【正文】 2/21()2fe????? ( 8. 68) 這樣隨機(jī)過程()t?的均值為零、標(biāo)準(zhǔn)差為 1 ，即0 , 1?????；其概率分布函數(shù)為 2/21( ) ( )2uF f du e du???????? ?????? ( 8. 69) 兩個(gè) G au s s 過程1 ()Xt和2 ()Xt的二維概率密度函數(shù)為 12 22121 2 1 2221 1 1 1 2 2 2 212221 1 2 111( , ) e x p {2 ( 1 )21( ) ( ) ( ) ( )[ 2 ] }f x xx X x X x X x X?? ? ? ??? ? ? ?? ? ???? ? ? ? ??? ( 8. 70) 其中1?、2?分別為1 ()Xt和2 ()Xt的標(biāo)準(zhǔn)差，12?為1 ()Xt和 《 振動(dòng)力學(xué) 》 講義 第 8章 隨機(jī)振動(dòng)基礎(chǔ) 2 ()Xt的相關(guān)系數(shù)。經(jīng)?？梢?將這種綜合隨 《 振動(dòng)力學(xué) 》 講義 第 8章 隨機(jī)振動(dòng)基礎(chǔ) 機(jī)現(xiàn)象視為 G auss 隨機(jī)過程。 （ 2 ）因?yàn)?G auss 過程是由許多獨(dú)立變量之和組成，所以由兩個(gè)以上的 Gauss 過程之和組成的隨機(jī)過程仍然為 Gauss 過程。但是，如果對(duì) G auss 過程進(jìn)行非線性運(yùn)算，其結(jié)果就不是 G auss 過程。例如，均值為零時(shí)，四次矩為 ： 1 2 3 4 1 2 3 4 2 3 1 4 1 3 2 4X X X X X X X X X X X X X X X X? ? ? ? ? ? (8. 74) 當(dāng)1 3 2 4,X X X X??時(shí)， 《 振動(dòng)力學(xué) 》 講義 第 8章 隨機(jī)振動(dòng)基礎(chǔ) 2 2 2 2 21 2 1 2 1 22 ( )X X X X X X? ? ? (8. 75) 當(dāng)1 2 3 4X X X X? ? ?時(shí)， 4 2 2 43 ( ) 3xXX ??? (8. 76) 此外，當(dāng)0X ?時(shí)， X 的偶次矩為 22 1 3 5 ( 2 1 )nnxXn ?? ? ? ? (8. 77) X 的奇次矩為零。但是，我們還需要知道振動(dòng)波形的相關(guān)信息，為此必須研究振動(dòng) 信號(hào)()xt所包含的頻率成分 ，這里()xt可以是平穩(wěn)各態(tài)歷經(jīng)過程的樣本函數(shù)， 也可以是 《 振動(dòng)力學(xué) 》 講義 第 8章 隨機(jī)振動(dòng)基礎(chǔ) 確定性信號(hào) 的一個(gè)記錄 。 方程 (8 .80 ) 表示()xt由無(wú)數(shù)個(gè)諧波成分疊加而成，每個(gè)諧波成分的幅值為nc， 角頻率為0n ?； 而觀察方程 ( 1)易知， 單個(gè)諧波成分0i n tnce?的均方值為2||nc。 我們 可以作出0()xSn ?與?之間的 函數(shù)圖形， 如圖 8. 6 所示 。 對(duì)于兩個(gè)非周期信號(hào)1 ()xt和2 ()xt，由方程 (8 .86 ) 可得 1 2 2 11( ) ( ) ( ) ( )2itx t x t x t X e d???????? ? 由 上式并考慮到 (8 . 85 ) 可得 《 振動(dòng)力學(xué) 》 講義 第 8章 隨機(jī)振動(dòng)基礎(chǔ) 1 2 2 121*121( ) ( ) ( ) ( )21[ ( ) ] ( )21( ) ( )2ititx t x t d t x t X e d d tx t e d t X dX X d????????? ? ??? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ???????? ? ???? 即 *1 2 1 21( ) ( ) ( ) ( )2x t x t d t X X d? ? ????? ? ? ???? (8. 87) 上式就是 Parseval 定理 。令 00 0 001( ) l i m ( ) ( )xTS n X n X nT?? ? ?????? (8. 89) 則 2001()2xnx S n ????? ? ?? ? (8. 90) 比較方程 ( 0) 與 (8 . 84 ) 可知，0()xSn ?就是非周期信號(hào)()xt 《 振動(dòng)力學(xué) 》 講義 第 8章 隨機(jī)振動(dòng)基礎(chǔ) 的功率譜密度函數(shù)。 可見，非周期信號(hào)()xt的功率譜密度函數(shù)()xS ?是?的連續(xù)函數(shù)。設(shè) 《 振動(dòng)力學(xué) 》 講義 第 8章 隨機(jī)振動(dòng)基礎(chǔ) 12( ) ( ) , ( ) ( )x t x t x t x t ?? ? ? (8. 94) 則 12( ) ( ) , ( ) ( )iX X X e X??? ? ? ??? (8. 95) 由自相關(guān)函數(shù)的定義式和方程 (8 .87 ) 、 (8 .95 ) 可得 /212/2*1211( ) l i m ( ) ( ) l i m ( ) ( )11l i m ( ) ( )211l i m ( ) ( )21()2TxTTTTiTixR x t x t d t x t x t d tTTX X dTX X e dTS e d??????? ? ??? ? ??????? ? ?? ? ? ?????????? ?????? ? ????????? 即 1( ) ( )2ixxR S e d??? ? ?????? ? (8. 96) 《 振動(dòng)力學(xué) 》 講義 第 8章 隨機(jī)振動(dòng)基礎(chǔ) 可見，()xR ?與()xS ?構(gòu)成 F o u r i er 變化關(guān)系，因此 ( ) ( )ixxS R e d??? ? ?????? ? ( 8. 97) 方程 (8 . 9 6 ) 、 ( 8 .9 7 ) 稱為 W i ene r Kh i ntc hi ne 公式 。 一般來說，為 了 解決下列問題，必須研究功率譜密度 ： （ 1 ）了解振動(dòng)的原因； （ 2 ）模擬振動(dòng)； （ 3 ）解決防振中的設(shè)計(jì)問題。根據(jù)方程 (8 . 9 3 ) ，也可在正頻率軸上定義單 《 振動(dòng)力學(xué) 》 講義 第 8章 隨機(jī)振動(dòng)基礎(chǔ) 邊譜 密度 ； 在方程 ( 3) 中，將角頻率?改為 Hz 頻率f，得 2002 ( ) ( )xxx S f d f W f d f?????? (8. 98) 其中 ( ) 2 ( ) , 0xxW f S f f? ? ? ? (8. 99) 就是 單邊譜 密度 。 白噪聲的自相關(guān)函數(shù)為脈沖函數(shù)0( ) ( )xRS ? ? ??。 實(shí)際中，經(jīng)常遇到 三種隨機(jī)過程，即 簡(jiǎn)諧波隨機(jī)過程、寬帶隨機(jī)過程 和 窄帶隨機(jī)過程 。 寬帶隨機(jī)過程和窄帶隨機(jī)過程如圖 8. 7 所示。 由方程 (8 .10 8) 和 (8 .1 1 1)可得 ( ) ( )x y y xSS ?? ?? (8. 1 13 ) 兩個(gè)平穩(wěn)各態(tài)歷經(jīng)過程變量()xt與()yt之和 《 振動(dòng)力學(xué) 》 講義 第 8章 隨機(jī)振動(dòng)基礎(chǔ) ( ) ( ) ( )z t x t y t?? (8. 1 14 ) 的自相關(guān)函數(shù)為 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )z x x y y x yR R R R R? ? ? ? ?? ? ? ? (8. 1 15 ) 兩邊進(jìn)行 Fo ur ier 變換，得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )z x x y y x yS S S S S? ? ? ? ?? ? ? ? (8. 1 16 ) 如果()xt與()yt是獨(dú)立的，( ) ( ) 0x y y xSS ?? ??，所以 ( ) ( ) ( )z x yS S S? ? ??? (8. 1 17 ) 兩個(gè)平穩(wěn)各態(tài)歷經(jīng)過程變量()xt與()yt之積 ( ) ( ) ( )z t x t y t? (8. 1 18 ) 的自相關(guān)函數(shù)為 《 振動(dòng)力學(xué) 》 講義 第 8章 隨機(jī)振動(dòng)基礎(chǔ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )zR x t y t x t y t? ? ?? ? ? (8. 1 19 ) 這種四次矩，一般不能用()xt與()yt的二次矩表示。 《 振動(dòng)力學(xué) 》 講義 第 8章 隨機(jī)振動(dòng)基礎(chǔ) 8 .4. 1 SISO 系統(tǒng)的響應(yīng) 所考慮圖 8. 8 所示的系統(tǒng) SISO 系統(tǒng) 。因此，可以利用譜相干函數(shù)的大小來檢驗(yàn)系統(tǒng)的線性程度?，F(xiàn)在圖中的()ht和()H ?分別為系統(tǒng)的nm? 《 振動(dòng)力學(xué) 》 講義 第 8章 隨機(jī)振動(dòng)基礎(chǔ) 脈沖響應(yīng)矩陣和頻響函數(shù)矩陣，滿足： ( ) ( ) , ( ) ( )( ) , ( )itn m n mH h t e d t H Hh t R H C?? ? ??????????? ? ???? ( 8. 133) 其中()H ??為()H ?的復(fù)共軛矩陣。對(duì)輸入、輸出向量定義自相關(guān)矩陣如下： ( ) ( ) ( )T m mxR t t R?? ?? ? ?xx (8. 136) ( ) ( ) ( )T n nyR t t R?? ?? ? ?yy (8. 137) 由此可定義自功率譜矩陣： mmixxCdeRS???????? ? ?????)()( (8. 138) 《 振動(dòng)力學(xué) 》 講義 第 8章 隨機(jī)振動(dòng)基礎(chǔ) nniyyCdeRS???????? ? ?????)()( (8. 139) 不難推出， MIM O 系統(tǒng)的隨機(jī) IO 關(guān)系為： ( ) ( ) ( ) ( )TyxS H S H? ? ? ??? (8. 140) 對(duì)輸入、輸出向量可以定義互相關(guān)矩陣如下： ( ) ( ) ( )T m nxyR t t R?? ?? ? ?xy (8. 141) 由此可定義互功率譜矩陣： nmixyxyCdeRS???????? ? ?????)()( (8. 142) 不難推出如 下關(guān)： )()()( ??? Txxy HSS ? (8. 143) 如果已知)(),( ?? xxy SS，應(yīng)用該關(guān)系，可以確定系統(tǒng)的頻 《 振動(dòng)力學(xué) 》 講義 第 8章 隨機(jī)振動(dòng)基礎(chǔ) 響函數(shù)矩陣)(?H，即 )()()( 1 ??? xyxT SSH ?? (8. 144) 8. 5 離散 系統(tǒng)的隨機(jī)振動(dòng) 線性振動(dòng)系統(tǒng)，在平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)下的振動(dòng)分析是很重要的一個(gè)實(shí)際課題，本節(jié)用幾個(gè)具體問題來展示和介紹相應(yīng)的分析方法。系統(tǒng)的振動(dòng)方程為 ( ) ( )m z k z u c z u? ? ? ? ? 即 ( ) ( ) ( )m z u c z u k z u m u? ? ? ? ? ? ? 上式 可以寫為： 220 0 02y y y x? ? ? ?? ? ? (8. 145) 其中0 / , / 2k m c k m?? ??，而 20,/y z u x u ?? ? ? ? (8. 146) 《 振動(dòng)力學(xué) 》 講義 第 8章 隨機(jī)振動(dòng)基礎(chǔ) y為彈簧的相對(duì)位移，x為基礎(chǔ)的加速度激勵(lì)。因此， 在0/2?? ?的寬廣頻域內(nèi)，圖 8. 10 所示的隔振系統(tǒng)對(duì)于隔離加速度振動(dòng)而言，靠增加阻尼不但沒有效果，還會(huì)起反作用 。此時(shí)，系統(tǒng)的振動(dòng)方程為 11 1 1( ) ( ) 0( ) ( )m z c z z k z uc z z k z u? ? ? ? ???? ? ?? (8. 153) 其中1z為阻尼器與輔助彈簧連接點(diǎn)的位移。顯然，當(dāng)N ??時(shí)，圖 8. 1 1 的系統(tǒng)與 圖 8. 10 的相同，易知方程 (8 .15 4) 退化為(8 .15