【正文】 jijji dxSdxEI0 02 ??????? ?? l jiji dxS022 0)( ?????相減：得 ： 連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 梁的彎曲振動 jidxSl ji ??? ,00 ???ji? ji ?? ?如果 時， 則有： 主振型關(guān)于質(zhì)量的正交性 ???????????????jjjiiiSEISEI????????22)()(（ 1） （ 2） j?(1)式兩邊乘 并沿梁長對 x 積分： ?? ????? ljiilij dxSdxEI 020 )( ??????分部積分 ： ? ? ?????????????????l ljilijlijij dxEIEIEIdxEI0 000 )()()( ????????? ? ?????????l l jiij dxEIdxEI0 0)( ????得 ： ? ??????l l jiiji dxSdxEI0 02 ??????代入（ 3）式，有 ： i?(2)式兩邊乘 并沿梁長積分可得： 同理， ? ??????l ljijji dxSdxEI0 02 ??????? ?? l jiji dxS022 0)( ?????相減：得 ： (3) （ 4） （ 5） 由（ 4）、（ 5）式，得 ： jidxEIdxEIl l jiij ???????????? ? ,0)(0 0 ???? 主振型關(guān)于剛度的正交性 連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 梁的彎曲振動 如果 i = j ? ?? l jiji dxS022 0)( ????? 恒成立 ? ?l pjj mdxS0 2?? 第 j 階主質(zhì)量 pjl ljjj kdxEIdxEI ????????? ?0 0 2)()( ???第 j 階主剛度 第 j 階固有頻率 pjpjj mk /?????????????????jjjiiiSEISEI????????22)()(（ 1） （ 2） j?(1)式兩邊乘 并沿梁長對 x 積分： ?? ????? ljiilij dxSdxEI 020 )( ??????分部積分 ： ? ? ?????????????????l ljilijlijij dxEIEIEIdxEI0 000 )()()( ????????? ? ?????????l l jiij dxEIdxEI0 0)( ????得 ： ? ??????l l jiiji dxSdxEI0 02 ??????代入（ 3）式，有 ： i?(2)式兩邊乘 并沿梁長積分可得： 同理， ? ??????l ljijji dxSdxEI0 02 ??????相減：得 ： (3) （ 4） （ 5） 連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 梁的彎曲振動 ? ?l pjj mdxS0 2?? 第 j 階主質(zhì)量 pjl ljjj kdxEIdxEI ????????? ?0 0 2)()( ???第 j 階主剛度 第 j 階固有頻率 pjpjj mk /??? ?l ji dxS0 0??? 0)(0 0 ??????????? ?l l jiij dxEIdxEI ????ji? 時 ji? 時 主振型中的常數(shù)按下列歸一化條件確定 ： 102 ??? pjl j mdxS ??正則振型 ? ?lijji dxS0 ????20 0)( jijl ljiij dxEIdxEI ?????? ??????????? ?正則振型的正交性： 連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 梁的彎曲振動 梁橫向振動的強迫響應(yīng) 梁的橫向強迫振動方程 ： ),(),()(222222 txmxtxftySxyEIx ??????????? ?????1)()(),(iii tqxtxy ?令 ： ? ????? ?????????1 1),(),()(i iiiii txmxtxfqSqEI ?????代入 ： j?兩邊乘 并沿梁長對 x 積分： ?? ? ? ? ?????????????ljililjiiiji dxtxmxtxfdxSqdxEIq 01 0 1 0)],(),([)( ?????? ??由正交性條件，得： )(2 tQqqjjjj ?? ???第 j 個正則坐標方程 ? ???? l jj dxxtxmxtxftQ 0 )()],(),([)( ?第 j 個正則坐標的廣義力 由分部積分 ： dxtxmtxftQ ljjj ? ??? 0 ]),(),([)( ??連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 梁的彎曲振動 梁初始條件的處理 )()0,( 1 xfxy ? )(20 xfty t ??? ?假定梁的初始條件為： ????1)()(),(iii tqxtxy ?代入： )0()()()0,(11 ?????iii qxxfxy ?兩式乘 )(xSj??并沿梁長積分，由正交性條件可得： ?? l jj dxxxSfq 0 1 )()()0( ??? ???? t jjjjjjjjj dtQtqtqtq0 )(s i n)(1s i n)0(c os)0()( ????????????? ????120 )0()()(iiit qxxfty ???? l jj dxxxSfq 0 2 )()()0( ???)(2 tQqq ijjj ?? ???第 j 個正則坐標方程： 第 j 個正則模態(tài)響應(yīng)： )(tqj得到 后，即可得到梁的響應(yīng) ),( txy連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 梁的彎曲振動 如果作用在梁上的載荷不是分布力矩，而是集中力和集中力矩 利用 )(t? 函數(shù)，可以表示為 : ???????)()(),()()(),(2010????xtMtxmxtFtxf? ? dxxxtMxxtFtQ l jjj ? ????? 0 200 )()()()()()()( ??????)()()()( 2022 ???? jj tMtF ???dxtxmtxftQ l jjj ]),(),([)( 0? ??? ??有： ? ??t fdtttf0 )()()( ???)(0 tF1?2?x0)(0 tM連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 梁的彎曲振動 中點受常力 P作用產(chǎn)生靜變形 例：簡支梁 求：當(dāng) P突然移出時梁的響應(yīng) yx2/l2/l0P解： 由材力得初始條件 : ??????????????? ??????????????lxllxlxxlylxlxlxyxfxystst2 ,)(4)(320 ,)(4)(3)()0,(331EIPlyst 483?? 梁中點的靜撓度 0)(20 ???? ? xfty t連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 梁的彎曲振動 梁兩端簡支 固有頻率： 422SlEIii ??? ?lxiCii?? s in?振型函數(shù)： ?,3,2,1?i代入歸一化條件： ???l ii CSldxl xiCS0 22 12)s in( ??? AlC i ?2?EIiSPldxlxiClxllxlSydxlxiClxlxSyqll istlisti444232033 s i n)(4)(3s i n)(4)(3)0(?????????????? ???????????? ??0)0( ?iq?模態(tài)初始條件： ?,5,3,1?iyx2/l2/l0P?? l jj dxxxSfq 0 1 )()()0( ???? l jj dxxxSfq 0 2 )()()0( ???連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 梁的彎曲振動 模態(tài)初始條件： EIiSpldxlxiClxllxlSydxlxiClxlxSyqll istlisti444232033 s i n)(4)(3s i n)(4)(3)0(?????????????? ???????????? ??0)0( ?iq? ?,5,3,1?i 沒有激振力，正則廣義力為零 dxtxmtxftQ l jjj ]),(),([)( 0? ??? ??正則廣義力 tqtq iii ?co s)0()( ?模態(tài)響應(yīng)： ? ??????????1 5,3,142143c o ss i n)1(2)()(),(i iiiii tlxiiEIPltqxtxy?????因此有： 連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 梁的彎曲振動 例：簡支梁 求：梁的響應(yīng) 中點受力矩 作用 tM ?sin0yx2/l2/l0tM ?sin0連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 梁的彎曲振動 解： 由上例知： 固有頻率： 422SlEIii ??? ?lxiCii?? s in?振型函數(shù)： AlC i ?2?tiliCMtQ ii ??? s in2co s)( 0?正則廣義力： dxtxmtxftQ l jjj ]),(),([)( 0? ??? ??第 i 個正則方程： tiiCMtqtqiiii ???? s i n2co s2)()( 02 ????txiliMCtq iii ????? s i n2c o s1)(022 ??????1)()(),(iii tqxtxy ?因此有： 連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 梁的彎曲振動 ???????,4,222220 si n)1(si n2iii lxiitSlM ??????yx2/l2/l0tM ?sin0例：懸臂梁 自由端作用有正弦力 求穩(wěn)態(tài)強迫振動，以及梁自由端的響應(yīng)。 tP ?sinyx0ltP ?sin連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 梁的彎曲振動 解： 強迫振動方程 ： tlxPtySxyEI ??? s i n)(2244???????模態(tài)函數(shù) ： 2024a?? ?SEIa??20),2,1(),s i n h( s i nc o s hc o s)( ?????? ixxxxx iiiiii ??????),2,1(,s i n hs i n c o s hc o s ????? ill lliiiii ?????設(shè)解為 ： ????1)()(),(iii tqxtxy ?代入方程 ： tlxPqSE I qiiiii ????? s i n)()(1 ????????連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 梁的彎曲振動 利用正則模態(tài)的正交性條件 ： tlxPqSE I qiiiii ????? s i n)()(1 ????????j?兩邊乘 并沿梁長對 x 積分： ?? ?? ?????ljiljiiljii dxlxtPdxSqdxEIq 01 00 )(s i n)( ???????? ??tlPqq iiii ??? s in)(2 ????模態(tài)穩(wěn)態(tài)解 ： ,...2,1,s i n])/(1[ )( 22 ??? itlPqiiii ?????梁的響應(yīng)： ????1)()(),(iii tqxtxy ?,...2,1,])/(1[ )()(s i n122 ??? ???ixltPi iiii??????連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 梁的彎曲振動