【正文】 () ?而自相關(guān)函數(shù)僅依賴時差 ? () 1txx t ?? ?)()(),( 11 ?? xx RttR ???如果平穩(wěn)隨機過程的均值和自相關(guān)函數(shù)可以用任何一個充分長的樣本函數(shù)的時間平均值來計算，即 ? () ? () ?則稱此平穩(wěn)過程為 (弱 )遍歷過程。 稱作標準差。定義平穩(wěn)隨機過程 的功率譜密度函數(shù)為自相關(guān)函數(shù) 的傅里葉變換，即 ? () ()Xt)(?xR??? ?? deRS ixx ?????? )()(?其逆變換為 ? () ?以上兩式構(gòu)成傅里葉變換對，稱作維納 — 辛欽 (Wiener— X )關(guān)系式。工程中實測得到的功率譜僅對 的正值有定義，稱作單邊功率譜，記作 ， ? () ?計算功率譜時通常用頻率 代替角頻率 (rad/s)，上式可寫作 ? )(?xS?)(?xG)0( )(2)( ???? ??? xx SG)(Hzf?)()(4)(2)( ?? xxx SfSfG ???維納 — 辛欽關(guān)系式 (. 11)和 ()相應(yīng)地改寫為 ? () ? () ?? ?? deRfS fixx 2)()( ??????dfefSR fixx ???? 2)(21)( ??????隨機過程 的導(dǎo)數(shù)過程 的功率譜密度可以證明為 ? （ ） ?同樣有 ? （ ） ()Xt ()Xt)()( 2 ??? xx SS ??)()()( 39。時間差 稍大一些其相關(guān)程度迅速降低 (圖 )。 P(x)為單調(diào)升函數(shù)，具有下列性質(zhì) ? （ ） ( 6 . 1 . 3 3 ) ])([)( xtXPxP r ??1)(,1)(0,0)( ??????? PxPP?定義一維概率密度函數(shù)為 ? （ ） ? X(t)的值在 和 之間的概率可用概率密度函數(shù)表示為（ 圖 ） ? （ ） dtxdPxxPxxPxpx)()()(l i m)(0?? ??????2x1xdxxpxxxPxxr)()( 2121 ???? ? 圖 概率與概率密度函數(shù) ?則概率分布函數(shù)也可定義為 ? （ ） ?概率密度函數(shù)具有下列性質(zhì) ? （ ） dxxpxP x )()( ????1)(,0)(l i m,0)( ??? ? ??????dxxpxpxPx?前面定義的均值 可用概率密度函數(shù) p(x)表示為 ? （ ） ?即隨機變量 X(t)的一次矩，其幾何意義為 p(x)曲線與 x軸所圍面積形心的 x坐標 (圖 ),前面定義的均方值 為 X(t)的二次矩， ? （ ） x?dxxxpxEx )(][ ? ??????2x?dxxpxx )(22 ? ??????前面定義的方差為 X(t)相對于均值的二次矩，即二次中心矩， ? （ ） 2222 )()(xxxx dxxpx ???? ???? ????? (2)聯(lián)合概率密度函數(shù) ? 設(shè)有兩個隨機過程 X(t)和 Y(t)，在給定時刻 t構(gòu)成兩個隨機變量。 ? p(x)在無限域上的積分等于 1，但在 的 鄰域內(nèi)的積分等于 ，接近為 1。 ?正態(tài)過程最重要的特點是經(jīng)過線性運算之后仍為正態(tài)過程。 ?將式 ()中的 k代入后得到的功率譜密度與速度 v有關(guān) ? () ?, ??nnnx vS??? ??? 1)(1?若將汽車懸掛裝置的上下部分質(zhì)量分別考慮，則可將車輛簡化為串聯(lián)質(zhì)量的二自由度系統(tǒng)的隨機振動問題。 )( tMkcJ ??? ??? ??? ?圖 海浪的波高功率譜密度 ? M(t)的功率譜密度 與波高功率譜密度、船舶的吃水深度、尺寸、形狀及水動力學(xué)等因素有關(guān)。 ?圖 建筑物的簡化模型 ?只考慮地震加速度的水平分量 ，列出樓房相對地面的動力學(xué)方程 ? gx??)( )()()( )()(2221112221122121121111bxmxkkxkxccxcxmaxmxxkxxcxmgg???????????????????????????地震有初震、強震和衰減三個階段，是明顯的不平穩(wěn)隨機過程。剛度較大的建筑只需將定常部分作為靜載荷考慮。 )()( ???? dhFx ? ????0??)()0( FHx ?? ??當激勵的靜態(tài)分量為零時，響應(yīng)的靜態(tài)分量亦為零。 )(?FS0S???? dHSx202 )(2 ??????? dH 2)(? ????對于弱阻尼系統(tǒng)，其阻尼比 ，幅頻特性曲線在固有頻率 附近有很尖的峰值，則 有更尖的峰值。式 ()在有噪聲存在時其結(jié)果不變，因此關(guān)系式 ()比()更為有用。 ckSR xx2)0( 02 ???? 將式 ()中的 代以式 ()， 代以 ，計算響應(yīng)的自譜，得到 ? （ f） )(?H)(?FS0S22220)()(???cmkSS x????利用式 ()計算激勵與響應(yīng)的互相關(guān)函數(shù)，得到 ? （ g） ???????????????ddddFxemSdemSRs i ns i n)()(00???????? ??利用式（ ）計算激勵與響應(yīng)的互譜，得到 ? （ h） ???icmkSS Fx???20)(? 2．多自由度線性系統(tǒng)對單個隨機激勵的響應(yīng) ? 以上對單自由度線性系統(tǒng)的討論過程也適用于受單個激勵 F(t)的多自由度線性系統(tǒng) (圖)。 nm ?)(txi )(tFj)(thij),2,1。 ),2,1)(( mjtF j ?? ),2,1)(( njtx i ??)]([)( )],([)( txtxtFtF ij ???（ 1）相關(guān)矩陣 ? n個響應(yīng)的自相關(guān)和互相關(guān)函數(shù)為 ? () ?以 為元素構(gòu)成 的相關(guān)矩陣 ? () ),2,1,( )]()([)(nlktxtxER lkxxlk???? ??)]()([)( ?? ?? txtxER TxxlkxxRnn?)(?xxR?將上式中的 和 以杜哈梅積分表示，用 和 作為積分變量，得到 ? () ?進行與式類似的推倒，得到響應(yīng)與激勵的相關(guān)矩陣之間的關(guān)系式 ? () )( ??tx)(tx2?1?])()()()([)(222111????????dhtFdtFhERTTxx????????????122211 )()()()( ???????? ddhRhRTFFxx ??? ????????? (2)功率譜密度矩陣 ?定義平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度矩陣為相關(guān)矩陣的傅里葉變換，而后者為前者的逆變換，則對式 ()兩邊作傅里葉變換后，進行與式 ()類似的推導(dǎo) ? () ??????????? deddhRhSiTFFxx????????????????])()()([)(12221122)(21112211)()()(????????????????dehdeRdehiTiFFi???????????????? ????得到響應(yīng)與激勵的功率譜密度矩陣之間的關(guān)系式 ? () ?其中 為 的共扼陣，即 )()()(*)( ???? TFFxx HSHS ?)(* ?H )(?H )( ??H? (3)激勵與響應(yīng)的互相關(guān)矩陣 ? n個響應(yīng)與 m個激勵之間的互相關(guān)矩陣為 ? () )]()([)( ?? ?? txtFER TFx?進行與式 ()類似的推導(dǎo)， ? ? () ? () ])()()([)( ????? dhtFtFER TTFx ??? ? ??????? dhtFtFE TT )()]()([ ??? ? ???????? dhRR TFFFx )()()( ?? ? ???? (4)激勵與響應(yīng)的互譜密度矩陣 ?定義激勵與響應(yīng)的 互譜密度矩陣 為互相關(guān)矩陣的傅里葉變換。 ?實踐表明，在頻率