【正文】 、 解 析 信 號2 2 22 ( ) 0( ) ( ) ( ) ( )00{ ( ) } ( ): ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1( ) ( ) l i m ( ) l i m2TTTTXx t x t j x t XH x t x ty t h t x t y t h t x t h t x tx t dt x t dt x t dtT??????? ? ? ? ?? ? ???? ? ????? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ?定 義 ： 解 析 信 號 的 頻 譜 ： 希 爾 伯 特 變 換 的 性 質(zhì) : 若 ， 則 ： 、 20 0 0 0 01()2( ) ( )?( ) ( )( ) / 2 { ( ) c os } ( ) si n { ( ) si n } ( ) c osTTXXXXXx t dtTRRRRa t H a t t a t t H a t t a t t????? ? ? ? ? ? ???????? ? ? ? ?? 若 的 帶 寬 滿 足 ： ， 則 ： 、 希爾伯特變換舉例 窄帶隨機信號的性質(zhì) 2X 0 0X 0 0 0( ) ( ) ( ) c os ( ) si n S ( ) ( ) ( ){ ( ) } 0 , ({})( ) 0Xa t b tE a t E b tt X t a t t b t tXt? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?????? ? ????設(shè) 為 零 均 值 、 方 差 為 的 平 穩(wěn) 窄 帶 實 隨 機 過 程 ： 其 功 率 譜 密 度 在 范 圍 以 外 均 為 零 與 各 自 都 是 寬 平 穩(wěn) 且 聯(lián) 合 平 穩(wěn) 的 實 隨 機 過 程 ； ， 且 ， 則 具 有 以 下 性 質(zhì) ： ； 2 2 2?0 X 0 0XX0X 0 022X{ ( ) } { ( ) } { ( ) }1( ) ( ) ( ) c os[( ) ] ( ) c os ( ) si n( ) ( ) c os ( ) si n( 0) ( 0) ( 0)a b Xa baa b a bE X t E a t E b tR R S d R RR R RR R R? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ?????? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ； ； ； 或 2000( ) ( ) ( )1( ) ( ) si n[ ( ) ] ( ) ( ) 0 ( ) ( )( ) ( ) , ( ) ( )( 0) 0 , ( 0) 0 ( ) ( )Xab X X abab ba ab abab baa t b t X tR S d S R a t b tR R R RR R a t b t? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ； 、 與 具 有 相 同 的 平 均 功 率 。 ； 若 對 稱 則 ， 與 正 交 。 ； ； 說 明 與 在 同 一 時 刻0000( ) [ ( ) ( ) ] [ ]( ) ( )( ) [ ( ) ( ) ]( ) ( )a P X X Pabab P X Xba abS L S S LSSS j L S SSS? ? ? ? ???? ? ? ? ???? ? ? ? ? ???? ? ? ? ?? ? ?正 交 。 ； 表 示 取 括 號 中 量 值 的 低 通 部 分 ； ； ； 窄帶隨機信號舉例 22 2: ( ) ( ) ( ) : ( ) ( )Y X X wS S H S H? ? ? ? ? ?? ? ? ?根據(jù) 白噪聲激勵下的輸出信號功率譜 試分別給出兩種產(chǎn)生窄帶噪聲的系統(tǒng)模型 白噪聲發(fā)生器 窄帶線性系統(tǒng) X(t) 白噪聲發(fā)生器 A 低通濾波器 白噪聲發(fā)生器 B 低通濾波器 a(t) b(t) 高頻載波發(fā)生器 cosω0t 相移 π/2 sinω 0t X(t) + 00: ( ) ( ) c os ( ) sinX t a t t b t t????根據(jù)萊斯表達式 白噪聲信號通過線性系統(tǒng)輸出圖例： A H1(ejw)/dB B H2(ejw)/dB C S1(ejw)/dB D S2(ejw)/dB E RXY(m)/dB F SXY(ejw)/dB A：低通濾波傳輸函數(shù)； B：高通濾波傳輸函數(shù)； C：低通濾波輸出功率譜； D：高通濾波輸出功率譜； E：兩濾波器輸出互相關(guān)； F：兩濾波器輸出的互功率譜。 窄帶隨機信號舉例 0 (): ( ) R e [ ( ) ] R e [ ( ) ] ( ) ( )B W 2 22 B W 4 B W 2 B W 1 ~ 2 ( ) ( ) jt jtaaSSSSx t z t x t e x t a t efk k x t x t? ?? ? ???? ? ???? ? ? ? 根 據(jù) 窄 帶 信 號 的 第 三 種 表 示 形 式 ， 其 中 稱 “ 復(fù) 包 絡(luò) ” ， 有 效 頻 譜 帶 寬 ， 若 對 其 進 行 采 樣 的 采 樣 頻 率 滿 足 ： 或 ： ( 值 為 之 間 ) ， 則 可 由 的 抽 樣 序 列 完 全 重 建 。窄帶信號的抽樣問題 獲取離散正交樣值序列 ω0Δω ω 0 ω 0+Δω X(ω) ω Δω 0 Δω Xa(ω) ω CC2222C2 2 22CCC: ( ) ( ) ( ) :( ) ( ) :0sin1( ) ( ) ( )2 2 21 , 2 , ... , ( ) (YXwYwj j jw w wYYYYCS S HSHR S e d H e d e dkk R R k??? ?? ???? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ????????? ?? ???? ?? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ?根據(jù) ，用白噪聲激勵低通濾波器的輸出信號功率譜 ， 輸 出信號自相關(guān)函數(shù)其他 當 時（ ） / ) 0 Y t ( ) , 0 , 1 , 2 , ..CCkt Y n n?????? ? ? ? ?對輸出信號 ( )進 行以時間間隔 的抽樣所得序列將是相互正交的樣值序列。 隨機序列通過離散線性系統(tǒng)分析 222nA R ( 1 )A R ( 1 ) x ( n ) a x ( n 1 ) e ( n ) e ( n ) h ( n ) a h ( n 1 ) ( n ) a h ( n 2) a ( n 1 ) ( n ) ( n ) a ( n 1 ) a ( n 2) ... a u ( n )w?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? 試求關(guān)于 過程的系統(tǒng)單位樣值響應(yīng)、系統(tǒng)函數(shù)、自相關(guān)函數(shù)和功率譜。所對應(yīng)的差分方程： ，其中 是方差為 的平穩(wěn)白噪聲。 求單位樣值響應(yīng)(遞推解) ：jn n jnjn n 02E2XE u ( n )1 ( ) h ( n ) e a e1 a ee ( n ) ( ) ( n )x ( n ) ( m ) h ( m ) h ( m ) ( ) h ( m ) h ( m ) ( m )wwHRRR????? ? ?? ? ??????? ? ? ?? ? ????? ? ? ? ? ? ? ? ????， 其中 為單位階躍序列 求系統(tǒng)函數(shù)： 自相關(guān)函數(shù)： 的自相關(guān): ， 的自相關(guān): 22k2 2 | |2XX 22k022XE j2h ( m ) h ( m ) h ( m k ) h ( k )aam 0 ( m ) a a m 0 ( m )1 a 1 aG ( ) ( ) G ( )| 1 a e |wwmmm k k wwwwRRH???????? ? ??? ? ?????? ? ? ? ???? ? ? ???? ? ????? 當 時： 綜合 的情況： 功率譜密度函數(shù)： 、 AR模型的正則方程與參數(shù)計算 ? 關(guān)于 AR模型的正則方程 ? 尤勒 沃克（ YuleWalker）方程 ? 尤勒 沃克方程的求解 關(guān)于 AR模型的正則方程 “正則方程 ” 指在最小均方誤差 (MSE)準則下建立的模型參數(shù)與相關(guān)函數(shù)間的關(guān)系； 由于這類模型建立在二階統(tǒng)計量上，所以一般此類建模方法只適用于高斯過程分析問題； AR模型具有最廣泛的應(yīng)用 (ARMA、 MA模型可以經(jīng)過轉(zhuǎn)換以 AR模型的形式實現(xiàn) )，許多實際物理系統(tǒng)可直接采用或經(jīng)某種變換后采用 AR模型； 尤勒 沃克（ YuleWalker）方程 11p A R 1 ( )1 e ( ) ( ) ( ) ( )e ( ) x ( n )pARpiiipiiHzaznx n a x n i e nn?????? ? ? ???階 模 型 的 系 統(tǒng) 函 數(shù) 形 式 為 ： （ 設(shè) 系 統(tǒng) 具 有 單 位 增 益 ）相 應(yīng) 的 在 白 噪 聲 激 勵 下 系 統(tǒng) 差 分 方 程 形 式 為 ：設(shè) 計 一 個 模 型 所 要 根 據(jù) 白 噪 聲 激 勵 下所 獲 得 的 響 應(yīng) 輸 出 樣 本 數(shù) 據(jù) ， 求 解 出 上 兩 式 中 所 包 含 的 所有 未 知 系 統(tǒng) 參 數(shù)解。決 的 問 題 ， 是對 于 一 個就21 2 p wA R p 1a a a ?階 模 型 ， 這 些 參 數(shù) 共 有 + 個 ： , , . . . , ， 以 及 白 噪 聲 的 方 差 。 尤勒 沃克（ YuleWalker）方程 ? ?i1i1A R x ( n) = ( ) e ( )() ( ) ( ) ( ) E ( ) ( ) ( ) piXpia x n i nx n mR m E x n x n ma x n m i e n m x n??? ? ????????? ? ? ? ? ???????????對于 模型：將其兩端分別乘以 后再求數(shù)學(xué)期望：? ? ? ?i1i1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )pipi X X Ea E x n m i x n E e n m x na R m i R m??? ? ? ? ? ?? ? ? ???參數(shù)求解過程推導(dǎo)： ? ? ? ?i120 W