【正文】 ?求響應(yīng)的功率譜密度矩陣。 ),2,1)(( mjtF j ?? ),2,1)(( njtx i ??)]([)( )],([)( txtxtFtF ij ???（ 1）相關(guān)矩陣 ? n個(gè)響應(yīng)的自相關(guān)和互相關(guān)函數(shù)為 ? () ?以 為元素構(gòu)成 的相關(guān)矩陣 ? () ),2,1,( )]()([)(nlktxtxER lkxxlk???? ??)]()([)( ?? ?? txtxER TxxlkxxRnn?)(?xxR?將上式中的 和 以杜哈梅積分表示，用 和 作為積分變量，得到 ? () ?進(jìn)行與式類似的推倒，得到響應(yīng)與激勵(lì)的相關(guān)矩陣之間的關(guān)系式 ? () )( ??tx)(tx2?1?])()()()([)(222111????????dhtFdtFhERTTxx????????????122211 )()()()( ???????? ddhRhRTFFxx ??? ????????? (2)功率譜密度矩陣 ?定義平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度矩陣為相關(guān)矩陣的傅里葉變換，而后者為前者的逆變換，則對(duì)式 ()兩邊作傅里葉變換后，進(jìn)行與式 ()類似的推導(dǎo) ? () ??????????? deddhRhSiTFFxx????????????????])()()([)(12221122)(21112211)()()(????????????????dehdeRdehiTiFFi???????????????? ????得到響應(yīng)與激勵(lì)的功率譜密度矩陣之間的關(guān)系式 ? () ?其中 為 的共扼陣，即 )()()(*)( ???? TFFxx HSHS ?)(* ?H )(?H )( ??H? (3)激勵(lì)與響應(yīng)的互相關(guān)矩陣 ? n個(gè)響應(yīng)與 m個(gè)激勵(lì)之間的互相關(guān)矩陣為 ? () )]()([)( ?? ?? txtFER TFx?進(jìn)行與式 ()類似的推導(dǎo)， ? ? () ? () ])()()([)( ????? dhtFtFER TTFx ??? ? ??????? dhtFtFE TT )()]()([ ??? ? ???????? dhRR TFFFx )()()( ?? ? ???? (4)激勵(lì)與響應(yīng)的互譜密度矩陣 ?定義激勵(lì)與響應(yīng)的 互譜密度矩陣 為互相關(guān)矩陣的傅里葉變換。 nm ?)(txi )(tFj)(thij),2,1。 1m)(0 tx0S ?圖 雙層隔振系統(tǒng) ?解 ： 設(shè)絕對(duì)位移 如圖示，列出系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程 ? （ a） 321 , xxx0)()()()(0)()(0)()(011131220221112223132313??????????????????xxkxxkxxkxxcxmxxkxxcxxkxxcxm???????????定義振動(dòng)的傳遞率 的平方為隔振對(duì)象輸出量 的自譜 與輸入量 的自譜 之比，即 ? （ b） rT)(3 tx )(?xS)(0 tx)(?FS)()()(2???FxrSST ??對(duì)于線性系統(tǒng)，利用式 ()從上式導(dǎo)出 ? （ c） ?為計(jì)算各復(fù)頻響應(yīng)函數(shù)，設(shè)輸入量簡(jiǎn)諧變化， ，各輸出量為 ? （ d） )()( ?? HT r ?tietx ??)(0tieHtx ?? )()(11 ?tieHtx ?? )()(22 ?tieHtx ?? )()(33 ??將各簡(jiǎn)諧函數(shù)代人方程組 (a)，得到 ， 的一組線性代數(shù)方程并解出 ? （ e） )(3 ?H)(2 ?H)(1 ?HiBAiBAH22113 )(?????其中 ? （ f） )1)((2)1(2)1(2)1(4)1)((])1([2)1(42223222222221221ssssssBsssssAsBsaA???????????????????????????? ? ????????????????????且有 ? （ g） ?代人式 (e)， (c)計(jì)算振動(dòng)的傳遞率，得到 ? （ h） mmkkkkccmkcmks121100,2,???????????????22222122122121 )()()(BAABABBBAAT r???????隔振對(duì)象位移 的均方值為 ? （ i） ?可利用附錄中的積分表計(jì)算。設(shè)基礎(chǔ)位移激勵(lì)冗 是均值為零自譜為 的理想白噪聲。 ?實(shí)踐表明，在頻率域內(nèi)進(jìn)行響應(yīng)的統(tǒng)計(jì)特性分析要比時(shí)差域內(nèi)的分析簡(jiǎn)單得多。 ckSR xx2)0( 02 ???? 將式 ()中的 代以式 ()， 代以 ，計(jì)算響應(yīng)的自譜，得到 ? （ f） )(?H)(?FS0S22220)()(???cmkSS x????利用式 ()計(jì)算激勵(lì)與響應(yīng)的互相關(guān)函數(shù)，得到 ? （ g） ???????????????ddddFxemSdemSRs i ns i n)()(00???????? ??利用式（ ）計(jì)算激勵(lì)與響應(yīng)的互譜，得到 ? （ h） ???icmkSS Fx???20)(? 2．多自由度線性系統(tǒng)對(duì)單個(gè)隨機(jī)激勵(lì)的響應(yīng) ? 以上對(duì)單自由度線性系統(tǒng)的討論過程也適用于受單個(gè)激勵(lì) F(t)的多自由度線性系統(tǒng) (圖)。 0S ?圖 受隨機(jī)激勵(lì)的質(zhì)量 彈簧系統(tǒng) ?解： 已知系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)為 ? （ a） ?????????)0(0)0(s i n1)(tttemthdtd????將白噪聲自相關(guān)函數(shù) ()代人式 ()計(jì)算響應(yīng)的自相關(guān)函數(shù)，得到 ? （ b） 11102121021)()()]()()()(?????????????dhhSddShhR x??????????????????將式 (a)代入上式，積分得到 ? （ c） )0()s i n( c o s2)(s i ns i n)(0111)2(220 1???????????????????????????????ddddddxeckSdtemSR?由于自相關(guān)函數(shù)的偶函數(shù)性質(zhì)，對(duì)于 情形，可將上式中的 ，代以 ，寫作 ? （ d） ?此相關(guān)函數(shù)為幅值按負(fù)指數(shù) 衰減的振蕩曲線。 F(t)是均值為零、自譜為 的理想白噪聲平穩(wěn)過程。如果測(cè)試得到的譜相干函數(shù)不等于 1，則可能是系統(tǒng)內(nèi)存在非線性因素，也可能是測(cè)試過程中存在噪聲影響。式 ()在有噪聲存在時(shí)其結(jié)果不變，因此關(guān)系式 ()比()更為有用。 ?從實(shí)驗(yàn)測(cè)得 與 之后，也可利用式 ()求出復(fù)頻響應(yīng)函數(shù) 所包含的幅頻和相頻的完整信息。 ?因此線性系統(tǒng)在實(shí)踐中常起到窄帶濾波器的作用。 1???0?2)(?H)(?FS2x?0? )( 0?FS)(?FS?亦即近似地認(rèn)為系統(tǒng)受到功率譜密度 的白噪聲激勵(lì)。 )(?FS0S???? dHSx202 )(2 ??????? dH 2)(? ????對(duì)于弱阻尼系統(tǒng)，其阻尼比 ，幅頻特性曲線在固有頻率 附近有很尖的峰值，則 有更尖的峰值。 )()( 0 ??? SR F ?0S)()( 0 ?? hSR Fx ?)(?FxR)(?h? (4)自譜 ?利用式 ()和 ()計(jì)算響應(yīng)的自譜，導(dǎo)出 ? () ??? ?22)(21112121212211)()()()]()()()(???????????????????????????dehdeRdehdeddRhhSiiFiiFx?????????????????????????????????????注意到中括號(hào)內(nèi)的積分即激勵(lì)的自譜 且由式 ()導(dǎo)出 ? () ?其中 *號(hào)表示復(fù)數(shù)的共扼 )(?FS)()()()()(221121???????????HdehHHdehii???????????????代人式 ()后得到 ? () ?此結(jié)果表明，根據(jù)激勵(lì)譜 與系統(tǒng)的復(fù)頻響應(yīng)函數(shù)的幅頻特性