【正文】 響應(yīng)的相關(guān)函數(shù)和功率譜密度函數(shù) 。 12? ? ???(2)當(dāng) 它是白噪聲隨機(jī)過程 . 120,??? ? ?o?窄帶隨機(jī)為什么研究過程 ?對(duì)于一個(gè)振蕩系統(tǒng) ,它相當(dāng)于一個(gè)濾波器 , 它的輸出一般是比輸入的帶寬要窄 . 這個(gè)窄帶輸出的較高階的統(tǒng)計(jì)特性是很重要的 ,因?yàn)樗^極值的概率涉及結(jié)構(gòu)的倒塌 。 (2)它們一般不是偶函數(shù) , 但滿足下面關(guān)系 ? ? ? ? ? ?*X Y Y X Y XS S S? ? ?? ? ?(3)它們的模滿足下面關(guān)系 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1。 第二是關(guān)于前面通過集合分析得到的統(tǒng)計(jì)特性是否可以通過對(duì)每一條記錄的統(tǒng)計(jì)特性分析來代替 . ? 非平穩(wěn)和平穩(wěn) (Nonstationary and stationary)隨機(jī)過程 12, ,..., nt t t 12, , ..., nX X X如果指定時(shí)刻有一個(gè)延遲 時(shí)間 , 下面的關(guān)系成立 , 那么這個(gè)隨機(jī)過程就是平穩(wěn)隨機(jī)過程 . ?? ? ? ?11p x t p x t ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?1 2 1 2,p x t x t p x t x t??? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 2 1 2, , . . . , , , . . . ,nnp x t x t x t p x t x t x t? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?不滿足這個(gè)關(guān)系就是非平穩(wěn)隨機(jī)過程 . 強(qiáng)地面運(yùn)動(dòng)就是屬于非平穩(wěn)隨機(jī)過程 . ? 各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)過程 (Ergodic Stochastic Processes) 平穩(wěn)隨機(jī)過程依賴于時(shí)間的統(tǒng)計(jì)特性是通過樣本空間的不同實(shí)現(xiàn)的“豎向”分析得到的 , 如果它們和任意一條記錄 (實(shí)現(xiàn) )的“橫向”分析的統(tǒng)計(jì)特性一致 , 那么這個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)過程被稱為各態(tài)歷經(jīng)的隨機(jī)過程 . ? 平穩(wěn)和各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)過程的關(guān)系 . 一個(gè)各態(tài)歷經(jīng)的隨機(jī)過程一定是平穩(wěn)的 。 , , 。 樣本空間的每個(gè)元素稱為樣本點(diǎn) . 現(xiàn)在我們對(duì)某個(gè)事件做試驗(yàn) ,試驗(yàn)次數(shù)是一個(gè)大數(shù) , 那么可能的樣本點(diǎn) 出現(xiàn)的次數(shù)為 那么有 j? ?N j? jN1njjNN??? 為樣本空間的樣本點(diǎn)數(shù) n每一個(gè)可能后果出現(xiàn)的相對(duì)頻率為 ? ? /N j jR N N? ?很清楚有 和 ? ?01NjR ??? ? ?111 1nnN j jjjRN N???????? 概率 在相對(duì)頻率中 趨于無窮大時(shí) , 那么某一后果 出現(xiàn)的概率為 N j?? ? ? ?Pr j N jR???Bernoulli大數(shù)定理可以證明上面的式子 , 即有 ? ? ? ?? ?l i m P r P r 0N j jN R ? ? ??? ? ? ? 隨機(jī)變量 ? 定義隨機(jī)變量 是一個(gè)函數(shù) , 是樣本空間到實(shí)數(shù)域的映射 . 這樣就可以用代數(shù)來運(yùn)算概率 . 樣本空間 實(shí)數(shù)域 ? R? x映射 ? ?X ?? ?Xx? ?我們用大寫字母來表示隨機(jī)變量 , 用相應(yīng)的小寫字母表示它的一個(gè)實(shí)現(xiàn) , 并且為了簡(jiǎn)單隨機(jī)變量 寫成 . 隨機(jī)變量分為離散的和連續(xù)的 . ? ?X ? X 隨機(jī)變量的概率分布 ? 在概率意義上如何完整描述一個(gè)隨機(jī)變量 ? 它依賴于確定控制樣本空間中每一樣本點(diǎn)實(shí)現(xiàn)的相對(duì)頻率的概率分布 .對(duì)于離散隨機(jī)變量的概率分布一般是根據(jù) 概率函數(shù) 來表示 . 而連續(xù)隨機(jī)變量是利用 概率密度函數(shù) 來表示 . 這兩類隨機(jī)變量都可以用 累積分布 來表示 . ? 定義累積分布 (cumulative distribution) . 考慮事件 , ? ?Xx?這個(gè)可能事件是對(duì)應(yīng)這個(gè)隨機(jī)變量 X的許多值 (或無窮多個(gè)值 )成為現(xiàn)實(shí) , 并且這個(gè)不等式實(shí)現(xiàn)的概率包括隨機(jī)變量 X的這些值的每一個(gè)實(shí)現(xiàn)的概率 . 因此我們定義累積分布為 ? ? ? ?P r ,F x X x x R? ? ?這是 x的單調(diào)增加函數(shù) , 具有 ? ? ? ?0 , 1 .FF? ? ? ? ? ?? 對(duì)于離散隨機(jī)變量 , 假定實(shí)現(xiàn)值 , 那么相應(yīng)的累積分布定義為 ? ?12, , ..., nx x x? ? ? ?P r ,jjjF x x x x??? 對(duì)于連續(xù)隨機(jī)變量 , 定義累積分布 的導(dǎo)數(shù)為 概率密度函數(shù)p(x)(the probability density function).即有 ? ?Fx? ? ? ? ? ? ? ?, 1xF x p r d r F p r d r??? ? ? ?? ? ? ? ??? 隨機(jī)向量的概率分布 ? 許多物理現(xiàn)象是被 隨機(jī)向量 所描述 . 這個(gè)向量是由兩個(gè)或兩個(gè)以上的隨機(jī)變量所組成 , 這些隨機(jī)變量在統(tǒng)計(jì)意義上可能是互相獨(dú)立 ,也可能是互相不獨(dú)立 . ? 隨機(jī)向量的統(tǒng)計(jì)描述是這些隨機(jī)變量的 聯(lián)合概率分布 (the joint probability distribution). 假定有兩個(gè)隨機(jī)變量 12,X X R?描述一個(gè)隨機(jī)事件 . 定義 聯(lián)合累積概率函數(shù) 為 ? ?12,F x x? ? ? ? ? ?? ?1 2 1 1 2 2, P rF x x X x X x? ? ? ?很清楚 , 這個(gè)函數(shù)要滿足下面的邊界條件 : ? ? ? ? ? ?21, , , 0F x F x F? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?,1F ? ?? ? ? ? ? ? ? ?1 1 2 2, , ,F x F x F x F x? ? ? ?? 隨機(jī)向量 的 聯(lián)合概率密度函數(shù) 定義為 的偏導(dǎo)數(shù) : 12,XX ? ?12,F x x? ? ? ?21 2 1 212,p x x F x xxx?? ??因此 ? ? ? ?121 2 1 2 1 2,xxF x x p r r dr dr? ? ? ?? ??? ? ? ?1 2 1 2, , 1F p r r dr dr??? ? ? ?? ? ? ???? 邊緣一維概率函數(shù) (the marginal onedimensional probability functions)可以從相應(yīng)的聯(lián)合概率密度函數(shù)導(dǎo)出 , 即 ? ? ? ?11 2 1 2 1,xF x dr p r r dr?? ? ? ?? ??? ? ? ? ? ?1 1 1 2 21,p x F x p r r drx ??????? ?? 條件概率 . 定義為在已知隨機(jī)變量 取一個(gè)值 的條件下 ,另一個(gè)隨機(jī)變量 取一個(gè)值 的概率 . 條件概率密度函數(shù) 為 1X 1x2X 2x? ? ? ? ? ?1 2 1 2 2| , /p x x p x x p x?上式要求 . 進(jìn)一步當(dāng) , 那么 ? ?2 0px ? ? ?2 0px ? ? ?12,0p x x ?? 如果兩個(gè)隨機(jī)變量 統(tǒng)計(jì)獨(dú)立 ,那么 ? ? ? ? ? ?1 2 1 2,p x x p x p x?和 ? ? ? ?1 2 1|p x x p x?? N維概率密度函數(shù) , 邊緣概率密度函數(shù)和條件概率密度函數(shù) 分別為 (mn): ? ? ? ?1 2 1 212, , . . . , , , . . . ,...nnnnp x x x F x x xx x x?? ? ? ?? ? ? ?1 2 1 2 1, , .. ., .. . , , .. ., .. .m n m np x x x p x x x d x d x?? ?? ? ? ?? ??? ? ? ? ? ?1 2 1 1 2 1, , . . . , | , . . . , , , . . . , / , . . . ,m m n n m np x x x x x p x x x p x x?? ? . 如果兩個(gè)隨機(jī)變量 的聯(lián)合概率密度函數(shù)為 ? ? ? ?, e x p 0 ,p x y x y x y??? ? ? ? ? ? ???,XY證明 是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的 . ,XY因?yàn)? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?, e x p e x p e x pp x y x y x y p x p y??? ? ? ? ? ? ???所以 是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的 . ,XY 統(tǒng)計(jì)矩 (Statistical Moment) ? 引言 實(shí)際上想要確定一個(gè)概率函數(shù)是很困難的 , 甚至是不可能的 , 有時(shí)也不是絕對(duì)需要的 . 例如 , 混凝土的強(qiáng)度的實(shí)驗(yàn)估計(jì)幾乎不可能確定支配樣本強(qiáng)度值的精確概率法則 . 通常實(shí)驗(yàn)室試驗(yàn)的目的是 估計(jì)平均強(qiáng)度值和偏離這個(gè)平均強(qiáng)度值的程度 . 從設(shè)計(jì)的觀點(diǎn)看 , 確定某些統(tǒng)計(jì)參數(shù) 所謂 統(tǒng)計(jì)矩 是足夠的 ,因?yàn)?這些參數(shù)包含了概率函數(shù)形狀和性質(zhì)的重要信息 . ? 平均 (期望 )值 [mean (expected)value] 為了定義統(tǒng)計(jì)矩 , 我們需要介紹隨機(jī)變量 或隨機(jī)變量 的函數(shù) 的平均(期望 )值的概念 , 它被定義為以下的一個(gè)線性操作 . X X ? ?gX? ? ? ? ? ? ? ?1Prnjjjg X E g X g x x???? ? ? ??? ?對(duì)于離散隨機(jī)變量 : X對(duì)于連續(xù)隨機(jī)變量 : X ? ? ? ? ? ? ? ?g x E g x g x p x d x?????? ? ? ??? ?? 如果 , 那么函數(shù) 的平均值被稱為 n階統(tǒng)計(jì)矩 , 記為 . 最有用的統(tǒng)計(jì)矩是 一階矩 和 二階矩 , 分別稱為 均值 和 均方值 : ? ? ng X X? ? ?gXnX??? ? ,X x p x dx? ???? ? ? ? ? ? ?2 2 2 ,X x p x d x? ???? ? ? ? ??如果 ,那么函數(shù) 的平均值被稱為 n階中心統(tǒng)計(jì)矩 , 記為 . 最有用的中心統(tǒng)計(jì)矩是 二階中心矩 ,被稱為 方差 (variance) ,即 ? ? ? ? ng X X ??? ? ?gX? ?2X ?? ? ?2?? ? ? ? ? ?222 X X p x dx? ? ????? ? ? ? ? ??方差和它的根 (標(biāo)準(zhǔn)差 standard deviation)是測(cè)量隨機(jī)變量偏離均值的離散程度 . ?? 變異系數(shù) (coefficient of variation)定義為 : /? ? ??它是無量綱測(cè)量隨機(jī)變量偏離均值的離散程度 . ? 偏度系數(shù) (skewness)定義為 : ? ? 3 3/X? ? ?? ? ? ?0??? ?px 1??2??這個(gè)無量綱系數(shù)提供概率密度函數(shù)形狀的對(duì)稱性信息 . 概率密度函數(shù) 是對(duì)稱于平均值 . 概率密度函數(shù)集中在左邊 , 而 概率密度函數(shù)集中在右邊 . 0??0??0??1????0??? ?? 峰度系數(shù) (kurtosis)定義為 : ? ? 4 4/X? ? ?? ? ? ?這個(gè)系數(shù)提供隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)離開均值接近于零的速率 . 值大表明分布的 尾部厚度增加 , 這樣在離平均值一定距離的 極值 實(shí)現(xiàn)的概率比較高 . ?010??????3??5??值得注意 ,了解 對(duì)于一個(gè)隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)特性往往是足夠的 , 并不要求概率密度函數(shù)的完整的描述 . , , ,? ? ? ?? 把上面的關(guān)系推廣到 個(gè)隨機(jī)變量的情況 , 函數(shù) 的平均值定義為 ? ?12, , . . . , ng X X Xn? ? ? ? ? ?1 2 1 2 1 2 1 2, , .. ., .. . , , .. ., , , .. ., .. .n n n ng X X X g x x x p x x x d x d x d x??? ? ? ?? ? ? ??? 假定有兩個(gè)隨機(jī)變量 和 的均值分別為