【正文】 tkQtipiii ??? s in)11()(20??0211021( ) ( ) ( ) sin( 1 )sin( 1 )iiinni i iii PiTniii piQx t t t tKFtk? ? ? ? ?????????? ? ? ???????（ 2139） （ 2140） （ 2141） 當(dāng) 時(shí)，第 s階主振動(dòng)的振幅會(huì)變得很大，稱系統(tǒng)發(fā)生了第 s階共振，式 （ 2141） 可以寫成 系統(tǒng)對(duì)簡(jiǎn)諧激勵(lì)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)除了采用振型疊加法之外，還可采用 直接解法 求得。 02()( ) s in( 1 )iTssPiFx t tK ??????( ) s i nx t B t??將式 （ 2143） 代入式 （ 2120） ，得 2 0()K M B F???（ 2142） （ 2143） （ 2144） 設(shè) n階方陣 H是無阻尼系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)函數(shù)矩陣，且定義 11 12 121 22 22122( ) ( )nnn n nnH H HH H HH H K MH H H???????? ? ? ?????由式 （ 2144） 解得 0B F H?系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng) ： （ 2145） （ 2146） （ 2147） 與式 （ 2141） 比較得出 21() ( 1 )iTniiii PiH K ???? ??? ??或直接推導(dǎo)： 把式 （ 2149） 展為級(jí)數(shù)形式，即式 （ 2148） 、式 （ 2149） 稱為幅頻響應(yīng)函數(shù)矩陣的模態(tài)展開式。若采用正則模態(tài)取代主模態(tài)，式 （ 2148） 、式 （ 2149） 可以改寫成 2221( ) ( )TnT iii iHI ??? ? ? ? ???? ? ? ? ??（ 2148） （ 2149） （ 2150） 的物理意義 : 把上式代入式 （ 2147） 得 ()ijH ?00( ) s i n 0 0 s i n 0 0TjF t F t F t?????? ??101 11 12 1202 21 22 2030220sin()0sin()() sin0sin()0jjnjjnjjjn n n nnH F tx t H H HH F tx t H H Hxt FtH F tx t H H H?????????? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ?? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ? ???????? 僅在系統(tǒng)第 j個(gè)坐標(biāo)上有簡(jiǎn)諧激勵(lì)而相應(yīng)于第 i個(gè)坐標(biāo)的幅頻響 應(yīng)函數(shù)。 例 2： 假設(shè)圖 28所示系統(tǒng)中左邊第一質(zhì)量上作用有激振力 試求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。 tFHtx jiji ?? si n)()( 0? (2151) (2152) 10( ) s in , 1 . 7kF t F tm????解：已知系統(tǒng)的固有頻率為 正則振型矩陣： 1 2 33, , 2k k km m m? ? ?? ? ? 激振力向量： ? ?0( ) sin 0 0TF t F t?? 正則坐標(biāo)下的激振力向量： 第一個(gè)正則方程是 2 01 1 1 s i n6F tm? ? ? ???相應(yīng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)： 010221( ) s i n 0 . 2 1 6 s i n6iF mt t F tkm? ? ???? ? ?? 同樣可解出第 2個(gè)、第 3個(gè)正則方程的穩(wěn)態(tài)解（穩(wěn)態(tài)響應(yīng)） 30( ) 0 . 5 2 0 s i nmt F tk???系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng) 由于激振頻率接近第二階固有頻率，在穩(wěn)態(tài)響應(yīng)中第二階振型 占主要成分。 10 0 0232( ) 1 3( ) ( ) ( ) 0 .0 8 8 2 s in 2 .6 3 0 s in 0 .2 1 2 s in( ) 1 32xtF F Fx t x t t t t tk k kxt? ? ? ??????? ? ? ?????? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?????? ? ? ?????? ? ? ?? ? ? ? ???? ??有阻尼多自由度線性系統(tǒng)的響應(yīng) (1) 阻尼矩陣的近似處理方法 x ???()p p pM C K Q t? ? ?? ? ?TpCC? ? ?（ 2153） （ 2154） )( tFKxxCxM ??? ??? 該條件較為苛刻，一般的有阻尼多自由度系統(tǒng)不滿足式 （ 2155） 所給出的條件，因而主坐標(biāo)方法已經(jīng)不再適用，振動(dòng)分析將變得十分復(fù)雜。為了能沿用無阻尼多自由度系統(tǒng)中的主坐標(biāo)方法，工程上常對(duì)阻尼矩陣采用 近似處理方法 。 方法 1： 非對(duì)角元素忽略法 方法 2： 比例阻尼法 方法 3： 實(shí)驗(yàn)測(cè)定法 解耦的充分必要條件： 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )M C M K M K M C? ? ? ??（ 2155） pC方法 1： 非對(duì)角元素忽略法 。忽略矩陣 中的全部非對(duì)角元素，取 TpCC? ? ?1200ppppnCCCC???????????式 （ 2154） 已經(jīng)解耦 , 第 i個(gè)方程： （ 2156） （ 2157） 2 12 ( )i i i i i i ipiQtM? ? ? ? ? ?? ? ?（ 2158） 22 pi iipiCM ???方法 2： 比例阻尼法 。將矩陣 C假設(shè)為比例阻尼，即 01C a M a K??（ 2159） （ 2160） 01 011 ()222p i p i p iiii p i i p i iC a M a K a aMM??? ? ??? ? ? ?（ 2161） 方法 3： 實(shí)驗(yàn)測(cè)定法 。 由于各種阻尼的機(jī)理很復(fù)雜，實(shí)際的阻尼矩陣 C不容易精確測(cè)定或計(jì)算。當(dāng)阻尼比較小的時(shí)候，常通過實(shí)驗(yàn)直接測(cè)定各階振型阻尼比 ，以確定式 (2157)中的各個(gè)參數(shù)。矩陣 可由式 （ 2156） 及式 （ 2161） 得到。這種方法有較大的實(shí)用價(jià)值，但是只適用于各階阻尼比 的情況。 i? ?(2) 有阻尼系統(tǒng)對(duì)任意激勵(lì)的響應(yīng) 利用上述對(duì)阻尼矩陣的幾種近似處理方法所得到的矩陣 都是對(duì)角矩陣，稱為主阻尼矩陣，此時(shí)主坐標(biāo)下的強(qiáng)迫振動(dòng)方程已全部解耦。故根據(jù)單自由度線性系統(tǒng)的振動(dòng)理論，可得到系統(tǒng)對(duì)任意激勵(lì)的響應(yīng) 2 12 ( )i i i i i i ipiQtM? ? ? ? ? ?? ? ?()0( 0) ( 0)( ) ( 0) c os si n1( ) si n ( )iiiit i i i ii i di diditti dipi dit e t tQ e t dM??? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ??????? ??? ???????（ 2162） （ 2163） 1()niiixt? ? ??? ? ? ? 21d i i i? ? ???計(jì)算有阻尼系統(tǒng)的響應(yīng)的步驟 （振型疊加法） ① 對(duì)相應(yīng)的無阻尼系統(tǒng)作固有振動(dòng)分析，求出各階固有頻率及相應(yīng)的主振型 ； ② 利用振型矩陣作坐標(biāo)變換，使動(dòng)力學(xué)方程解耦， 阻尼矩陣采用 近似處理方法 ； ③ 計(jì)算主坐標(biāo)下的初始條件和激勵(lì)向量 ； ④ 計(jì)算系統(tǒng)在主坐標(biāo)下的響應(yīng) ； ⑤ 將主坐標(biāo)下的系統(tǒng)響應(yīng)轉(zhuǎn)換為原來物理坐標(biāo)下的響應(yīng)。 若計(jì)算有阻尼系統(tǒng)在簡(jiǎn)諧激振力下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng) 主坐標(biāo)下的穩(wěn)態(tài)解 sinpi i pi i pi i oiM C K Q t? ? ? ?? ? ?22 s inoii i i i i ipiQ tM? ? ? ? ? ? ?? ? ?1( ) ( ) sin ( )n oii i i ii piQx t t tK? ? ? ? ??? ? ??2221( 1 ) ( 2 )21ii i iiiiiarc t g?? ? ????????????? ?? ??(2163) (2164) (2165) (2166) 系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)： 當(dāng) 時(shí)，系統(tǒng)發(fā)生第 s階共振， 1,22sss??????0( ) s i n ( )22Tsss p sFx t tK? ??????（ 2168） （ 2169） 當(dāng)振型阻尼比較小時(shí)，系統(tǒng)的振動(dòng)形態(tài)接近第 s階主振型，即 因此，可以用一般的共振實(shí)驗(yàn)方法近似測(cè)定系統(tǒng)的各階固有頻率及相應(yīng)的主振型。由式 （ 2168） 還可以看到，如果激振力幅向量 與第 s階主振型正交，即 ，式 （ 2168） 的展開式中不包括相應(yīng)于 的這一項(xiàng)，故未被激勵(lì)所激發(fā)的主振型對(duì)系統(tǒng)的響應(yīng)沒有貢獻(xiàn)。 0 0Ts F? ?s?(3) 傳遞函數(shù)矩陣與 幅頻 響應(yīng)函數(shù)矩陣 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣 2( ) ( ) ( )M s C s K X s F s? ? ?Laplace變換， 假設(shè)零初始條件 (2170) (2171) ( ) ( ) ( )X s G s F s?(2172) 系統(tǒng)的輸出與 輸入關(guān)系： 故傳遞函數(shù)矩陣只取決于系統(tǒng)本身的質(zhì)量、剛度及阻尼物理性質(zhì)（參數(shù)），且 令 由式（ 2171）、式（ 2173）得到系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)函 數(shù)矩陣 1 2 1 1 2 12121( ) ( ) ( ) [ ( ) ]()T T T TTnT iip p pi p i p i p iG s M s Cs K M s Cs KM s C s KM s C s K??? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ????si??2121211( ) ( )( 1 2 )iTniii p i p p iiTnnTi i iiiiip i i i i p iH K M i CK M i ceK i K???? ? ???? ? ???? ? ??????? ? ? ??????????（ 2173） （ 2174） 頻率域內(nèi)輸出與輸入的關(guān)系： ( ) ( ) ( )X H F? ? ??21() ( 1 2 )nr i s irsi p i i i iH Ki ??? ? ? ??? ???（ 2175） （ 2176） 幅頻響應(yīng)函數(shù)矩陣 只取決于系統(tǒng)本身的物理參數(shù)，它在計(jì)算系統(tǒng)響應(yīng)以及確定系統(tǒng)的動(dòng)力特性學(xué)方面都很有用處。 第四節(jié) 一般粘性阻尼多自由度線性系統(tǒng)的響應(yīng) 首先來考察一般粘性阻尼系統(tǒng)的矩陣特征值問題。 φ有非零解的充要條件（克萊姆法則）是 式 （ 2179） 描述了一般粘性阻尼系統(tǒng)的特性方程，它是關(guān)于 λ 的 2n次代數(shù)多項(xiàng)式方程 。 （ 2177） （ 2178） （ 2179） 0??? KxxCxM ??? 當(dāng)阻尼矩陣不能近似處理時(shí)， 主坐標(biāo)法（ 振型疊加法 ）不能沿用， 可采用 狀態(tài)方程法 （復(fù)模態(tài)方法） 。 現(xiàn)對(duì)式 （ 2178） 補(bǔ)充一個(gè)方程 則式 （ 2180） 與式 （ 2178） 可以合