【正文】 tBtBx? ? ? ? 2222012a r c t a n,211??????? ??????eqkFB? ? ? ? 212221 12a r c t a n,211??????? ?????? aB 對于僅有彈簧的運(yùn)動(dòng)激勵(lì)，穩(wěn)態(tài)響應(yīng)幅值和滯后相位差 ? ? ? ? 222222 12a r c t a n,212??????????????? aB 對于僅有阻尼的運(yùn)動(dòng)激勵(lì)，穩(wěn)態(tài)響應(yīng)幅值和滯后相位差 ? ? ? ? 212221 12a r c t a n,211??????? ?????? aB? ? ? ? ? ??????? ????? tBtBtBx s i nc o ss i n 2211 ＝? ?? ? ? ? ? ? 2232222212a r c t a n,2121??????????????????? aB? ? ? ? 222222 12a r c t a n212??????????????? ,aB? ? ? ? 212221 12a r c t a n211??????? ?????? ,aB? ? ? ? ? ??????? ????? tBtBtBx s i nc o ss i n 2211 ＝? ?? ? ? ? ? ? 2232222212a r c t a n2121??????????????????? ,aB? ?? ? ? ? ? ? 2232222212a r c t a n,2121??????????????????? aB幅頻特性和相頻特性曲線 本例所研究的實(shí)際上是隔振問題－將外界振源盡 可能與研究對象隔離（稱為被動(dòng)隔振）。為取得隔 振效果，即儀器振幅 B小于振源振幅 a，應(yīng)當(dāng)如何設(shè) 計(jì)隔振層的剛度 k？對于隔振效果，阻尼大一點(diǎn)好還 是小一點(diǎn)好？ 關(guān)于本例的討論 ? 單自由度線性系統(tǒng) 的受迫振動(dòng) ? 受迫振動(dòng)中的能量關(guān)系 慣性力、阻尼力、彈性恢復(fù)力和激勵(lì)力在一個(gè)周期內(nèi) 怎樣作功？又有怎樣的能量關(guān)系呢？ 無阻尼自由振動(dòng) 系統(tǒng)機(jī)械能守恒，既無能量的損耗又無外界能量的輸 入，一個(gè)周期內(nèi)僅有系統(tǒng)動(dòng)能和勢能的轉(zhuǎn)換。 有阻尼自由振動(dòng) 阻尼不斷耗散能量，而外界又無能量補(bǔ)充，因此振動(dòng) 幅值隨時(shí)間衰減。 受迫振動(dòng) ? 單自由度線性系統(tǒng) 的受迫振動(dòng) ? 受迫振動(dòng)中的能量關(guān)系 根據(jù)力在 dt時(shí)間內(nèi)所作之元功 dW=Fvdt 當(dāng)力和速度同相位時(shí)，每一時(shí)刻都作正功；而當(dāng)力和速度 反相位時(shí)，每一時(shí)刻都作負(fù)功。 阻尼力和速度反相 ，因此始終作負(fù)功，在一個(gè)周期內(nèi)所作 的負(fù)功為 ? ? 220 222200 cc πdc o sdd BcttBctxctxFW TT ???? ?? ????? ??? ??? 單自由度線性系統(tǒng) 的受迫振動(dòng) ? 受迫振動(dòng)中的能量關(guān)系 若力與速度相位相差 ?/2 ，則力在一個(gè)周期內(nèi)作功等于 零。 慣性力和彈性恢復(fù)力的相位都與速度相位相差 ?/2 ，因 此，慣性力與彈性恢復(fù)力在一個(gè)周期內(nèi)所作之功都作功等 于零。 ? 單自由度線性系統(tǒng) 的受迫振動(dòng) ? 受迫振動(dòng)中的能量關(guān)系 激勵(lì)力超前位移 ? 相位，可將其分解為與速度和位移同 相位的兩部分。 對于微分方程簡諧激勵(lì)力 ? ?? ? ? ??????????????????tFtFtFtFs i nc o sc o ss i ns i ns i n0000 第二部分的相位與位移的相位相同，一個(gè)周期內(nèi)作功為 零。這樣，激勵(lì)力在一個(gè)周期內(nèi)所作之功為 ? ? ????? s i nπdc o ss i n 000 BFtxtBF T ??? ? ?? ? txtFW T dc o ss in0 0F ???? ?? ?? 單自由度線性系統(tǒng) 的受迫振動(dòng) ? 受迫振動(dòng)中的能量關(guān)系 第二部分的相位與位移的相位相同，一個(gè)周期內(nèi)作功為 零。這樣，激勵(lì)力在一個(gè)周期內(nèi)所作之功為 ? ? ????? s i nπdc o ss i n 000 BFtxtBF T ??? ? ?? ? txtFW T dc o ss in0 0F ???? ?? ? 這表明，穩(wěn)態(tài)受迫振動(dòng)一個(gè)周期內(nèi)激勵(lì)力所作之功等于阻 尼力耗散的能量。這就可以解釋為什么有阻尼系統(tǒng)受迫振動(dòng) 的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)有一個(gè)穩(wěn)定的振幅。 根據(jù)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)幅值的表達(dá)式有 BcF ?? ?s in0c20F πs inπ WBcBFW ??? ??? 單自由度線性系統(tǒng) 的受迫振動(dòng) ? 受迫振動(dòng)中的能量關(guān)系 因?yàn)樵谝粋€(gè)周期內(nèi)激勵(lì)力所作 之功與振幅成正比，而阻尼耗散 的能量與振幅平方成正比，當(dāng)振 動(dòng)幅值還未達(dá)到穩(wěn)定值 B0時(shí)，激 勵(lì)力所作之功大于阻尼耗散的能 量，振幅將增加。 當(dāng)振幅到達(dá) B0時(shí)，激勵(lì)力所作 之功與阻尼耗散的能量相等，系 統(tǒng)能夠維持等幅振動(dòng)。 ? 單自由度線性系統(tǒng) 的受迫振動(dòng) ? 受迫振動(dòng)中的能量關(guān)系 若由于某種干擾使振幅大于 B0 時(shí)，阻尼耗散的能量大于激勵(lì) 力 所作之功，振幅又會(huì)衰減，直至 在 B0處又維持穩(wěn)定的振幅。 ? 結(jié)論與討論 ? 按激勵(lì)不同，可將振動(dòng)分為自由振動(dòng)、強(qiáng)迫振動(dòng)和自 激振動(dòng)等，若按系統(tǒng)特性分類，則可分為線性振動(dòng)和非線 性振動(dòng)。 ? 關(guān)于振動(dòng)概念 ? 工程力學(xué)將振動(dòng)的概念從物理學(xué)中的單個(gè)質(zhì)點(diǎn)擴(kuò)展到 系統(tǒng)。系統(tǒng)可以是單自由度，也可以是多自由度，乃至無 限多自由度。 ? 系統(tǒng)要產(chǎn)生振動(dòng)必須有內(nèi)因和外因：內(nèi)因是系統(tǒng)本身 既要有彈性又要有慣性，二者缺一不可。對有阻尼系統(tǒng)， 僅在弱阻尼時(shí)運(yùn)動(dòng)才有振動(dòng)形態(tài)。外因是系統(tǒng)要受到激勵(lì)。 ? 結(jié)論與討論 ? 關(guān)于運(yùn)動(dòng)微分方程 ? 建立系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程屬于動(dòng)力學(xué)第二類問題，即：已知 主動(dòng)力求運(yùn)動(dòng)的問題。主要過程與求解動(dòng)力學(xué)其它問題相 似，但振動(dòng)問題還要注意廣義坐標(biāo)原點(diǎn)的選擇，通常以靜 平衡位置作為廣義坐標(biāo)原點(diǎn)。 ? 結(jié)論與討論 ? 關(guān)于運(yùn)動(dòng)微分方程 ? 建立振動(dòng)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程所用的動(dòng)力學(xué)原理 ? 拉格朗日方程－ 對于無阻尼的情形 2eq2eq 2121 qkVqmT ?? ,?VTLqLqLt －＝，＝－ 0dd ?????????????2eq2eq 2121 qkVqmT ?? ,?2eq2121 qcqqqqcΦ iiii ???? ??????????????? rrVTLqΦqLqLt －＝，＝－－ ?? ??????????????dd? 結(jié)論與討論 ? 關(guān)于運(yùn)動(dòng)微分方程 ? 建立振動(dòng)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程所用的動(dòng)力學(xué)原理 ? 拉格朗日方程－ 對于有阻尼的情形 ? 結(jié)論與討論 ? 關(guān)于運(yùn)動(dòng)微分方程 ? 動(dòng)量矩定理－ 對于有一固定軸，并且繞固定軸 轉(zhuǎn)動(dòng)的系統(tǒng)，特別對于扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的情形，采用動(dòng) 量矩定理更好。 OO LJ ????JO－ 系統(tǒng)繞固定軸 O的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的代數(shù)和 ； LO－ 所有外力對固定軸 O之矩的代數(shù)和 。 力矩方向 與廣義坐標(biāo)方向相同時(shí)為正，反之為負(fù) 。 ? 建立振動(dòng)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程所用的動(dòng)力學(xué)原理 ? 結(jié)論與討論 ? 關(guān)于運(yùn)動(dòng)微分方程 ? 機(jī)械能守恒－ 對于沒有能量損耗的保守系統(tǒng) 2eq2eq 2121 qkVqmT ?? ,?EVT ??0eqeq ?? qqkqqm ????? 建立振動(dòng)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程所用的動(dòng)力學(xué)原理 ? 結(jié)論與討論 ? 有阻尼系統(tǒng)僅在弱阻尼時(shí)才有振動(dòng)形態(tài)，阻尼使自由 振動(dòng)頻率略有降低使振幅按指數(shù)衰減，振動(dòng)過程中有能 量耗散。 ? 單自由度線性系統(tǒng) 自由振動(dòng)要點(diǎn) ? 固有頻率是系統(tǒng)的固有屬性，它僅與系統(tǒng)的等效剛度 和等效質(zhì)量有關(guān)。 ? 無阻尼系統(tǒng)的自由振動(dòng)是簡諧振動(dòng)，其頻率就是固有 頻率；振幅和初相位取決于初始條件；振動(dòng)過程中沒有 能量的補(bǔ)充或耗散。 ? 結(jié)論與討論 ? 單自由度線性系統(tǒng) 簡諧激勵(lì)的受迫振動(dòng)要點(diǎn) ? 激勵(lì)引起的穩(wěn)態(tài)受迫振動(dòng)，即微分方程的特解。振動(dòng)頻率 為激勵(lì)頻率 ? 。即使系統(tǒng)有阻尼，振幅也不會(huì)隨時(shí)間衰減。 ? 簡諧激勵(lì)的響應(yīng)包括三部分： ? 激勵(lì)引起的自由振動(dòng)，頻率也為 ?d ，振幅與激勵(lì)有關(guān)。 這兩部分振動(dòng)疊加就是運(yùn)動(dòng)微分方程滿足初始條件 的齊次解。對有阻尼系統(tǒng)，它們的振幅隨時(shí)間衰減。 穩(wěn)態(tài)受迫振動(dòng)中最重要的是共振區(qū)、彈性區(qū)和慣性 區(qū)幅頻特性和相頻特性研究。 ? 初始條件引起的自由振動(dòng)，頻率為 ?d，振幅與激勵(lì)無關(guān)。 ? 結(jié)論與討論 ? 單自由度線性系統(tǒng) 簡諧激勵(lì)的受迫振動(dòng)要點(diǎn) ? 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的振幅是穩(wěn)定的，不會(huì)因受 干擾而偏離；無阻尼系統(tǒng)共振時(shí)，振幅將 越來越大。這些現(xiàn)象都可以由穩(wěn)態(tài)受迫振 動(dòng)中的能量關(guān)系加以解釋。 ? 結(jié)論與討論 ? 多自由度線性系統(tǒng) 振動(dòng)的概念 ? 結(jié)論與討論 ? 多自由度線性系統(tǒng) 振動(dòng)的概念 ? 結(jié)論與討論 ? 多自由度線性系統(tǒng) 振動(dòng)的概念 ? 結(jié)論與討論 ? 多自由度線性系統(tǒng) 振動(dòng)的概念 ? 對于多自由度系統(tǒng)，固有頻率怎樣定義？ ? 多自由度系統(tǒng)的振動(dòng)有什么特點(diǎn)？ ? 多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng)是否也是簡諧振 動(dòng)？ ? 結(jié)論與討論 ? 多自由度線性系統(tǒng) 振動(dòng)的概念 一般情形下，多自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng) 并不是簡諧振動(dòng)。但在特定條件下可以是 簡諧振動(dòng)，此時(shí)系統(tǒng)各質(zhì)點(diǎn)同步到達(dá)最大 偏離位置或同步到達(dá)平衡位置。 返回本章目錄頁