )iTssPiFx t tK ??????( ) si nx t B t??將式 （ 2143） 代入式 （ 2120） ，得 2 0()K M B F???（ 2142） （ 2143） （ 2144） 設(shè) n階方陣 H是無(wú)阻尼系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)函數(shù)矩陣，且定義 1 1 1 2 12 1 2 2 22122( ) ( )nnn n n nH H HH H HH H K MH H H???????? ? ? ?????由式 （ 2144） 解得 0B F H?0( ) s i nx t H F t??系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng) ： （ 2145） （ 2146） （ 2147） 與式 （ 2141） 比較得出 21() ( 1 )iTniiii PiH K ???? ??? ??或直接推導(dǎo)： 2 1 1 2 1 12121( ) ( ) ( ) ( )[ ( ) ]()TTTTTppH K M K MKMKM? ? ???? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? 把式 （ 2149） 展為級(jí)數(shù)形式，即式 （ 2148） 、式 （ 2149） 稱為幅頻響應(yīng)函數(shù)矩陣的模態(tài)展開式。若采用正則模態(tài)取代主模態(tài)，式 （ 2148） 、式 （ 2149） 可以改寫成 2221( ) ( )TnT iii iHI ??? ? ? ? ???? ? ? ? ??（ 2148） （ 2149） （ 2150） 的物理意義 : 把上式代入式 （ 2147） 得 ()ijH ?00( ) s in 0 0 s in 0 0TjF t F t F t?????? ??101 1 1 1 2 1202 2 1 2 2 2030220sin()0sin()() sin0sin()0jjnjjnjjjn n n n nH F tx t H H HH F tx t H H Hxt FtH F tx t H H H?????????? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ?? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ? ???????? 僅在系統(tǒng)第 j個(gè)坐標(biāo)上有簡(jiǎn)諧激勵(lì)而相應(yīng)于第 i個(gè)坐標(biāo)的幅頻響 應(yīng)函數(shù)。 例 2： 假設(shè)圖 28所示系統(tǒng)中左邊第一質(zhì)量上作用有激振力 試求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。 tFHtx jiji ?? s i n)()( 0?0()()s iniijjxtHFt? ??(2151) (2152) 10( ) s i n , 1 . 7kF t F tm????解：已知系統(tǒng)的固有頻率為 正則振型矩陣： 1 2 33, , 2k k km m m? ? ?? ? ?1 3 212 0 261 3 2m?????? ? ????? 激振力向量： ? ?0( ) s i n 0 0TF t F t?? 正則坐標(biāo)下的激振力向量： 0 sin( ) ( ) 1 3 26TT FtR t F tm? ??? ? ? ???第一個(gè)正則方程是 2 01 1 1 s i n6F tm? ? ? ???相應(yīng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)： 010221( ) s i n 0 . 2 1 6 s i n6iF mt t F tkm? ? ???? ? ?? 同樣可解出第 2個(gè)、第 3個(gè)正則方程的穩(wěn)態(tài)解（穩(wěn)態(tài)響應(yīng)） 20( ) 6 . 4 3 s i nmt F tk????30( ) 0 . 5 2 0 s i nmt F tk???系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng) 由于激振頻率接近第二階固有頻率，在穩(wěn)態(tài)響應(yīng)中第二階振型 占主要成分。 10 0 0232( ) 1 3( ) ( ) ( ) 0 . 0 8 8 2 s in 2 . 6 3 0 s in 0 . 2 1 2 s in( ) 1 32xtF F Fx t x t t t t tk k kxt? ? ? ??????? ? ? ?????? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?????? ? ? ?????? ? ? ?? ? ? ? ???? ??有阻尼多自由度線性系統(tǒng)的響應(yīng) (1) 阻尼矩陣的近似處理方法 x ???()T T T TM C K F t? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?()p p pM C K Q t? ? ?? ? ?TpCC? ? ?（ 2153） （ 2154） )( tFKxxCxM ??? ??? 該條件較為苛刻，一般的有阻尼多自由度系統(tǒng)不滿足式 （ 2155） 所給出的條件，因而主坐標(biāo)方法已經(jīng)不再適用，振動(dòng)分析將變得十分復(fù)雜。為了能沿用無(wú)阻尼多自由度系統(tǒng)中的主坐標(biāo)方法，工程上常對(duì)阻尼矩陣采用 近似處理方法 。 方法 1： 非對(duì)角元素忽略法 方法 2： 比例阻尼法 方法 3： 實(shí)驗(yàn)測(cè)定法 解耦的充分必要條件： 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )M C M K M K M C? ? ? ??（ 2155） pC方法 1： 非對(duì)角元素忽略法 。忽略矩陣 中的全部非對(duì)角元素，取 TpCC? ? ?1200ppppnCCCC???????????式 （ 2154） 已經(jīng)解耦 , 第 i個(gè)方程： ()p i i p i i p i i iM C K Q t? ? ?? ? ?（ 2156） （ 2157） 2 12 ( )i i i i i i ipiQtM? ? ? ? ? ?? ? ?（ 2158） 22 pi iipiCM ???方法 2： 比例阻尼法 。將矩陣 C假設(shè)為比例阻尼，即 01C a M a K??0 1 0 1()TTp p pC C a M a K a M a K? ? ? ? ? ? ? ? ?（ 2159） （ 2160） 01 011 ()222p i p i p iiii p i i p i iC a M a K a aMM??? ? ??? ? ? ?（ 2161） 方法 3： 實(shí)驗(yàn)測(cè)定法 。 由于各種阻尼的機(jī)理很復(fù)雜，實(shí)際的阻尼矩陣 C不容易精確測(cè)定或計(jì)算。當(dāng)阻尼比較小的時(shí)候，常通過(guò)實(shí)驗(yàn)直接測(cè)定各階振型阻尼比 ，以確定式 (2157)中的各個(gè)參數(shù)。矩陣 可由式 （ 2156） 及式 （ 2161） 得到。這種方法有較大的實(shí)用價(jià)值，但是只適用于各階阻