【文章內(nèi)容簡介】 ???????????????????????????????njjjnnnjnnjnjkkkkkkkkkkkktF??????????????2112221111100100)( 現(xiàn)假設(shè)系統(tǒng)受到外力作用的瞬間，只產(chǎn)生加速度而不產(chǎn)生位移和速度，即 0?? xx ?pxM ???? ? ? ? TTnjjj xxxxxx 00100111 ???????????????? ?? ??(247) 再假定作用于系統(tǒng)的一組外力使系統(tǒng)只在第 j個坐標(biāo)上產(chǎn)生單位加速度，而在其它各個坐標(biāo)上都不產(chǎn)生加速度，即加速度向量為： （ 2） 質(zhì)量影響系數(shù)計算 ????????????????????????????????????????????????????njjjnnnjnnjnjmmmmmmmmmmmmtF??????????????2112221111100100)((248) 即所施加的這組外力在數(shù)值上正好是質(zhì)量矩陣的第 j列。因此，質(zhì)量矩陣 M中的元素 mij是使系統(tǒng)在第 j個坐標(biāo)上產(chǎn)生單位加速度而相應(yīng)于第 i個坐標(biāo)上所需施加的力。 mij稱為質(zhì)量影響系數(shù)。 阻尼矩陣 C中的元素 Cij稱為阻尼影響系數(shù) ，其物理意義是：使系統(tǒng)僅在第 j個坐標(biāo)上產(chǎn)生單位加速度而相應(yīng)于第 i個坐標(biāo)上所需施加的力。阻尼矩陣一般是正定或半正定的對稱矩陣，可以按工程上各種理論及經(jīng)驗(yàn)公式求出，或直接由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)確定。 （ 3） 阻尼影響系數(shù)計算 慣性耦合及彈性耦合 對式 （ 244） 所描述的 n自由度線性系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程，若矩陣中非對角元素非零則稱之為 耦合項(xiàng) 。 質(zhì)量矩陣中出現(xiàn)的耦合項(xiàng)稱為 慣性耦合 ，剛度矩陣中出現(xiàn)的耦合項(xiàng)稱為 彈性耦合 。 耦合的物理意義可以簡單地用兩自由度系統(tǒng)為例說明。 ??????????221100mmM01 ?x??02 ?x??如果系統(tǒng)僅在第一個坐標(biāo)上產(chǎn)生加速度，即 , ,則： 結(jié) 論 ? 不出現(xiàn)慣性耦合時，一個坐標(biāo)上產(chǎn)生的加速度只在該坐標(biāo)上產(chǎn)生慣性力；出現(xiàn)慣性耦合時，一個坐標(biāo)上產(chǎn)生的加速度還會在其它坐標(biāo)上引起慣性力 ； ? 不出現(xiàn)彈性耦合時，一個坐標(biāo)上產(chǎn)生的位移只在該坐標(biāo)上引起彈性恢復(fù)力； 出現(xiàn)了彈性耦合時，一個坐標(biāo)上產(chǎn)生的位移還會在其它坐標(biāo)上引起彈性恢復(fù)力。 ? 耦合的表現(xiàn)形式取決于坐標(biāo)的選擇，若選用主坐標(biāo)，可使得多自由度線性系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程完全解耦。 ? 主坐標(biāo) 指使多自由度線性系統(tǒng)運(yùn)動微分方程的全部耦合項(xiàng)都不出現(xiàn)的坐標(biāo)。它是求解多自由度線性系統(tǒng)的振動問題中的一個十分重要的概念， 而單自由度線性系統(tǒng)中是沒有的。 主振動、固有頻率、主振型（固有振動） ( ) 0 , 0F t C?? 時式 （ 244） 被改寫成 0M x K x????? ?? ??? MKtf tf TT)()(??（ 249） （ 250） （ 251） 0)()( ?? tfKtfM TT ???? ??描述系統(tǒng)的同步運(yùn)動 由于在正定或半正定振動系統(tǒng)中， M正定、 K正定或半正定 0T M?? ? 0T K?? ?式（ 251） 0)()( 2 ?? tftf ???sin ( ) 0()0atfta t b? ? ??????? ???（ 252） （ 253） （ 254） 系統(tǒng)的運(yùn)動形式為 因此，正定系統(tǒng)只可能出現(xiàn)的同步運(yùn)動 有兩種： ? 簡諧振動 。 系統(tǒng)在各個坐標(biāo)上都以相同的頻率及初始相位作簡諧運(yùn) 動 。 ? 剛體運(yùn)動 。 半正定系統(tǒng)除了能出現(xiàn)簡諧振動之外， 還能出現(xiàn)剛體運(yùn)動（ 這是一種可以無限遠(yuǎn)離原平衡位置的剛體運(yùn)動，系統(tǒng)不發(fā)生彈性變形 ）。 sin( ) 0 (()( ) 0 (atxtat b? ? ? ???????? ???簡諧振動剛體運(yùn)動））(255) 若把常數(shù) α并入式（ 255）中 φ的各元素內(nèi)，主振動（這里指簡諧振動）可寫成 (256) ? ?Tenee ???? , 21 ??)s in ( ??? ?? tx把式（ 256）代入式（ 249），得到代數(shù)齊次方程組 0)( 2 ?? ??MK0222221122222222221212112121221111???????????????????nnnnnnnnnnnnmkmkmkmkmkmkmkmkmk???????克萊姆法則 222210 n??? ???? ?(257) (258) (259) 0)( 2 ?? iiMK ??矩陣 稱為特征矩陣，記為 )( 2 MK ?????????????????????????????????eninnnnneinnnneinneninnneinneimkmkmkmkmkmk????????????)()()()()()(2,1,11,21,11,1121,11,12111,21,11,1121111??????????????????????????????(260) (261) (262) (263) 令 ，解方程組（ 263），得第 i階特征向量為 1?en?? ?Tneeei 1, 1,21 ?? ???? ?,i i ia? ? ? ??? 代入式（ 255） 將 )s in ( iiii tax ??? ??enneexxx?????? ?2211（ 264） （ 265） 在振動中把 φ i稱作第 i階主振型。主振型也稱作固有振型或主模態(tài)。主振型僅取決于系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣 M 、剛度矩陣 K等物理參數(shù)。 主振型是多自由度系統(tǒng)中的一個重要概念，在單自由度系統(tǒng)中是沒有的。 多自由度 系統(tǒng)的固有振動是 n個主振動的疊加。 1 1 1 1 2 2 2 21( ) s in ( ) s in ( ) s in ( )s in ( )n n n nni i i iix t a t a t a tat? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ??? ? ? ? ? ? ????把式（ 257） 所描述的特征方程 改寫為 0)( 2 ?? ??MK??? MK 2?（ 266） （ 267） ??? 21 )( ?? KM121()KM ???? ?（ 268） （ 269） 式 （ 268） 中的矩陣 的最大特征值是 ， 而式 （ 269） 中的矩陣 )( 1 KM ? 2n? 的最大特征值是 。 主振型的正交性 主振型之間關(guān)于質(zhì)量矩陣和剛度矩陣具有正交性質(zhì) 式（ 267） iii MK ??? 2?jjj MK ???2?jTiijTi MK ????? 2?jTijjTi MK ????? 2?（ 270） （ 271） （ 272） （ 273） 由式（ 272）和（ 273）相減，得 0)( 22 ?? jTiji M ????0TijK i j?? ??（ 274） （ 275） （ 276） 式 （ 275） 和式 （ 276） 表明：對應(yīng)于不同固有頻率的主振型之間，既關(guān)于質(zhì)量矩陣相互正交，又關(guān)于剛度矩陣相互正交，這就是主振型的正交性。 ji? ， 式（ 273）總成立，令 顯然，主質(zhì)量 總是正實(shí)數(shù)，主剛度 在正定系統(tǒng)中是正實(shí)數(shù)，而在半正定系統(tǒng)中 除正實(shí)數(shù)外還可以是零。 piiTi MM ???piiTi KK ???式（ 273） pipii MK?2?（ 277） （ 278） （ 279） piM? ?ji ???? 1式（ 275）和（ 277）可合寫成矩陣形式，即 由式（ 276）和（ 278）得 ?????????pjpiT KK00K11（ 280） （ 281） （ 282） 記 是主振型 ?11 00T TTi pii i i jTij TTTpjj i j jjMMMMM MMM? ? ? ? ??? ? ? ? ???? ?? ???? ? ? ? ??? ?? ????? ??????主振型正交的物理意義可以從能量角度解釋 )si n ()( jjjj tatq ?? ??? ? ?????????jijijjii qqqqx ????位移響應(yīng) 112201 1 102 2 21122ii piTTi j i jpjjjp i i p j j i jqq MT x M x q q M q qMM q M q T T? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?系統(tǒng)動能 jijpjipiT UUqKqKKxxU ????? 22212121系統(tǒng)勢能 ? ? ? ?22222 2 2 21 1 1 1c os( ) sin( )2 2 2 211c os ( ) sin ( )22i i i pi i pj j pi i i i i pi i i ipi i i i i i pi iE T U M q K q M a t K a tK a t t K a? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ???212j j j pj jE T U K a? ? ?系統(tǒng)在第 i階主振動時的能量表達(dá)式： 由于主振型之間的正交性，系統(tǒng)的動能（勢能）等于各階主振動單獨(dú)存在時系統(tǒng)的動能（勢能）之和，而且對每一階主振型，雖然其動能與勢能在相互交換，但總和是一個常數(shù)（恒定值），即各階主振動之間不發(fā)生能量交換（或轉(zhuǎn)換）。 振型矩陣與譜矩陣 引入振型矩陣 ，也稱之為模態(tài)矩陣，且定義為 ?pT MM ???pT KK ???1200ppppn nnMMMM??????????1200ppppn nnKKKK????????????（ 283） （ 284） （ 285） 主質(zhì)量矩陣 主剛度矩陣 在式（ 270）中依次取 ，所得到的 n個方程合并寫成矩陣形式 ni ,2,1 ?????? MKnnn ?????????????????22221?????? pp MK對式（ 286）兩邊左乘 ，由式（ 284）和式（ 285）得 T?(286) (287) (288) 譜矩陣 譜矩陣 的表達(dá)式可寫成 pp KM 1???(289) 主坐標(biāo)及解耦 Dyx ?)( tFKxxM ????)( tFDK D yDyMDD TTT ????(290) (291) (292) 假設(shè)對同一系統(tǒng)所選擇的兩種不同坐標(biāo) x與 y之間的變換關(guān)系有 K陣， M陣都是對稱的 MM T ? KK T ?MDDDMDMDD TTTTT ??)(任意一個 n維向量 x都能唯一的被表示成 n個主振型的線性組合，即： η是新坐標(biāo)