【正文】 《 振動(dòng)力學(xué) 》 講義 第 8章 隨機(jī)振動(dòng)基礎(chǔ) 當(dāng)u。由此可得系統(tǒng)輸入與輸出加速度之間的頻響函數(shù)為 02 2 3 30 0 0( 1 ) 2 /()()( ) ( 1 / ) ( 1 ) 2 / 2 /N i NzHu N i N i? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ?????? ? ? ? (8. 154) 其中01 / , / 2 , /k m c k m N k k?? ? ? ?。 圖 1 單自由度隔振系統(tǒng) ()ut ()zt k 1k c m 《 振動(dòng)力學(xué) 》 講義 第 8章 隨機(jī)振動(dòng)基礎(chǔ) 為了消除阻尼的不良影響，通常的做法是在阻尼器上串聯(lián)一個(gè)輔助彈簧1k，如圖 8. 11 所示。 對(duì)方程 (8 . 14 5) 進(jìn)行 Fo ur ier 變換， 得 ( ) ( ) ( )y H x? ? ?? (8. 147) 其中()H ?為系統(tǒng)的頻響函數(shù)： 2200( ) 1()( ) 1 / 2 /yHxi??? ? ? ? ? ????? (8. 148) 根據(jù)方程 ( 26 ) ，可得響應(yīng)y的功率譜密度為 22 2 2 200()( ) | ( ) | ( )( 1 / ) ( 2 / )xyxSS H S?? ? ?? ? ?? ????? (8. 1 49) 響應(yīng)y的均方值為 22 2 2 200()()( 1 / ) ( 2 / )xySy S d d?? ? ?? ? ?? ???? ? ? ??????? (8. 150) 《 振動(dòng)力學(xué) 》 講義 第 8章 隨機(jī)振動(dòng)基礎(chǔ) 如果激勵(lì)x為白噪聲，其功率譜密度為0()xSS ? ?，響應(yīng)y的均方值為 2 0 0 02 2 2 200()( 1 / ) ( 2 / ) 2ySSy S d d??? ? ?? ? ?? ? ???? ? ? ?? ? ????? ( 8. 151) 8 .5. 2 單自由度系統(tǒng)的隔振問(wèn)題 上面圖 8 .1 0 所示系統(tǒng)實(shí)際上就是一種隔振系統(tǒng)，由方程 (8 . 1 4 6 ) ，得 2 2 2 200220( / ) ( ) ( / ) ( )( ) ( )1 1 1( ) ( ) ( / ) ( ) ( )yyzyu u u x? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 將 (8 . 1 4 8 ) 代入上式，得圖 8 . 1 0 所示系統(tǒng)的加速度響應(yīng)y與地面激勵(lì)加速度u之間的頻響函數(shù)為 《 振動(dòng)力學(xué) 》 講義 第 8章 隨機(jī)振動(dòng)基礎(chǔ) 022001 2 /()()( ) 1 / 2 /izHui? ? ???? ? ? ? ? ?????? (8. 152) 當(dāng)0/2?? ?時(shí)，無(wú)論阻尼比?等于何值，| ( ) | 1H ? ?；當(dāng)0/2?? ?，時(shí)，?越大、| ( ) |H ?也越大。 圖 受到基礎(chǔ)激勵(lì)的單自由度系統(tǒng) m k c ()zt ()ut 《 振動(dòng)力學(xué) 》 講義 第 8章 隨機(jī)振動(dòng)基礎(chǔ) 8. 基礎(chǔ)激勵(lì)的 單自由度質(zhì)量－彈簧－阻尼系統(tǒng) 考慮如圖 8. 10 所示 的 單自由度質(zhì)量－彈簧－阻尼系統(tǒng) ，受到基礎(chǔ)位移激勵(lì)()xt的作用，假設(shè)激勵(lì)為平穩(wěn)各態(tài)歷經(jīng)過(guò)程。令 : : : : : : 圖 M I M O 隨機(jī)系統(tǒng) X1( t ) Yn( t ) 輸入樣本 x1( t ) h ( t ) H ( ? ) 輸出樣本 ym( t ) Xm( t ) 輸入樣本 xm( t ) Y1( t ) 輸出樣本 y1( t ) 《 振動(dòng)力學(xué) 》 講義 第 8章 隨機(jī)振動(dòng)基礎(chǔ) 11( ) { ( ) , , ( ) } , ( ) { ( ) , , ( ) }TTmnt x t x t t y t y t??xy (8. 134) 分別為輸入和輸出樣本的列向量，可得樣本函數(shù)的輸入輸出關(guān)系為 ( ) ( ) ( )t h t d? ? ????????yx (8. 135) 當(dāng)輸入)( tX為平穩(wěn)過(guò)程，線性輸出)( tY也一定是平穩(wěn)過(guò)程。 8. M I M O 系統(tǒng)的響應(yīng) 考慮圖 8. 9 所示的線性 系統(tǒng)，它具有m個(gè)隨機(jī)輸入、n個(gè)隨機(jī)輸出。因?yàn)橐粋€(gè)已實(shí)現(xiàn)的樣本是確定性過(guò)程，所以 根據(jù) D u h am el 積分， 有 ??????? ??? dtxhty )()()( ( 8. 122) 其中)( th為系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)，對(duì)應(yīng)的頻率響應(yīng)函數(shù)為 ??????? tdethHti ?? )()( ( 8. 123) 圖 8. 8 SI SO 隨機(jī)系統(tǒng) X ( t ) Y ( t ) 輸入樣本 x ( t ) h ( t ) H ( ? ) 輸入樣本 y ( t ) 《 振動(dòng)力學(xué) 》 講義 第 8章 隨機(jī)振動(dòng)基礎(chǔ) 當(dāng)輸入過(guò)程)( tX為平穩(wěn) 各態(tài)歷經(jīng) 過(guò)程時(shí)，可得以下 IO 關(guān)系： 響應(yīng)()yt的均值為： /2/2/2/21l i m [ ( ) ( ) ]1( ) [ l i m ( ) ] [ ( ) ] ( 0 )TTTTTTy h x t d dtTh x t dt d h d x H xT? ? ?? ? ? ? ???? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ?????? ? ? ???? ? ? 即 (0 )y H x? (8. 124) 響應(yīng)()yt的 自 相關(guān)函數(shù)為： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )yxR y t y t h u x t u h v x t v d u d vh u R u v h v d u d v? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?????(8. 125) 《 振動(dòng)力學(xué) 》 講義 第 8章 隨機(jī)振動(dòng)基礎(chǔ) 響應(yīng)()yt的自譜密度為： 2( ) | ( ) | ( )yxS H S? ? ?? (8. 126) 響應(yīng)()yt的均方值為： 22( ) | ( ) | ( )yxy S d H S d? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ????? (8. 127) 激勵(lì)()xt和響應(yīng)()yt的互相關(guān)函數(shù)為： ?????????????????uduRuhudutxuhtxEtytxERxxy)()(})()()({)}()({)(???? (8. 128) 激勵(lì)()xt和響應(yīng)()yt的互譜密度為： )()()( ??? xxy SHS ? (8. 129) 《 振動(dòng)力學(xué) 》 講義 第 8章 隨機(jī)振動(dòng)基礎(chǔ) 再來(lái)介紹一個(gè)重要的統(tǒng)計(jì)函數(shù) —— 譜相干函數(shù) （也稱為 凝聚函數(shù) ），定義為 22| ( ) |()( ) ( )xyxyxySSS?????? (8. 130) 對(duì)于任意微小頻率 區(qū)間( , )? ? ???，由方程 (8 .1 1 1) 和 (8 .96)可得 ( 0 ) ( ) / 2( 0 ) ( ) / 2 , ( 0 ) ( ) / 2x y x yx x y yRSR S R S? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? 將此代入 ( 30 ) ，并由 (8 .10 7) ，得 22| ( 0 ) |( ) 1( 0 ) ( 0 )xyxyxyRRR?? ?? (8. 131) 即 對(duì)于任意兩個(gè)平穩(wěn)過(guò)程)(),( tYtX，)(2 ?? xy的取值范圍為 《 振動(dòng)力學(xué) 》 講義 第 8章 隨機(jī)振動(dòng)基礎(chǔ) 2 ( ) 1xy?? ?；但是，如果平穩(wěn)過(guò)程)(),( tYtX為一個(gè)線性系統(tǒng)的輸入、輸出，則有 1)(|)(|)(|)()(|)()(|)(|)(2222?????????????xxxyxxyxySHSSHSSS (8. 132) 可見(jiàn)，譜相干函數(shù)的大小表征了兩個(gè)平穩(wěn)過(guò)程)(),( tYtX之間的線性依賴程度，當(dāng))(),( tYtX是完全線性關(guān)系時(shí)，)(2 ?? xy達(dá)到最大值 1 ，否則，)(),( tYtX就不是完全線性關(guān)系。如果他們是零均值 G aus s 過(guò)程，則可用方程 (8 .74 ) 表示為 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )z x y x y y x x yR R R R R R? ? ? ? ? ?? ? ? (8. 120) 如果()xt與()yt是獨(dú)立的，則 ( ) ( ) ( )z x yR R R? ? ?? (8. 121) 8. 4 線性系統(tǒng)的平穩(wěn) 輸入－輸出關(guān)系 本節(jié)考慮一般的線性系統(tǒng)，當(dāng)輸入為平穩(wěn)各態(tài)歷經(jīng)過(guò)程時(shí)，系統(tǒng)的響應(yīng)問(wèn)題，即我們要建立一般線性系統(tǒng)的輸入－輸出關(guān)系。 《 振動(dòng)力學(xué) 》 講義 第 8章 隨機(jī)振動(dòng)基礎(chǔ) 圖 8 . 7 寬帶噪聲和窄帶噪聲 0 20 40 60 80 100101 5 0 0 50505103 2 1 0 1 2 3010200 50 100 150 200101 1 0 0 5 0 0 50 100 5 00502 1 0 1 2010002022()xt t t ()xR ? ? ()xR ? ()xt ? ()xS ? ? ? ()xS ? (a ) 寬帶噪聲 (b) 窄帶噪聲 《 振動(dòng)力學(xué) 》 講義 第 8章 隨機(jī)振動(dòng)基礎(chǔ) 8. 3. 3 自相關(guān)函數(shù) 我們研究零均值信號(hào)()xt， 已經(jīng)知道 信號(hào)()xt的 自相關(guān)函數(shù)為 ( ) ( ) ( )xR x t x t???? (8. 102) 不難證明， 下式成立： ( 0) | ( ) |xxRR ?? (8. 103) 方程 (8 .54 ) 定義的相關(guān)系數(shù)可 用自相關(guān)函數(shù) 表示為： ()()( 0 )xxxRR??? ? (8. 104) 由 (8 .10 3) 式可得 1 ( ) 1x??? ? ? (8. 105) 《 振動(dòng)力學(xué) 》 講義 第 8章 隨機(jī)振動(dòng)基礎(chǔ) 8. 互相關(guān)函 數(shù) 和互功率譜密度函數(shù) 我們研究零均值信號(hào)()xt、()yt，已知信號(hào)()xt的自相關(guān)函數(shù)為 ( ) ( ) ( )xyR x t y t???? (8. 106) 不難證明： | ( ) | (0 ) (0 )x y x yR R R? ? (8. 107) ( ) ( )x y y xRR ?? ?? (8. 108) 信號(hào)()xt、()yt的相關(guān)系數(shù)可以表示為： ()()( 0) ( 0)xyxyxyRRR??? ? (8. 109) 《 振動(dòng)力學(xué) 》 講義 第 8章